数学建模城市幸福指数

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：目 录摘要11 问题重述22 问题分析23 模型假设34 符号约定35 模型的建立和求解35.1 问题一35.1.1 模型建立 35.1.2 模型求解 65.2 问

3、题二85.2.1 模型建立 85.2.2 模型求解 96 模型的评价与推广157 写给学校管理管理部门的一封信8 参考文献附录A 17 表A-1 17 表A-2 18附录B 18摘 要幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断，而对于幸福指数的评价则是一个定量的评价。通过调查大量的文献，参考权威人士的研究，对问题一建立了贝叶斯估计模型，采用百分制，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个回答的指标都是肯定的，通过matlab编程计算结果与实际值十分贴近。在问题二中，尝试构建了新的层次分析法和熵值法的综合评价模型。首先我

4、们搜集了师生的调查问卷数据，构建了幸福指数的二级指标体系。由于一级隐性指标没有相关数据，我们采用层次分析法确定权重并进行一致性检验。对于二级数据齐全的显性指标，选择熵值法可以更加客观的给出各指标的权重。最后运用加权评价法得出幸福指数，教师和学生的幸福指数都在69-70之间，通过模型显示结果找到了影响幸福感的主要因素。问题三，以模型的适用范围、幸福指数的可信度、算法特点与结果检验等方面对模型进行评价和推广。论文的最后根据调查分析结果给学校的管理部门写了封短信。关键词：贝叶斯估计 层次分析法 熵值法 加权评价法 matlab1问题重述改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了

5、极大改善。但也有越来越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么？温家宝总理近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。美国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。如果说GDP、GNP是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一个衡量百姓幸福感的标

6、准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。根据你自己对幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表给出了网上调查的一系列数据，根据这些数据，试建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型。2、试查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素。3、你所建立

7、的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之。4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1000字以内)，阐明你对幸福的理解和建议。2 问题分析 2.1问题一分析对于幸福感的评价是一个定性的评价，而对于幸福指数的评价则是一个定量的评价。材料中给出了网民幸福指数的调查结果，可以默认为广大网民幸福指数的样本。在建立模型过程中，量表设计采用李克特“五点”量表，受测者每个回答的指标都是肯定的。评分规则由有利提高幸福指数依次升高，指标得分为20、40、60、80、100。贝叶斯统计的特点在于利用先验信息形成的先验分布，参与统计的推断。本模型中考虑到网民的幸

8、福指数本质上是一种主观多级量化评分的贝叶斯模型。由此，我们建立评价幸福感的指标体系并根据指标建立衡量幸福感的贝叶斯估计模型。2.2问题二分析问题一所建立的模型没有考虑到各指标对幸福指数的权重大小，在客观评价上有所欠缺。我们通过网上查找资料和分析，对评价幸福指数的建立了新的数学模。幸福指数可以由一级隐性指标和二级显性指标来进行评判，第一级的隐性指标由身体状况、人际关系、生活环境、物质条件、自身价值（学生幸福感第一级指标：环境、校园生活、自我实现、学习状况）组成。建立的层次分析结构如图3、4所示。对于一级隐形指标，由于没有相关数据，我们采用层次分析法对一级指标的权重进行赋值。然后根据第二级指标数据

9、量齐全，采用了更加客观的熵值法对二级指标赋权，得出二级指标和一级指标的关系，再根据第一级与幸福指数的关系运用加权平均法得出对幸福指数的量化值。3 模型假设1） 被调查对象所反映的思想都是内心的真实想法2） 调查范围足够广3） 所抽取的样本忽略社会各个阶层的差异4） 对上下级指标量化相对关系的权重时，忽略主观因素的影响5） 调查问卷是随机的，网民分布均匀6） 提取主成分的过程中，不考虑信息量损失对模型结果的影响4 符号约定符号含义Zij第j个指标分数序号为i的票数Z分数序号为i的所有指标的总投票数Xi贝叶斯估计值P实际幸福指数P*模型计算幸福指数值残差A对比矩阵Wi第i个指标对上级指标的权重Vi

10、调查问卷中第i个一级指标Vij调查问卷中属i个一级指标下第j个二级指标fij第i个一级指标下第j个二级指标的分数Fi第i个指标的分数CR一致性指标CIA的一致性指标RI平均一致性指标5 模型的建立与求解与检验5.1问题一5.1.1模型建立在建立此模型前，首先对网民调查指标量化处理，如下表：表1 幸福程度量化值序号内容量化值（分数）1很不幸福202不太幸福403一般604比较幸福805非常幸福100而对网民各指标的设定，有,其中n为指标个数，（其量化分析见附表A-1）。由贝叶斯估计法，。 , ,其中为贝叶斯估计值。由贝叶斯估计（原理见北京市幸福指数的贝叶斯估计），得出幸福指数模型 化简公式，可得

11、网民幸福指数模型为: 5.1.2模型求解与检验将附表1为z矩阵，带入matlab运行（程序见附录A），结果如下:n = 18m = 5 Z = 2005 4435 12306 12243 4597k = 1977P = 0.05634 0.12462 0.34578 0.34401 0.12917 与附表中题一的数据进行对比，比较结果为：表 2 幸福指数计算值与实际值的比较量化值20406080100实际幸福指数0.056650.124430.345980.343960.12898模型幸福指数0.056340.124620.345780.344010.12917残差0.000310.00019

