数列极限的解法15种_第1页
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文档简介

1、1.定义法：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当时，有，则称数列收敛于.记作：.否则称为发散数列.例1.求证其中. 证：当时，结论显然成立. 当时，记，则，由 得，任给，则当时，就有，即即 当 综上，例2.求 解：< 2.利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：正整数，使得当时，有.例3.证明：数列为收敛数列. 证，取，当时，有由柯西收敛准则，数列收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列满足条件 ，则称为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛证：令那么单调递增，由已知知有界，故收敛，从而正整数，使得当时，有 此即由柯西收敛准则，数列收敛.注：柯西收敛准则

2、把定义中的与a的关系换成了与的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3运用单调有界定理 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极.例5.证明数列（n个根式,a>0,n=1,2,）极限存在，并求.证：由假设知 （1） 用数学归纳法易证： 此即证单调递增.用数学归纳法可证， 事实上， 由（1）（2）证得单调递增有上界，从而存在，对（1）式两边取极限得 ,解得和（舍去）.4利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列都以为极限，数列满足：存在正数N，当n>N时，有，则数列收敛，且.例6.求解：记，则 由迫敛性得=.注：迫敛性在求数列极限中应用广

3、泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为定义在上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任意分割T,以及在其上任意选取的点集,只要T<，就有，则称函数在上（黎曼）可积，数J为在上的定积分，记作.例7. 解：原式= = =例8.求 解：因为又 =同理由迫敛性得=.注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。6利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：对任何，有例9. 求 解：= =1 例10.计算解：一方面，另一方面， 由归结原则（取）由迫敛性得=注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、

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