综合法与分析法

1、2 2. .2 2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.12.2.1综合法与分析法综合法与分析法理解综合法和分析法的概念及它们的区别，理解综合法和分析法的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法、分析法证题能熟练地运用综合法、分析法证题本节重点：综合法与分析法的概念及用分析法与综合法证题的过程、特点本节难点：用综合法与分析法证明命题1 1分析法与综合法既有区别又有联系，分析法是分析法与综合法既有区别又有联系，分析法是从从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”，每步推理都是寻找该步结论的充分条件，是每步推理都是寻找该步结论的充分条件，是“执果索因执果索因”，综合法是从，综

2、合法是从“已知已知”看看“可知可知”逐步推向逐步推向“未知未知”，每步推理都是，每步推理都是“由因导由因导果果”，而实际解决问题时，常将两种方法结合，而实际解决问题时，常将两种方法结合起来使用由已知条件看能得到哪些明显的结起来使用由已知条件看能得到哪些明显的结论，看待证结论需要这些结论中的哪些才能获论，看待证结论需要这些结论中的哪些才能获证，常常是证，常常是“分析找思路，综合写过程分析找思路，综合写过程”2 2综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论

3、都是正确的，不推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的同于合情推理中的“猜想猜想”综合法和分析法综合法和分析法综合法综合法分析法分析法定义定义利用利用 和某和某些数些数学学 、 、 等，经过一等，经过一系列的系列的 ，最后推导出所要证明最后推导出所要证明的结论成立，这种证的结论成立，这种证明方法叫做综合法明方法叫做综合法从要证明的从要证明的 ，逐步寻求使它成立逐步寻求使它成立的的 ，直至最，直至最后，把要证明的结论归结后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条为判定一个明显成立的条件件(已知条件、已知条件、 等等)，这种证，这种证明方法叫做分析法明方法叫做分析法已知条件定义公

4、理定理推理论证结论出发充分条件定理、 定义、公理综合法综合法分析法分析法框图框图表示表示(P表示表示 、已有的、已有的 等，等，Q表示表示 )特点特点顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法逆推证法或执果索因法已知条件定义、公理、定理所要证明的结论例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,

5、b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :1.综合法证明问题的步骤第一步：第一步：分析条件分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法方法第二步：第二步：转化条件转化条件，组织过程把题目的已知条件，转化，组织过程把题目的已知条件

6、，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路言，清晰的思路第三步：第三步：适当调整适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取反思总结解题方法的选取方法归纳方法归纳方法归纳方法归纳3综合法是一种由因索果的证明方法，其逻综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法一辑

7、依据也是三段论式的演绎推理方法一般问题都是用综合法解决的，要保证前提般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性结论的正确性方法归纳方法归纳 设设a a, ,b b, ,c c0,0,证明：证明： 本题因为有三项分式，不主张用分本题因为有三项分式，不主张用分 析法证明不等式，要特别注意基本不等式的运析法证明不等式，要特别注意基本不等式的运 用和对题设条件的运用用和对题设条件的运用. .这里可从去分母的角这里可从去分母的角 度去运用基本不等式度去运用基本不等式. . 证明证明 a a, ,b b, ,c c00，根据基本

8、不等式，根据基本不等式，.222cbaaccbba.).(2:.2,2,2222222222cbaaccbbacbacbaaccbbacaacbccbabba即三式相加有例例2练习练习2221.131.abcabcabc 已知 ， ， 为正实数， 求证： 素材 ：222222222222222222222211(3331)331333() 31(333222)31()()() 0.31.13abcabcabcabcabcabcabacbcabbccaabc 方法 ：所 证以明：22222222222222222222()2223()()11.23abcabcabacbcabcabacbcabc

9、abcabc因为 ，所以 ，所以 方法 ：222222222222222111.13330.111()()()3331211().3333.313abcabcabcabc设 ， ， 因为 ，所以 所以 所以 方法 ：分析不等式中的a，b，c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式的性质推导出证明的结论证明a2b22ab，a0，b0，(a2b2)(ab)2ab(ab)a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2.a3b3a2bab2.同理：b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2.将三式相加得：2(a3b3c3)a2bab2bc2b2ca2cac2，3

10、(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2c2)? : ?A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数分由列可得什么析0260(?)A CBB 为 什 么2bac?怎样把边,角联系起来222:2cosbacacB余弦定理符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言学会语言转换学会语言转换找出隐含条件找出隐含条件3,.ABCABC例中 三个内角A,B.C对应的边分别为a,b,c.且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证为等边三角形练习练习2cossincos144，、求证：对于任意角abbaba16).sintan,sint

11、an2222求证：（、已知 分析要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法证明点评(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语方法归纳方法归纳练习练习练习练习 已知已知a a0,0,求证求证: : 证明证明 . 212122aaaa, 212122aaaa要证4141,)21()

12、21(, 0. 21212222222222aaaaaaaaaaaaa即故只要证只要证., 21),12(2)1(4),1(212, 2)1(22122222222222故原不等式成立而上述不等式显然成立即只要证从而只要证aaaaaaaaaaaaaa例例5ABC的三个内角的三个内角A、B、C成等差成等差数列，数列，A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c.分析分析条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过

13、程就是综合法就是综合法只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A、B、C成等差数列，故B60，由余弦定理，有b2c2a22accos60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2得证综合法：证明：ABC三内角A、B、C成等差数列，B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos60，得c2a2acb2，等式两边同时加上abbc得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，点评综合法和分析法各有优缺点从寻找解题思路来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功，就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文

14、辞见长也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主导求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程方法归纳方法归纳求证：logn(n1)logn1(n2)(n2)练习练习 若若a a、b b、c c是不全相等的正数，是不全相等的正数， 求证求证: : 用分析法得到用分析法得到 再用综合法证明再用综合法证明. .证明证明 方法一方法一.lglglg2lg2lg2lgcbaaccbba,222abcaccbbaaaccbbalg2lg2lg2lg要证,lglg成立cb.)lg()222lg(成立即证abcaccbba,222成立只需证

15、abcaccbba练习练习成立0222, 02, 02, 02abcaccbbacaacbccbabba（*）又又a a、b b、c c是不全相等的正数，是不全相等的正数，（* *）式等号不成立，）式等号不成立，原不等式成立原不等式成立. .方法二方法二 a a、b b、c cR R+ +，. 02, 02, 02caacbccbabba又又a a、b b、c c是不全相等的正数，是不全相等的正数，.222abcaccbba 分析法和综合法是对立统一的两种分析法和综合法是对立统一的两种方法方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程析、思考过程，综合法是分析法的逆过程. .lglglg2lg2lg2lg).lg()222lg(cbaaccbbaabcaccbba即分析分析先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子，先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子，再用综合法进行证明再用综合法进行证明(2)在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根