12、0.00020.000050.00019运用excel作图，可以看出，附表中的总体幸福感指数与模型计算幸福指数差距甚微，拟合度高。图1幸福指数实际值与计算值比较通过对残差的考察来判断模型的精度，利用相对误差检验标准来检验幸福指数的贝叶斯模型。相对误差序列 平均相对误差 , 模拟误差幸福指数贝叶斯模型的平均相对误差，模拟误差，贝叶斯幸福指数模型为一级模型。可看出该模型的计算结果与附表中网民总幸福感的统计值几乎一致，由此证明本模型用贝叶斯模型的可行性与准确度因此也用于预测网民的幸福指数。图2 网民幸福感比重网民幸福感的比重，可以看出大部分人觉得现在自己是幸福的，但是那些觉得不幸福的群体更应该引起关

13、注。通过计算得到网民幸福感总分为67.4042，可见整体网民的幸福感属于一般程度。社会以及政府更应该加大力度，创造一个更加祥和幸福的环境。5.1.2模型求解5.2问题二 5.2.1模型建立1、 建立幸福指标体系表我们通过网络等工具查询到一份关于幸福指数的调查报告，并根据结果整合得到如下图。幸福指数身体健康人际关系生活环境物质条件自身价值身体状况业余生活工作压力生活态度师生关系朋友同事关系家人关系工作环境发挥才能平台社会公平程度薪资状况社会经济发展住房条件了解职责所在社会形象学校发展前景图3 教师幸福感层次分析幸福指数V环境校园生活自我实现学习状况社会公平学习生活环境周边治安经济发展大学生活师生

14、关系朋友关系业余生活认识目标专业前景做什么样的人学习压力学习成绩学习条件学业成就感图4 学生幸福感层次分析2、 层次分析法求一级权重（1）构造两两比较判断矩阵。设要对比n个因素对目标z的影响。 （1） 其中， （）（i,j=1,2,.n) (2)由（1）（2）构成的矩阵为正反比较判断矩阵，其中根据saaty等人提出用1-9尺度作为尺度，见表3。表3 1-9尺度Aij的含义尺度含义1Ai与Aj的影响相同3Ai比Aj的影响稍强5Ai比Aj的影响强7Ai比Aj的影响明显的强9Ai与Aj的影响绝对的强2,4,6,8Ai与Aj比的影响在上述两个相邻等级之间1,1/2,.1/9Ai与Aj的影响之比为Aij

15、上面的互反数心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个。用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优用matlab软件得出一级指标对幸福指数的权重向量。（matlab代码见附录B）由此可得出影响教师幸福感的主要因素。（2） 层次分析法的一致性检验。首先计算A的最大特征值，再计算一致性指标CI，定义 （3）式中，n为A的阶数，当CI=0，即=n时，A有完全一致性，CI越大，A的一致性越差。将CI 于平均随机一致指标RI进行比较，令,称RI为随机性一致性比率。当

16、CR 0.10 时，A具有满意的一致性，否则要对A重新调整，知道具有满意的一致性。表4 RI随机一致性指标值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.513、 熵值法求二级权重（1） 对二级指标进行归一化处理，消除量纲的影响。公式如下： (4)（2） 计算第i项指标下第j项因素的比重 （5）（3） 计算第i项指标下第j想因素的熵值 ， 其中 （6）（4） 计算第j项指标的差异系数。对于第j项指标，指标值的差异越大，对方案评价的作用就越大，墒值就越小。定义差异系数： （7）（5） 计算第i项指标下第j项因素的权重 （8）此过程可用ma

17、tlab编程求解，代码见附录C。4、 加权平均法求幸福指数我们采用百分制体系对调查的结果进行量化，得到加权分。其评分表如下：表5 评分表等级非常满意满意一般不满意很不满意100分制10080604020量化计算方法如下： （9）即通过每一个选项的票数在总票数中的百分比与其他相应分值相乘所得乘积并相加。最后通过加权平均法算出第一层各项得分情况： i=1,2 3. （10）最后，幸福指数H=F*W。 5.2.2模型求解 1、教师幸福指数求解一级指标两两的比较判断矩阵为： 用matlab编程求解得一级权W=(0.4891,0.1384,0.0852,0.2304,0.0569)一致性比例CR=0.0

18、0120.1通过检验，w可作为一级权重。图5 教师幸福感各指数比重用熵值法编程求的的二级指标的权重如下：=（0.2118 0.2327 0.3916 0.1638)=(0.4158 0.2131 0.3711)=(0.3741 0.4011 0.2247）=（0.2799 0.4608 0.2593）=（0.3277 0.4634 0.2090）对教师调查问卷数据100分制量化得f1=(69.85,71.71,73.46,59.1)f2=(59.94,78.66,83.66)f3=(69.9125,72.14,56.7)f4=(61.96,64.5,65.16)f5=(77.66,77.64,75.43)通过加权平均法算出第一级指标层的评价得分情况如下：F1F2F3F4F569.9372.7367.8363.9685.30幸福指数：H=F*W=69.64 2、学生幸福指数求解一级指标两两的比较判断矩阵为： 用m