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文档简介

1、换个角度求平面的法向量研究空间夹角问题图1众所周知，过一定点与已知非零向量垂直的平面是确定的，也就是说，只要知道一定点和一非零向量，就可以求解出过该定点与已知向量垂直的平面方程.比如已知点与平面，向量（不同时为零），于是可以借助向量垂直求解过点与向量垂直的平面的方程：设平面内的任一点，则，即，整理得，即为所求平面的方程.于是根据过点与向量垂直的平面的方程的具体形式，若取可知空间内任一平面的方程的形式为（不同时为零），从求解可以看出平面方程（不同时为零）中的系数对应的实数对就是平面的法向量.再者，根据空间立体几何知识可知过不共线的三点确定一个平面，也就是说，若过已知一个平面内不共线三个点的坐标就

2、可以利用待定系数法求解这三点所在的平面方程，进而就可以利用此法确定相应平面的法向量，研究空间中的夹角（线面角、面面角）问题.例1（2011年高考全国卷理科第19题）如图1 ，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：；图2（)求与平面所成角的大小. 解析：以点为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图2所示的直角坐标系.依题意得. 设点，则. 由得，即； 再由得，即； 由得，即，则，即.（）设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由及可得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.而，即，故；（)设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由及可得，即，取，得.于是平面的方程为，其法向量为，而,设

3、与平面所成角，则.图3故与平面所成的角为.例2.（2011年高考辽宁卷理科第18题） 如图3，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）证明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值 解析：以点为坐标原点，设，射线为为轴正半轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，依题意可知.（I）)设平面的方程为（不同时为零），图4其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为,其法向量为.设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.于是，则，故平面PQC平面DCQ；（II）设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.设平面的方程为（不同时为零），其法向量为.由得，即，取，则.于是平面的方程为，其法向量为.，而二面角QBPC的平面角为钝角，故二面角QBPC的余弦值为.巩固练习：图51.如图5，所示，在正方体中，是棱的中点.（）求直线与平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论. 2.如图6，正方形ABCD和图6四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：

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