常微分方程习题(1)

1、常微分期终考试试卷<1>一、填空题30%1、方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0有只含x的积分因子的充要条件是有只含y的积分因子的充要条件是.2、 为黎卡提方程，它有积分因子.3、 为伯努利方程，它有积分因子.4、若Xi(t),X2(t),X n(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是.5、形如勺方程称为欧拉方程.6、若(t)和(t)都是x A(t)x的基解矩阵贝S (t)和(t)具有的关系是.7、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时,零解是稳定的，对应的奇点称为.二、计算题6 0%1、ydx (x y3)dy 02、x x si nt cos2t

2、2 13、若A试求方程组x Ax的解(t), (0)1并求1 42expAt4、段)3 4xydy 8y2 0dxdx5、求方程x y2经过0,0的第三次近似解dx6. 求dxx y 1,dy x y 5的奇点，并判断奇点的类型与稳定性dtdt三、证明题1 0%1、 n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.7丿一 I 二、零试卷答案MNMN1、yX(x)-yX(y)NM2、dy dxp(x)y2Q(x)yR(x)yy z3、dy dxp(x)yQ(x)ynu(x,y) yn (n 1)p(x)dx e4、WX(t),X2(t),Xn(t)05、¥y adn dxn1+ s %a dya

3、n 1 ,any0dx11 1dx6、(t)(t)C填空题稳定中心二计算题1、解：因为1，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子（y）dye yln y2 ,两边同乘 2 得 X _dy 0y2y2y y3 / 44 / 4x y3y2Xy dy cy# / 42-c即2x y(y2 c)另外y=0也是解 y 22、线性方程x x 0的特征方程2 1 0故特征根if1(t) sint i是特征单根，原方程有特解x t(Acost Bsint)代f2(t)cos2t2i不是特征根，原1入原方程A=B=02方程有特解x Acos2t Bsin2t代入原方程A所以原方程的解为xc1cost c2si

4、 nt1C0S2t3、解：p()0解得1,23此时n 1 "由公式 expAt= e t (Ai 0 i!E)i得4、解：方程可化为*两边对y求导:38y2 dx他令史4y 凹 dxdx2y(p3 4y2)乎 p(8y2 p3)dyp则有x32P 8 *4yp4y2p即(p3 4y2)(2ydyp) 0 由 2ydPdyp 0得 p cy2 即 y (-)2将 y c代入*xc24甲即方程的 含参数形式的通解为:cc22p7 F p (卫)2c5 / 42# / 42为参数# / 4又由p3 4y210得p (4y2)3代入*得:齐3也是方程的解yoyoxxdx05、解:yox0(xyox0(x2x22)dx44 x4207)dx40020x105x2011x44008x1601 01 0解得奇点3,-2令5 0X=x-3, Y二y+2 则dxdtdydt因为=1+10故有唯一零解0,012 22 0 得1 i 故3,-2为稳定焦点.三、证明题由解的存在唯一性定理知:n阶齐线