无穷级数解题方法归纳

1、第十二章解题方法归纳 一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散. 2. 比较审敛法 3. 比较审敛法的极限形式 4. 比值审敛法 5. 根值审敛法1. 一般项极限不趋于零则级数发散例1 判定级数的敛散性.解 由于，所以发散.方法技巧 无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第一步都是验证一般项的极限是否为零.2. 比较审敛法例2 判定级数的敛散性.解 当时，而收敛，所以收敛.当时，而收敛，故收敛.当时，而发散.所以，级数在时收敛；在时发散.方法技巧 比较审敛法中，选作参照物的级数可以是级数，也可以是等比级数. 3. 比较审敛法的极限形式例3 判定级数的敛散性.解

2、 取，则， 而发散，由比较审敛法的极限形式得发散.4. 比值审敛法例4 判定级数的敛散性.解 ，无法断言原级数是否收敛，但，从而单调递增且，故，所以，发散.5. 根值审敛法例5 判定级数的敛散性.解 ，故由根值审敛法知发散.二、任意项级数敛散性的判定例6 试研究级数是绝对收敛、条件收敛还是发散.解 先考虑级数的敛散性.当时，而收敛，故由比较审敛法得收敛，从而绝对收敛.当时, ,而发散，故由比较审敛法得发散.下面讨论级数的敛散性.令，则,当充分大时，所以单调递减，且 ，所以，函数单调增加，故单调减少，且，所以交错级数收敛，故条件收敛.方法技巧 正项级数敛散性取决于参数的取值，因此先就的情况进行了

3、讨论，另交错级数数列的单调性应用函数的导数来说明.三、幂级数的收敛半径、收敛域的求法1.不缺项的幂级数收敛半径的求法2. 缺项的幂级数收敛半径的求法3. 非标准形式的幂级数收敛半径、收敛域的求法1.不缺项的幂级数收敛半径的求法例7 求幂级数的收敛半径.解 由于级数是不缺项的，故，所以幂级数的收敛半径为3.2. 缺项的幂级数收敛半径的求法例8 求幂级数的收敛域. 解 由于级数缺项，故需要采用正项级数的比值（根值）审敛法确定收敛半径，故 ，解得，故收敛半径为. 又当时，幂级数变为，显然发散 ，故收敛域为.3. 非标准形式的幂级数收敛半径、收敛域的求法例9 求级数的收敛域. 解 令，则原级数变形为，

4、此时级数不缺项，故，当时，发散；当时，收敛； 故的收敛域为，从而原级数在内收敛，故级数的收敛域为或.四、幂级数和函数的求法 1. 利用微分、积分的方法求和函数 2. 转化为微分方程求和函数 3利用已知的函数的幂级数展开式求和函数 1. 利用微分、积分的方法求和函数 例10 求幂级数的和函数.解 因为且时级数发散，故幂级数的收敛域为设（直接积分无效，只能进行拆项） 记 所以 .2. 转化为微分方程求和函数例10 求幂级数的和函数.解 易求此幂级数的收敛域为.设，则，因此，且,由常系数齐次线性方程组的解法有 ，由初始条件得,从而，故 .3利用已知的函数的幂级数展开式求和函数例11 求幂级数的和函数

5、.解 令 ，五、常数项级数的和1. 利用定义求常数项级数的和2. 利用幂级数的和函数求常数项级数的和3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和1. 利用定义求常数项级数的和例12 求级数的和.解 因为， ， .故 .2. 利用幂级数的和函数求常数项级数的和 例13 求级数的和.解 由于级数中含因子，因而考虑的展开式，故幂级数设为缺项形式. 令，则 ，求导得 .故级数.方法技巧 所求常数项级数的一般项中若含有 时，所构造的幂级数的和通常为等，注意灵活运用幂级数球和函数的方法.3. 利用级数的傅里叶级数求常数项级数的和例14 将函数展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数由于是偶函数，故,的和.解

6、, ,所以 ,当时,有，即 ,故 ， 所以 .六、函数展开为幂级数的方法1.直接展开的方法2.间接展开的方法例15 将函数展开成的幂级数.解 由于是偶函数，它的导数必是奇函数，即是奇函数，因而，因此展开式中奇次幂的系数，即幂级数展开式中只含的偶次幂，故可设，而，其中 ，故 ，比较系数得所以 ，因此， . 方法技巧 本题虽然采用间接的方法，但与以前的例题有所不同的是利用了函数自身的性质以及三角恒等式的关系.同理，你可以试着将展开为的幂级数.七、 函数展开为傅里叶级数例16 在上满足，试证其傅里叶系数.证 令，则 故，同理.七、 综合杂例例17 证明柯西积分判别法，并判定级数的敛散性. 设在上非负、连续且单调递减，则与同敛散.证 由于时，因此,从而 ，即 ，由上式知与敛散性一致.