思维特训(九)　一次函数的实际应用

1、.思维特训九一次函数的实际应用方法点津 ·假如函数的自变量在不同的取值范围内所对应的函数关系也不一样，那么我们把这样的函数称为分段函数学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：1要特别注意相应的自变量的变化范围在表达式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围2分段函数的图象是由几条线段或射线组成的折线其中每条线段射线分别代表某一个阶段的情况3分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进展认识和理解，尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义典题精练 ·类型一行程问题行程类问题的图象应注意横轴常表示时间和纵轴常表示路程分别表示的量；另外，也要注意图象中的起点、终点及两图

2、象的交点所包含的信息1甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车分开A城的路程y千米与时刻t的对应关系如图9TX1所示1A，B两城之间的间隔 是多少千米？2求乙车出发多长时间后追上甲车 图9TX12A，B两地相距1100米，甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇，设甲、乙两人相距y米，甲行进的时间为t分，y与t之间的函数关系如图9TX2 所示请你结合图象探究：1甲的行进速度为每分钟_米，m_；2求直线PQ所对应的函数关系式；3求乙的行进速度 图9TX232019·绥化一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿一样道路匀速

3、行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，轿车比卡车每小时多行驶60千米，两车到达甲城后均停顿行驶，两车之间的间隔 y千米与轿车行驶时间t时的函数图象如图9TX3所示，请结合图象提供的信息解答以下问题：1请直接写出甲城和乙城之间的间隔 ，并求出轿车和卡车的速度；2求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点D的坐标；3请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程s千米与轿车行驶时间t时之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围 图9TX3类型二分段计费问题把实际问题通过函数图象反映出来，解答时的关键是弄清图象和相关文字与一次函数的有关信息4如图9T

4、X4所示，购置一种苹果，所付金额y元与购置量x千克之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，那么一次购置3千克这种苹果比分三次购置每次购置1千克这种苹果可节省_元图9TX45甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质一样，销售价格也一样五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购置50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购置门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元，图9TX5中折线OAB表示y2与x之间的函数关系1甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克_

5、元；2分别求y1，y2与x之间的函数表达式图9TX56我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费方法收费即月用水量在10吨以内包括10吨的用户，每吨收水费a元；月用水量超过10吨的用户，前10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元ba收费设一户居民月用水量为x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图9TX6所示1求a的值，并计算某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；2求b的值，并写出当x10时，y与x之间的函数关系式 图9TX6类型三方案决策问题解这类问题难点在于理清题意，把实际问题与数学问题相联络，建立相应的数学模型，最

6、后利用一次函数性质或分类讨论的方法，可知最优解7绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元暑假期间，为了丰富广阔师生的业余文化生活，该大剧院制定了两种优惠方案只能从两种方案中选择一种，方案一：购置一张成人票赠送一张学生票；方案二：按总价的90%付款某校有4名老师与假设干名不少于4人学生去听音乐会1设学生人数为x，付款总金额为y元，分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数表达式；2请计算并确定出最节省费用的购票方案8.某蔬菜基地要把一批新颖蔬菜运往外地，有汽车和火车两种运输方式可供选择，其中汽车运输的主要参考数据如下表：运输方式汽车运输速度千米/时60装卸费用元200途中综合费用元

7、/时300火车运输总费用y2元与运输路程x千米之间的函数图象如图9TX7所示：图9TX71请分别写出汽车、火车运输的总费用y1元、y2元与运输路程xkm之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；2假设蔬菜基地先由汽车把蔬菜运往60千米外的中转站，再用火车运送中转时间忽略不计，写出运输总费用y元与运输总路程x千米之间的函数关系式，并求出当运输总路程为200千米时的总费用；3假设只选择一种运输方式，你认为哪种运输方式运输的总费用较少？并说明理由类型四与几何图形有关的分段函数问题用数学的目光发现素材，从数学的角度进展有关知识的构建与建模，从而解决问题9如图9TX8，在大长方形中截取两个一样的正方形

