春季学期数学模型及数学软件试卷AB卷解评分参考详解

1、2010年春季学期数学模型及数学软件试卷A卷得分一、 填空题（每空2分，满分14分）：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模的基本步骤还是有规律可循的。所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 、 、 、 、 。2、 在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第期的市场需求量、市场供给量及价格等之间满足，那么该商品的均衡价格是 ，供求关系是否能稳定？ 得分二、简答题（每小题2分，满分8分）： 从下面一段不太明确的叙述中确定出要研究的问题，指出需要搜集哪些数据资料（至少列举3个），要做些什么建模的具体前期工作（至少列举3个），指出可以建立何种

2、类型的数学模型：“一座高层办公楼有三部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。1、要研究的问题是 2、所需搜集资料为 3、要做的具体建模前期工作 4、可以建立 模型，亦可 模型 得分三、M程序翻译题（每小题6分，满分12分）： 将下列Matlab程序翻译成为数学模型或数学问题.1、 f = 13 ,9, 10 ,11, 12,8;A = 0.4 ,1.1, 1 ,0,0, 0; 0, 0, 0, 0.5 ,1.2, 1.3;b = 800; 900;Aeq=1, 0 ,0 ,1, 0 ,0; 0 ,1, 0 ,0, 1, 0; 0 ,0, 1,0 ,0 ,1;beq=400, 600, 50

3、0;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)2、x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,'r',x,z,'go')gtext('sin(x)');gtext('cos(x)');得分四、刹车问题（12 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S米，刹车时的速度V千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系S=KV2T（K为常数），现有一辆空车，它在60千米/小时的速度下行驶的刹车距离为10米。

4、又知一般司机从发现情况到刹车操作之间有0.6秒的时间反应，当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于10米，求此时安全行驶的速度。得分五、席位分配问题（12分）：某学校共1000名学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。学生们要组织一个10人的自律部，试用两种不同的科学公平的席位分配模型确定各宿舍楼在自律部的席位。若自律部从10人增至15人，请再次确定新的席位分配名额。得分六、消费选择问题（12分）： 设二种商品的价格分别为4元、2元，某消费者共用60元购买其数量分别为时，效用函数为.试求出消费者最佳的购买数量.（要求建立此问题数学模型，并求解）

5、得分七、最速下降问题（12分）：用最速下降方法（梯度法）求解下列具体问题，并写出详细的求解过程：. 初值选用（2，2），迭代两次。得分八、优化问题（12分）：一个日用电负荷不能超过690度、日生产能力为120工时的制造厂生产甲、乙两种产品，每吨甲、乙产品可获利分别为25元，30元，但需要耗电分别为20度，30度，耗工时分别为5工时，4工时。另外甲产品每天最多只能生产18吨，而乙产品不少于7吨。如何安排生产，使利润最大。（要求：建立数学模型，并用图解法求出解，再编写求解此问题的Matlab程序）得分九、最优定价问题（6分）：在商品销售过程中需要确定某种意义下的最优销售价格。设某商品的销售周期为，

6、在此期间由于损耗，每一单位的商品之成本随滞留时间增长，满足 (其中为一个销售周期内的初始成本，为成本增长率), 而单位时间内的商品销售量为(其中为商品销售价格，为常数)。已知商品销售期分为和两段，两段的商品销售价格依次为常数值.（其中给定参数为）1、求的值，使该商品在一个销售周期内的总利润最大，并确定相应的销售总量；2、若要求销售期内的总售量为，再求的最优值。2010年春季学期数学模型及数学软件试卷A卷解答得分一、 填空题（每空2分，满分14分）：1 （10 分）虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模的基本步骤还是有规律可循的。所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤

7、，按一般顺序可以写出为 、 、 、 、 。 问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析；2 （6 分）在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第期的市场需求量、市场供给量及价格等之间满足，那么该商品的均衡价格是 52 ，供求关系是否能稳定？ 能稳定 二、简答题（每小题2分，满分8分）： 从下面一段不太明确的叙述中确定出要研究的问题，指出需要搜集哪些数据资料（至少列举3个），要做些什么建模的具体前期工作（至少列举3个），指出可以建立何种类型的数学模型：“一座高层办公楼有三部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。 1 要研究的问题：如何设置三部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 2 所

