曲面积分作业及答案2831

1、第二十八次作业 第二十二章 曲面积分 §1第一型曲面积分 班级： 姓名1、计算，其中分别是：（1）球面； （2）解：（1）解：（2）2、计算下列曲面积分：（1），其中是圆锥曲面被曲面所割下的部分；解：（2），其中是柱面被平面所截取的部分；解：（3），其中是立体的边界曲面；解：3、求均匀曲面的重心；解：质量所以，均匀曲面重心坐标是。4、求密度为的均匀球面对于轴的转动惯量。解： 第二十九次作业 第二十二章 曲面积分 §2第二型曲面积分 班级： 姓名 1、计算下列第二型曲面积分：（1），其中为由六个平面所围的立方体表面，并取外侧为正向； 解： 另法：由高斯公式得（2），其中为以原

2、点为中心，边长为2的立方体表面，并取外侧为正向； 解：另法：由高斯公式得 （3），其中是球面的上半部分并取外侧为正向。解：另法：补上平面，则构成封闭曲面，取外侧，由高斯公式得（4），其中是球面并取外侧为正向。解：， 另法：由高斯公式得（5），其中是平行六面体的表面，并取外侧为正向，为上的连续函数。解：，同理可得：所以，原式=2、设某流体的流速为，求单位时间内从球面的内部流过球面的流量。解：另，由高斯公式第三十次作业 第二十二章 曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式1 班级： 姓名1、应用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中是锥面与平面所围空间区域的表面，方向取外侧；解：空间区域在

3、上的投影区域是，由高斯公式有 （2），其中是球面的外侧。 解：空间区域在上的投影区域是，由高斯公式有（3），其中是上半球面的外侧。 解：补上平面，则构成封闭曲面，取外侧，由高斯公式得 （4），其中是曲面的外侧。解：补上平面，则构成封闭曲面，取外侧，在上的投影区域是，由高斯公式得 而 ， 所以 2、应用高斯公式计算下列三重积分，其中是由与所确定的空间区域。解：记， 令，则在上恒成立，所以 3、 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧。解：将看成是曲面的边界，取上侧，由斯托克斯公式另法：由两类曲面积分之间的关系得：（2），其中为所交

4、的椭圆，从轴正向看，取逆时针方向。解：考虑以为边界的平面，取上侧。解法一：因为垂直于面，由斯托克斯公式得解法二：平面上任意点处的法向量，方向余弦为，由斯托克斯公式及两类曲面积分中关系得 （3），其中为以为顶点的三角形沿的方向。解：考虑以为边界的平面，取上侧，则平面上任意点处的法向量，方向余弦为，由斯托克斯公式及两类曲面积分中关系得 第三十一次作业 第二十二章 曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式2 §4场论初步 班级： 姓名1、求下列全微分的原函数：（1）解：因为，所以原函数，其中是任意常数。（2）解：，则 故曲面积分与路径无关，取定点，取折线，则 2、 验证下列曲线积分与路径无关，并计算其值：（1）解：，则，故曲面积分与路径无关，取折线，则（2），其中在球面上。解：，所以曲面积分与路径无关，原函数另法：取折线，则 3、若，计算解： 4、求在点处的梯度，并求梯度为零之点。解：，则点处的梯度为因为 令 ， 即点处梯度为零。5、求向量场的散度与旋度。解：6、证明：场是有势场，并求其势函数。证明：因为，所以是有势场。又所以其势函数为。7、设流速为常数），求环流量：（1）沿