8、作为长方体的上、下底面，剩余的长方形作为长方体的侧面，刚好能组成长方体设大长方形的长和宽分别为y和x，那么y与x之间的函数图象大致是图9TX9中的图9TX8图9TX910小明受?乌鸦喝水?故事的启发，利用量筒和体积一样的小球进展了如下操作如图9TX10：图9TX101放入1个小球后，量筒中水面升高_ cm；2求放入小球后量筒中水面的高度ycm与小球个数x个之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；3量筒中至少放入几个小球时有水溢出？详解详析1导学号：34972369解：1由图象可知A，B两城之间的间隔 是300千米2设乙车出发x小时后追上甲车，由图象可知甲车的速度300÷560千米

9、/时，乙车的速度300÷3100千米/时，由题意得方程60x1100x，解得x1.5.故乙车出发1.5小时后追上甲车 解题的关键是运用转化思想把待求问题转化为方程求解2导学号：349723670解：1甲的行进速度60米/分，m279.2设直线PQ所对应的函数关系式为ykxb.因为点P0，1100在直线PQ上，所以b1100.又因为点Q2，980在直线PQ上，所以2k1100980，解得k60.所以直线PQ所对应的函数关系式为y60t1100.3设乙的行进速度为x米/分由题意，得60×97x1100，解得x80，所以乙的行进速度为80米/分3解：1甲城和乙城之间的间隔 为18

10、0千米，设卡车的速度为x千米/时，那么轿车的速度为x60千米/时，由B1，0，得xx60180，解得x60，所以x60120，所以轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时2卡车到达甲城需180÷603时，轿车从甲城到乙城需180÷1201.5时，30.51.5×20.5时，所以轿车在乙城停留了0.5小时，点D的坐标为2，1203s180120×t1.50.5120t420.4导学号：349723712解析 从图象上可以看出购置2千克苹果需要20元，且2千克以内所付金额是购置量的正比例函数，所以购置1千克需要10元，所以分三次购置每次购置1千克总

11、共需要30元；2千克以后每多购置2千克所付金额增加了16元，所以每千克需要8元，所以一次性购置3千克需要28元，节省了2元5导学号：34972372解：1由图易知甲、乙两采摘园优惠前的草莓价格是每千克30元故答案为30.2由题意得y118x50x0；y2 解题的关键是纯熟掌握待定系数法，利用图象确定自变量的取值范围6导学号：34972373解：1当x10时，yax，将x10，y15代入，得a1.5，所以y1.5x.当x8时，y8×1.512.故某户居民上月用水8吨，应收水费12元2当x10时，ybx1015，将x20，y35代入，得3510b15，解得b2，故当x10时，y2x5.7

12、导学号：34972374解：1按优惠方案一付款可得y120×4x4×55x60x4；按优惠方案二付款可得y25x20×4×90%4.5x72x42当y1y2时，x24，所以当x24时，两种优惠方案付款一样多当y1<y2时，x<24，所以当4x<24时，优惠方案一付款较少当y1>y2时，x>24，所以当x>24时，优惠方案二付款较少8导学号：34972375解：1根据题意得y1·3002005x200.设y2kxbk0，将0，400代入y2kxb中，得b400，将100，700代入y2kx400中，得k3，所以

13、y23x400.2当x60时，y15×60200500，所以运输总费用y元与运输总路程x千米之间的函数关系式为y5003x604003x720x60当x200时，y3×2007201320.所以当运输总路程为200千米时的总费用为1320元3当y1y2时，5x2003x400，解得x100；当y1<y2时，5x200<3x400，解得x<100；当y1>y2时，5x200>3x400，解得x>100.综上所述：当路程小于100千米时，选择汽车运输的总费用较少；当路程等于100千米时，选择汽车或火车运输一样；当路程大于100千米时，选择火车运输的总费用较少9导学号：34972376B解析 依题意知正方形的边长为x，yx2x，所以y与x之间的函数关系式为yxx>0应选B. 解决此题的关键是分析得到yx等于该长方体上底面的周长，从而可得函数关系式10解析 水面的高度随着放入小球的个数的变化而变化，成一次函数关系，从生活情景中可以得放入0个小球的水面高度为30 cm，放入3个小球的水面高度为36 cm.从