8、需搜集资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等 3 要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 4 可以 建立概率统计 模型，亦可 在适当的假设下建立确定性 模型 得分三、M程序翻译题（每小题6分，满分12分）： 将下列Matlab程序翻译成为数学模型或数学问题1 f = 13 ,9, 10 ,11, 12,8;A = 0.4 ,1.1, 1 ,0,0, 0; 0, 0, 0, 0.5 ,1.2, 1.3;b = 800; 900;Aeq=1, 0 ,0 ,1, 0 ,0; 0 ,1, 0 ,0, 1, 0; 0

9、 ,0, 1,0 ,0 ,1;beq=400, 600, 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)译：设决策列变量为 (3分)(3分)2 x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,'r',x,z,'go')gtext('sin(x)');gtext('cos(x)');译：x为闭区间的30等分点的数组；y及z分别为对应的正弦、余弦值数组；在同一坐标架下分别用红、绿色画出这两曲线，并在曲线

10、上标注名称。得分四、刹车问题（12 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S米，刹车时的速度V千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系S=KV2T（K为常数），现有一辆空车，它在60千米/小时的速度下行驶的刹车距离为10米。又知一般司机从发现情况到刹车操作之间有0.6秒的时间反应，当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于10米，求此时安全行驶的速度。解：依题意，空车时 重车时 (6分)令，解方程得(6分)结论：重车时安全速度应控制在米/秒=30千米/小时以内得分五、席位分配问题（12分）：某学校共1000名学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432人住

11、在C楼。学生们要组织一个10人的自律部，试用两种不同的科学公平的席位分配模型确定各宿舍楼在自律部的席位。若自律部从10人增至15人，请再次确定新的席位分配名额。解：比例加惯例分配法：(6分)宿舍楼学生人占总数比例10个席位15个席位比例分配席位比例惯例分配结果比例分配席位比例惯例分配结果A2350.2352.3533.5254B3330.3333.3334.9955C4320.4324.3246.486合计1000110101515比例加Q值比较分配法：Q=P(i)* P(i)/(N(i)*(N(i)+1) (3分)宿舍楼学生人占总数比例10个席位比例席位初次分配Q值Q值法分配结果A2350.

12、2352.35292042B3330.3333.33392413C4320.4324.32493315合计1000110910(3分)15个席位比例分配席位初次分配初次Q值初次Q值法分配结果再次Q值再次Q值法分配结果3.525346023460244.995455445369656.486444364443615131415得分六、消费选择问题（12分）： 设二种商品的价格分别为4元、2元，某消费者共用60元购买其数量分别为时，效用函数为.试求出消费者最佳的购买数量.（要求建立此问题数学模型，并求解）解答: (6分), , (6分)得分七、最速下降问题（12分）：用最速下降方法（梯度法）求解下

13、列具体问题，并写出详细的求解过程：. 初值选用（2，2），迭代两次。解：，迭代格式：，(6分)；(6分)得分八、优化问题（12分）一个日用电负荷不能超过690度、日生产能力为120工时的制造厂生产甲、乙两种产品，每吨甲、乙产品可获利分别为25元，30元，但需要耗电分别为20度，30度，耗工时分别为5工时，4工时。另外甲产品每天最多只能生产18吨，而乙产品不少于7吨。如何安排生产，使利润最大。（要求：建立数学模型，并用图解法求出解，再编写求解此问题的Matlab程序）解：生产甲、乙两种产品数量(非负)各吨，则(4分)图解得.(4分)程序c=-25,-30; A=20,30;5,4;1,0;0,-

14、1; b=690;120;18;-7; Aeq=; beq=; vlb=0,0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) (4分)得分九、最优定价问题（6分）：在商品销售过程中需要确定某种意义下的最优销售价格。设某商品的销售周期为，在此期间由于损耗，每一单位的商品之成本随滞留时间增长，满足 (其中为一个销售周期内的初始成本，为成本增长率), 而单位时间内的商品销售量为(其中为商品销售价格，为常数)。已知商品销售期分为和两段，两段的商品销售价格依次为常数值。、求的值，使该商品在一个销售周期内的总利润最大，并确定相应的销售总量；、若要求销售期内的总售

