攻克解析几何综合题的几种策略

1、收稿日期：2012-05-11作者简介：郭允远（1963），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考研究.攻克解析几何综合题的几种策略郭允远(山东省临沂市教育科学研究中心)摘要：解析几何综合题，在高考解答题中一般出现在最后两题之一的位置，以其综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、经久不衰的热点、难点问题.从破解难点的角度，以典型高考试题为例，给出全面审题、分部转化，设而不求、整体处理，数形结合、减少运算等一般性策略,在关键之处有点评,可有效解决这类难题之难点.关键词：解析几何；综合题；高考

2、题例；解题策略解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题，如是否存在问题，定点、定值、最值等问题这样的问题设计,特别有利于考查学生综合分析解决问题的能力,因而成为高考的主干内容之一, 而且常以压轴题呈现，常考常新，经久不衰.可以说,这几乎是所有学生的一个难点, 很多学生对其有惧怕感,有的只做第一问,第二问干脆放弃.对此,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题,分析攻克这类题目第二问、第三问的一般性策略,供广大师生参考.一、 全面审题，分部转化由于解析几何综合题具有信息量大、字

3、母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向.因此，审清题意、找到解题的入口是解题的前提.全面审题要做好“三审”：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条件.弄清题干给出的是哪一种或几种曲线，它们是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出图形），通过审结论明确解题目标。但是，由于条件和结论距离甚远,很可能还找不到解题的方向,那么，就要对条件逐一进行转化,向着结论指示的解题目标转化,同时也转化结论,一旦“对接”,就找到了问题解决的入口。例1（2011年湖南卷·

4、;理21）如图1，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长(1)求的方程； 图1(2)设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点分别与相交于点D、E.证明：记的面积分别是问：是否存在直线l，使得请说明理由.解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线l与相交问题.第（1）问易得的方程分别为第(2)问，通过审图形、审条件，抓住问题的本质是直线l与相交于点A、B，实施如下转化即可使问题获得解决:.第(2)问为存在性问题，假设存在直线l满足，需要分别求出、的表达式，由与，则求出点A、B与D、E的坐标即可.设直线MA的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点A的坐标为又直线

5、MB的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.【点评】利用类比推理，直接得到点B的坐标，节省了运算.于是又由得，解得或，则点D的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点E的坐标，于是，因此.由题意知，解得或.又由点A、B的坐标可知，所以故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和.【点评】若直接设AB的方程为y=kx与抛物线的方程联立，可以用k表示出，但用k表示的运算就复杂了.所以注意运用的结论，即与，转化为直线MA(MD)与、的关系，进而把、都用MA的斜率表示，通过点A、B的坐标完成了与k的“对接”.二、设而不求，整体处理在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数），如点的坐标、直线方程、圆

6、锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题能否完成的关键.要围绕解题的总目标,运用设而不求等运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到化繁为简、事半功倍的卓越功效.例2（2011年浙江卷·理21）已知抛物线，圆的圆心为点M.（1）求点M到抛物线的准线的距离；（2）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A、B两点，若过M、P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.解析：（1）易得圆心M(0,4)到准线的距离为.（2）本题涉及三个动点P、A、B，两条动直线AB，l两种位置关系：相切、垂直，要求直线l的方程，需求l的斜率或点P的坐标,离

7、已知条件甚远,所以要实施分部转化,先大胆设出三个动点的坐标,用坐标表示两种位置关系.设，、由题意得，.【点评】利用点P、A、B在抛物线上,巧设点的坐标,较少了变量个数，使得以下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件也是重要的一点.所以PA方程为,即.因为PA与圆M相切，所以,即.同理,所以、是关于t的方程的两个根.所以，.而=.【点评】整体求出、整体代换的整体策略在这里得到了充分地体现！至此，问题的解决便水到渠成.又，因为，所以，即，解得.所以，所以直线的方程为.三、 数形结合，减少运算解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，注意利用图形特点和性质,

8、往往可以减少运算量,使问题获得简捷解决.例3(2010年陕西卷·理20）如图，椭圆的顶点为焦点为（1）求椭圆C的方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于A、B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析: （1）易得.(2)由条件,则有，即可得所以，故.当直线l不垂直于x轴时，设l：y=kx+m，由，得，即将直线l的方程代入椭圆方程，整理得设点A、B的坐标分别为，则.由上得，即，再把代人并化简，得，将代入得，矛盾即此时直线l不存在.当l垂直于x轴时，可验证也不存在.【点评】由条件得到，再由三角形相似关系推得，从而

9、得到，这是一个由数到形、又由形到数的推理过程,既为本题的解决找到了突破口，又大大减缩了运算过程.如果单纯从已知的向量等式出发，设出P、A、B的坐标代入，来寻求坐标间的关系，虽然也能解决问题，但运算过程较为繁琐.也可用下列向量方法推得：四、特“形”引路，先知后证在解析几何的定点、定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明. 例4（2005年全国卷I·理21） 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a=（3，-1）共线（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，求证：为定值.

10、解析：（1）易得离心率（2）设出M点的坐标，将条件中的等式用坐标表示.，则由（1）问的结果，得椭圆方程为，将点M坐标代入即得展开，围绕解题目标：证明为定值，故要分离出.，于是再如何进行呢？面对如此复杂的式子，很多考生往往不知所向.此时，如果先通过点M的特殊位置猜出定值，可以为我们的解题指明方向.当点M运动到点A时，则,即可发现定值是1【点评】抓住问题的特殊性进行猜想是一种哲学方法.于是,只要证明,这样解答方向明确，问题迎刃而解.过程如下:例5 以为焦点的椭圆C过点（1）求椭圆C的方程；（2）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直

11、径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.解析：第（1）问易得椭圆C的方程为.第（2）问为定点问题,如果直接设定点T的坐标,转化为恒成立问题去解决,则运算非常繁琐；若研究直线l的两种特殊情况：当直线l与x轴重合时，以AB为直径的圆是当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆是由解得两圆相切于点（1，0）。因此所求的点T如果存在，只能是再给出一般情况下的证明：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1,0), 若直线l不垂直于x轴，可设直线l的方程为由得记点，则又因为所以，即以AB为直径的圆恒过点T(1,0). 即在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件.五、耐心细致，谨防错漏以上介绍的四种策略,分别对应了五道例题作重点说明.事实上,解答一道解析几何综合题几乎都要用到以上策略，而且因为题目的长度大、难度大、运算量大，在学生找到入口形成思路的的前提下,还会出现因某一步运算出错导致半途而废,或沿着错误的结果做下去的会而不对的现象,还会因考虑不周出现对而不全的现象.如:在设直线方程时忽略了斜率不存在的情况,在消元转化为一元二次方程后忽略了对判别式的讨论,等等.