曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答

1、第八章 曲线积分与曲面积分8.1对弧长的曲线积分8.2对坐标的曲线积分07.1) 设曲线具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （ B ）(A) . (B) . (C) . (D) .04.1) 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .（利用极坐标将曲线用参数方程表示）09.1) 已知曲线，则=10.1)已知曲线L的方程为起点为终点为则曲线积分 0 （直接算或格林）01.1)计算，其中L是平面与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。解：记为平面上L所围部分的上侧，D为在坐标面上的投影。由

2、斯托克斯公式得=-2408.1)计算曲线积分，其中L是曲线上从点到点的一段.（路径表达式直接代入）8.3格林公式02.1)设函数在内具有一阶连续导数，L是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当时，求I的值.03.1) 已知平面区域，L为D的正向边界. 试证：(1) ; (2) 【详解】 方法一：(1) 左边=， 右边=，所以 .(2) 由于，故由（1）得方法二：（1） 根据格林公式，得，.因为D 具有轮换对称性，所以=，故 . (2) 由(1)知= = （利用轮换对称性） =05.1)设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L

3、上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.Y【详解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 比较、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而06.1)设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t>0都有.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有证：把得：令 ，则 再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为今 要求 成立，只要我们已经证明，于是结论

4、成立。8.4对面积的曲面积分07.1) 设曲面，则=解：由于曲面关于平面x=0对称，因此=0. 又曲面具有轮换对称性，于是=10.1)设P为椭球面上的动点，若S在点P处的切平面与面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中是椭球面位于C上方的部分.8.5对坐标的曲面积分06.1) 设是锥面的下侧，则 (补一个曲面上侧)8.6高斯公式05.1) 设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.(用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可)08.1)设曲面是的上侧，则 （高斯）04.1) 计算曲面积分其中是曲面的上侧.【详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则 由高斯公式知 = =而 ，故 07.1) 计算曲面积分其中为曲面的上侧。【详解】 补充曲面：，取下侧. 则 =其中为与所为成的空间区域，D为平面区域. 由于区域D关于x轴对称，因此. 又=其中.09.1) 计算曲面积分其中是曲面的外侧。【考点】中复连通域上的 Stokes定理、Gu