15、量为，再求的最优值。（此题目中给定数据为）解答分析:在期间,销售单位商品利润=售价-成本=,销售数量为. 总利润为由 解得相应的销售总量具体数据为 . (3分)若要求，则类似可得此约束下的最大值点为。具体数据为 (3分)2010年春季学期数学模型及数学软件试卷B卷采用2009年秋季学期数学模型与数学软件试卷B卷得分一、梯子长度问题（10分）：一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台。 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有

16、一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?得分二、最佳射门位置问题（10分）：假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，求他在离底线几米的地方射门将获得最大的射门张角. 4 6 得分三、刹车问题（16 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S米，刹车时的速度V千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系S=KV2T（K为常数）。现有一辆空车，它在60千米/小时的速度下行驶的刹车距离为10米。又知一般司机从发现情况到刹车操作之间有0.6秒的时间反应。当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于10米，求

17、此时安全行驶的速度。得分四、就餐的规律问题（16 分）： 学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，设表示在第n个星期一选A，B的人数。（1）试用表示； （2）试用表示；（3）求出（即通项公式），并指出一年后就餐规律。得分五、最佳出售时机问题（16 分）：饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降

18、低 0.1元。问生猪应何时出售为好？如果市场预测有误差，试再分析对结果有何影响。得分六、存储问题（16 分）：某创业者长期采用的是自产自销经营模式，其营销的商品生产工艺复杂，每次开工都需工艺整定费，只有调试完毕方才能连续生产，且生产速率k大于销售速率r。显然由于商品积压导致了间歇性生产和存储费用问题产生。试以综合费用最小为目标确定最优间歇周期T及最佳的最大库存量Q ；给出这样的决策及示意图；并分别讨论 和时的情况。得分七、生产计划问题（16 分）： 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共

19、有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大？2009年秋季学期数学模型与数学软件试卷B卷解答及评分参考（重视分析方法及解题过程）一、梯子长度问题（10分）：一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台。 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?解：设梯子斜面与地面夹的角度为则

20、，(5分)令得，显然此时使用的梯子最短。此时对应梯子长是：看来7m长的梯子是不够用的,至少是不安全的。(5分)二、最佳射门位置问题（10分）：假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，求他在离底线几米的地方射门将获得最大的射门张角. 4 6 解:余弦定理,经分析研究,对应,令(5分),米(判定过程省略)，(5分)注： 三、刹车问题（16 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S米，刹车时的速度V千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系S=KV2T（K为常数）。现有一辆空车，它在60千米/小时的速度下行驶的刹车距离为10米。又知一般司机从发现情况到刹车操作之

21、间有0.6秒的时间反应。当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于10米，求此时安全行驶的速度。解：依题意，空车时 重车时 (8分)令，解方程得(8分)结论：重车时安全速度应控制在米/秒=30千米/小时以内四、就餐的规律问题（16 分）： 学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，设表示在第n个星期一选A，B的人数。（1）试用表示； （2）试用表示；（3）求出（即通项公式），并指出一年后就餐规律。解：设学生人数为1000人，每天都在该餐厅

22、用餐。（1）=（1-20%）+0.3=0.8+0.3（2）因，故=0.8+0.3=0.8+0.3=0.5+300(8分)（注：显然迭代序列对任意初值，都收敛。 为什么？）(3) 若设，则首先可以用数学归纳法证明因若设 则=0.5+300=0.5+300 =.(8分)其实，其实从第六周起，星期一就餐人数已经趋于稳定了：选A、B菜的人数为分别为600人，400人五、最佳出售时机问题（16 分）：饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售为好。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。解：投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大。估计r=2，g=0.1，t 天出售生猪体重 w=80+rt，销售收入 R=pw出售价格 p=8-gt，资金投入 C=4t利润 Q=R-C=pw C(8分)求 t 使Q(t)最大，Q(10)=660 > 64010天后出售，可多得利润20元(8分)敏感性分析，研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2，g=0.1，设g=0.1不变，r在2附近变