必修4 平面向量典型例题及练习

1、第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念【知识点归纳】1.平面向量的概念：2.向量的表示：（常见的2个向量）3.相等向量与共线向量：【典型例题】题型一 向量的基本概念例1.给出下列命题：向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量； 若a=b, b=c,则a=c；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若|a|=|b|,则a=b。 若a与b共线, b与c共线,则a与c共线其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个例2下列命题正确的有 a与b共线，b与c共线，则a与c也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量a与不

2、共线，则a与都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行题型二 向量的表示例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点, 然后又改变方向,向西偏北45°走了200km到达C点, 最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点. (1)作出向量,;(2)求题型三 相等向量与共线向量例4 如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量，相等的向量，共线的向量。题型四 利用向量解决多点共线的问题例5.如图，四边形ABCD中，P,Q是AD，BC上的点，且,求证：综合练习：1. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若|a|=|b|，则a=b B. 若a=b,则a与b是平行向量C. 若|a|>

3、;|b|,则a>b D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量2.下列说法中错误的是（ ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 4.已知非零向量ab,若非零向量ca,则c与b关系是 .5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 .6.判定下列命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量。 （ ）平面内的单位向量只有一个。 （ ）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（ ）向量a与b是共线向量，bC,则a与

4、c是方向相同的向量。 ( ) 相等的向量一定是共线向量。 ( )7. 下列四个命题中，正确命题的个数是 共线向量是在同一条直线上的向量 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 若四边形ABCD是平行四边形，则与，与分别共线.2.2 平面向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘【知识点归纳】1.向量的加法：2.向量加法的平行四边形法则：3.向量的加法的运算率：4.向量的减法：5.向量减法的平行四边形法则：6.向量数乘的概念：7.向量的数乘的性质：8.向量共线的条件：9.向量的线性运算10.向量证明三点共线：三角形的中线与重心公式：【典型例题】

5、题型一 向量的加减法例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（ ）A. B.C. D.例2如图所示，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点,则( )A.B.C.D.题型二 向量的作图例3已知在矩形ABCD中，宽为2，长为,a, b,c,试作出向量a+b+c，并求出其模的大小例4.已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-dOADBCMNN题型三 用已知向量表示未知向量例5.如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=BC，CN=CD试用，表示，变式：设D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab ab ab 0.其中正确的命题个

6、数为 （ ） A.1B.2 C.3D.4 题型四 向量的加减法综合运用例6.设两个非零向量、不是平行向量（1）如果=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线；（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量例7.已知O是ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a, =b, =c,试证明:c+a-b=.综合练习：1.下列命题正确的有 单位向量都相等 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b对于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b|2. 以下四个命题中不正确的有 若a为任意非零向量，则a0 | a+b|=|a|+|b|a=b，则|

7、a|=|b|，反之不成立 任一非零向量的方向都是惟一的3.已知，则的取值范围为 4. 设（+）+（+）= ,则在下列结论中，正确的有 ; +=; +=; +5.化简6.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .2.3 平面向量 平面向量基本定理【知识点归纳】1.平面向量的基本定理：2.向量的夹角：【典型例题】题型一 基底的判定例1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =e1+u

8、e2(、uR)题型二 用基底表示向量例2.已知 a=-e1+3e2，b= 4e1+2e2，其中e1，e2不共线，向量c=-3e1+12e2，用试用a，b作为基底来表示c题型三 向量的夹角例3.已知两个非零向量a，b的夹角为80°，求下列向量的夹角：（1）a与-b （2）2a与3b练习：1.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定2.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3 B.-3 C.0

9、D.23.已知a、b不共线，且c =1a+2b(1，2R)，若c与b共线，则1= . 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算平面向量的共线的坐标表示【知识点归纳】1.平面向量的正交分解：2.平面向量的坐标表示：3.平面向量的坐标运算：4.平面向量共线的表示：5.三点共线：【典型例题】题型一 求向量的坐标例1.已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。题型二 平面向量的坐标运算例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2

10、， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐标.练习：1若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标2若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）A BC D4已知，则等于（ ）A B C D5已知平面向量 ， ，且2，则等于（ ）A B C D6. 已知，若与平行，则等于（ ） A. 1 B. -1 C.1或-1 D.27.已知，则的坐标为_.8 . 已知，则

11、以，为基底，求.题型三 向量共线的证明及判定例5.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？题型四 向量共线求参数例6 已知，且，求练习：1.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为_.2.设，且，求角题型五 三点共线例2: 已知，求证、三点共线例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.练习：1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且，则y

12、=（ ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）A.-3 B.-1 C.1 D.33.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，44.已知=(4，2)，=(6，y)，且，则y= .5.已知=(1，2)，=(x，1)，若+2与2-平行，则x的值为 2.4平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及含义【知识点归纳】1.平面向量的数量级的概念：2.平面向量数量积的几何意义：3.向量数量积的性质：

13、【典型例题】题型一 平面向量数量积的基本概念例1.给出下列命题：若|a|=|b|，则a=b或a=-b；|a·b|=|a|b|；a·b=0a=0或b=0；若ab且bc，则ac。其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3题型二 求向量的投影和数量积例2.已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求·.练习：1.已知a=(1，-2)，b=(3，4)，则a在b方向上的投影是_2.已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.题型三 求向量的模例3.已知|=6， |=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3)练习：1.已知|=2，|=1，与之间

14、的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.122.已知|=1，|=，(1)若，求·；(2)若、的夹角为°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.题型四 向量垂直的判定例4.已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.题型五 求向量的夹角的余弦值例5.设m、n是两个单位向量，其夹角为°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角. 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点归纳】1.平面向量的数量积的坐标表示2.平面向量的模的坐标表示3.平面向量的夹角的坐标表示（平行，垂直）【典型例题】题型一 向量数量积的坐标运算例1

15、.a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的 数量积为_例2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A.2 B.2 C.6 D.12题型二 向量的夹角坐标运算例3.设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角例4.已知向量a=(-2,-1),b=(,1)若a与b的夹角为钝角,则取值范围是多少?题型三 向量的垂直例5.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.°例6.已知，当k为何值时，（1）垂直？练习：1.已知则（）A.23 B.57 C.63 D.832.已知则夹角的余弦为（）A. B. C. D.3.则_。4.已知则_。5.则_ _6.与垂直的单位向量是_A. B. D. 7.则方向上的投影为_8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为( ) A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不等边三角形9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（）A.正方形B.菱形C.