数值期末复习题

1、数值分析分章复习第1章 引论要点：误差基本概念误差分类：截断误差；舍入误差。误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字设计数值计算方法应注重的原则：注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母复习题：1、 设均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算，的绝对误差限2、 已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？它的绝对误差和相对误差各是多少？3、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182, 那末x具有多少位有效数字4、 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字5、 设准确值，以作为的近似值，其有效数字多少6、 设按

2、递推公式计算到，若取27.982(五位有效数字),试问计算将有多大误差?7、 当时，为使计算更精确，应如何变形8、 分析下面Matlab程序所描述的数学表达式，并给出运行结果a=1 2 3 4;n=length(a);t=a(n);x=10;for i=n:-1:2t=x*t+a(i-1);end9、 对于积分。（1）试给出递推计算式（2）分析递推式的数值稳定性；（3）给出初始值的估计。10、 数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？第2章 插值法要点：（1）多项式插值基本概念 （2）拉格朗日插值多项式；基本拉格朗日插值多项式性质 （3）差商表建立；差商与导数间关系（4）Newton插值多项

3、式 （5）Hermit插值多项式复习题：1、 给定数表x12345f(x)0-5-632（1）写出差商表；（2）用一次Newton插值多项式计算的近似值；（3）用三次Newton插值多项式计算的近似值。2、 给定函数指定节点处的函数值（如下表）x3579f(x)273-2（1） 写出的Lagrange插值函数（2） 将写成降幂形式：3、 已知函数，在0,1内三点0，1/2，1的函数值，求其二次插值的余项；4、 求可导函数不超过2次的多项式，使其满足条件：，并写出其误差估计。5、 求一个次数不高于3次的多项式，使它满足。 请直接写出其误差估计式。6、 试利用函数在点处函数值近似计算在点处近似值7

4、、 设，取节点为，0，1，2。（1）试给出的三次插值多项式；（2）估计余项。8、 若f(x)=x7x31，计算：f20,21,22,23,24,25,26,27，f20,21,22,23,24,25,26,27,289、 已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。10、 已知函数,计算函数的2阶均差另外，试计算3阶均差和4阶均差第3章 函数逼近之曲线拟合要点：（1）曲线拟合的最小二乘法基本概念 （2）拟合函数空间中基函数的确定 （3）法方程组的

5、形成及求解复习题：1、 试对如下已知数据进行线性拟合。012345613245652、 依据下表，求形如的拟合函数19253138440.05260.0310.02040.01360.01023、 对下面给定的数据表求直线拟合12341.92.32.83.24、 已知实验数据如下123458.52.39.613.330.8用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差第4章 数值积分要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式 （

6、5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分区间a,b的等分次数n （7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念复习题：1、 已知求积公式为(1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；(2) 用此求积公式计算定积分2、 对于2结点插值型求积公式。（1）如果求积分公式是两结点牛顿科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？ 3、 分别用梯形公式和二点Gau

7、ss公式计算积分，比较二者的精度4、 对于积分。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间0,1应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过5、 确定下列公式中的参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。6、 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度7、 试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。8、 求积公式具有多少次代数精确度9、 试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。10、 试确定下列求积公式的代数精确度 11、 试确定常数,使求积公式 有尽可能高的代数精度,并指

8、出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分（结果保留5位小数）12、 求出二点Gauss求积公式中系数，及节点，。并用此公式计算积分（结果保留5位小数）13、 试证明高斯求积公式的求积系数恒为正14、 确定常数及使求积公式具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？并用上述所得公式计算积分的近似值（计算过程保留6位小数）.15、 求积公式的代数精确度为多少阶16、 利用复合梯形公式近似计算定积分，要求计算误差不小于，试估计区间等分数第5章 线性方程组直接解法要点：（1）利用列主元高斯消去法求解线性方程组 （2）矩阵的Doolittle分解 （3）利用系数矩阵的Do

9、olittle分解求解线性方程组复习题：1、 试用Doolittle三角分解法求解方程组2、 设，（1）求的Doolittle三角分解；（2）利用的Doolittle三角分解式求解3、 用列主元高斯消元法解线性方程组。4、 利用Doolittle三角分解方法求解方程组 5、 用Doolittle分解法解方程组6、 设，对作Doolittle三角分解，其中是单位下三角矩阵，是上三角矩阵7、 用矩阵的直接三角分解法（A=LU）解方程组8、 用列主元素高斯消去法求解线性方程组第6章 线性方程组迭代解法要点：（1）线性方程组迭代格式：Jacobi迭代，G-S迭代 （2）矩阵范数计算，矩阵谱半径计算（3

10、）线性方程组迭代格式的收敛性判断 （4）Jacobi迭代，G-S迭代收敛的判断 （5）线性方程组的性态复习题：1、 已知线性方程组为（1）写出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式；（2）写出Jacobi迭代矩阵和Seidel迭代矩阵；（3）判别这两种迭代法的收敛性。2、 设方程组试问，是否可以适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛？说明收敛原因3、 对方程组，验证Jacobi迭代法的收敛性，若发散，则说明理由，并调整方程顺序使得Jacobi迭代收敛。4、 设方程组，分别写出雅可比迭代格式和高斯-塞德尔迭代格式，并讨论它们的收敛性5、 已知方程组（1）写出解

11、此方程组的雅可比法迭代公式；（2）证明当时，雅可比迭代法收敛；6、 对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式，并说明收敛的理由7、 设，试给出的范围确保方程组的Jacobi迭代法及GaussSeidel迭代法收敛的充分必要条件8、 已知求，9、 设，求和10、 ，试计算和 这里p=1,2,11、 线性方程组用Jacobi迭代法是否收敛，为什么？其中12、 设线性方程组: ，（1） 试给出Gauss-Seidel迭代格式（2） 讨论由Gauss-Seidel迭代所产生的向量序列是否

12、收敛，为什么？第7章 非线性方程求根要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断（2）迭代公式收敛阶概念（3）Newton迭代公式及收敛性定理复习题：1、 建立一个迭代公式计算数 ，要求分析所建迭代公式的收敛性2、 对于方程，（3） 证明在区间-1.9，-1内有唯一实根（4） 讨论迭代格式 的收敛性如何？（5） 写出求解该实根的牛顿迭代公式3、 为求在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：（1）；（2）。试分析每一种迭代的收敛性4、 对于方程在0.5附近的根。（1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。（2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式5、 应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式6、 对于非线性证明方程（1） 证明在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.（2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式7、 据理证明是方程的一个二重根，并构造计算的具有平方收敛阶的Newton 迭代8、 求方程在