微积分下期末复习提纲

1、微积分复习提纲一、 微分1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分或者梯度函数多元显函数的偏导数，见P16 例1-例3，P24习题1多元抽象函数的偏导数，见P28 例5-例7，P36 习题3高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，22、会求由方程确定的隐函数的偏导数“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8由方程组确定的隐函数的导数，（直接法：在方程两端同时对求导，求导过程中把都看做是的函数，然后解方程组即可）

2、，见P35例14，P37习题9由方程组确定的隐函数的偏导数（直接法） 见P37习题93、多元函数微分学的几何应用空间曲线在点处的切线方程及法平面方程， 见P46 例1，例2， P50习题1、2空间曲线在点处的切线方程及法平面方程 见P46 例3， P50习题2 曲面在点处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 4、方向导数与梯度二、 积分1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域， 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分3）化二重积分为二次积分 4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。 注：要会做改变二次积分的

3、积分次序，并计算此二次积分的值这种题型，见半期考试试题2、三重积分的计算步骤：1）根据题意写出积分区域的边界曲面的方程 2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分3）化三重积分为三次定积分 4）做三次定积分，计算此积分的值3、曲线积分的计算化曲线积分为定积分1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）步骤：写出积分弧段的参数方程，并确定参数的取值范围 根据的参数方程写出弧长元素根据的参数方程化曲线积分为对参数的定积分2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：直接化为定积分步骤：写出积分弧段的参数方程，并确定的起点和终点对应的参数值根据的参数方程化曲线积分为对参数的定积分：方法二：利用曲线积

4、分与路径无关及格林公式步骤：找出，并求若在一个单连通区域上恒成立，则曲线积分与路径无关，从而我们可以选择平行于坐标轴的折线段计算此曲线积分：如图选择折线段作为积分路径：利用方法一把这两个曲线积分，分别化为两个定积分即可求出，即若在一个单连通区域上恒成立，则曲线积分与路径有关，可用格林公式求解添补直线段BC: 和CA: ,则与BC，CA构成一条封闭的曲线，记此闭曲线围成的平面有界闭区域为。如图所示：利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得：注：计算曲线积分的时候，一般先用方法一把曲线积分转化为定积分，当这个定积分不容易求解时，就改用方法二求解4、曲面积分的计算化曲面积分为二重积分1)第一类曲面

5、积分(对面积的曲面积分)步骤：将积分曲面的方程改写为：；画出积分曲面在面上的投影区域；根据积分曲面的方程写面积元素：化曲面积分为二重积分：2)第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)方法一：（直接化曲面积分为二重积分）步骤：将积分曲面的方程改写为：，并指明此有向曲面取上侧还是下侧；画出积分曲面在面上的投影区域；化曲面积分为二重积分：特别地，注：1）计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值； 2）若此二重积分不好计算或是积分曲面是由几个部分组成，分区面做积分比较麻烦的时候可以考虑利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式分情况讨论：)若积分曲面是一个取外侧的封闭的曲面，且，及其偏导数在此闭曲面围成的空间

6、有界闭区域上连续，则由高斯公式有：)若积分曲面不是封闭的曲面，则不能直接利用高斯公式，一般需要添补平面：，并指明所取的侧，使得与围成一个取外侧的闭曲面，记此闭曲面围成的空间有界闭区域为，从而： （此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性）5、多元函数积分学的应用1）（用于求平面图形的面积）2）（用于求立体的体积）3）（用于求曲线的弧长）4）（用于求曲面的面积）5）物理应用三、 无穷级数一） 常数项级数1、正项级数的敛散性的判定步骤：1) 做极限，若，则此级数发散；若，则2)2) 根据一般项的形式选择适当的方法判断其敛散性。2、交错级数或的敛散性的判定莱布尼兹判别法：找到做极限，若，则此交错级数发散

7、；若，则此交错级数收敛。3、判断一般项级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：1）判断的敛散性，（注：是一个正项级数）2）若收敛，则作结论：收敛，且绝对收敛。3）若发散，则还要讨论本身的敛散性。二） 幂级数1、 求幂级数的收敛域。（先求收敛半径，再讨论端点处幂级数的敛散性）2、 求幂级数的和函数。1） 充分利用等比级数的求和公式及幂级数可用逐项求导或逐项积分的性质，先求，再求。2） 利用幂级数展开式，计算系数中含有阶乘的幂级数的和函数。3、 将函数用的幂级数逼近或将展开成的幂级数方法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换求的幂级数展开式；先求的幂级数展开式，再利用幂级数可以逐项积分或逐项求导得性质求出的幂级数展开式。4、 将函数用的幂级数逼近或将展开成的幂级数方