新课标九年级数学提高培训圆幂定理

1、圆幂定理提高训练一、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、已知：如图，PT切O于点T，PA交O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=第1题 第2题 第3题2、如图：PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线交O于A，B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长等于3、如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=4、如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，过点B作O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE=第4题 第5题 第6题5、如图，ABC中，C

2、=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=6、如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=二、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）7、如图，在ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切若AB=4，BE=5，则DE的长为（）A、3B、4 C、D、第7题 第8题 第9题 8、如图，在ABC中，C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为（）A、6.4B、3.2 C、3

3、.6D、89、如图，O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x212x+24=0的两根，则此圆的直径为（）A、B、 C、D、10、如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：（1）CH2=AHBH；（2）=；（3）AD2=DFDP；（4）EPC=APD，其中正确的个数是（）A、1B、2 C、3D、4第10题 第11题 第12题11如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=a（a2），则PH等

4、于（）A、B、C、D、12、已知：如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB=2，则DE的长是（）A、B、C、D、1三、解答题（共10小题，满分96分）13如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B，（1）求证：PA是O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和ECB的正切值第13题第14题 第15题14、如图，P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE15、如图

5、，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4求：（1）cosF的值；（2）BE的长16如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D（1）若B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；（2）求证：PDPO=PCPB；（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长 17已知：如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，PDAB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长CE交O于点F，连接AF（1）求证：PBDPEC；（2）若AB=12，tanEAF=，求

6、O半径的长18已知：如图AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根（1）求证：BE=BD（2）若GEEF=6，求A的度数 19、如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC20、已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的O相交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、O于E、H、F、三点，连接OF（1）求证：AEPC

7、EA；（2）判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论； （3）求BH：HC 21、如图，PA、PB是O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长22、如图所示，O的直径的长是关于x的二次方程x2+2（k2）x+k=0（k是整数）的最大整数根 P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+PB2+PC2的值 答案与评分标准一、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、（2001重庆）已知：如图，PT切O于点T，PA交O于A，B两点且与直径

8、CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=15解答：解：根据相交弦定理得DTCD=ADBD，DT=9设PB=x根据切割线定理和勾股定理得：PT2=PD2DT2=PBPA，即（x+6）281=x（x+9），解得x=152、（2006菏泽）（非课改区）如图：PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线交O于A，B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长等于分析：由相交弦定理得AMMB=CMMD，由此求出AM=5，再由切割线定理得PT2=PAPB即可求出PT解答：解：由相交弦定理得，AMMB=CMMD，而CM=10，MD=2，PA=MB=4，AM=5；由切割线

9、定理得，PT2=PAPB=4×（4+5+4）=4×13，PT=23、如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=1：3分析：根据切割线定理可以求得D=PAC，即可求证PACPDB，根据对应边比值相等的性质和CD的长可求得PC与PB的比值，即可解题解答：解：PAB、PCD为O的两条割线，BAC+BDC=180°，PAC+BAC=180°，BDC=PAC，又P=P，PACPDB，=，设PC=x，PD=y，且yx=11，解得x=4，y=15，=，4、如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，

10、过点B作O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE=分析：连接OD，设CE=x，由切割线定理得，CD2=CBCA，根据AB=CD=2，求得BC，由切线的性质，可证明BCEDCO，由比例式求得CE即可解答：解：CD是O的切线，CD2=CBCA，AB=CD=2，4=BC（BC+2），解得BC=1+，CD是O的切线，BE为O的切线，CBE=CDO=90°，BCEDCO，=，即=，解得，CE=，故答案为点评：本题考查了切割线定理和切线长定理以及三角形的相似的判定和性质等知识，综合性强，难度较大5、如图，ABC中，C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于

11、点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=分析：连OD，根据切线的性质得到ODAC，在RtADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出R=，则AO=，AB=4，再根据ODBC，得到AODABC，利用相似比=，即可求出BC的长解答：解：连OD，如图，AC为O的切线，ODAC，在RtADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，22+R2=（R+1）2，解得R=，AO=，AB=4，又C=90°，ODBC，AODABC，=，即BC=故答案为：6、如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，

12、则BD=7分析：根据已知条件，易证ABCBEC，所以BC2=CEAC，即可求得EC=2，AE=6，利用相交弦定理，可以确定BEDE=12，又线段BE、ED为正整数，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7解答：解：BC=CD，BAC=DAC，DBC=DAC，BAC=DBC，又BCE=ACB，ABCBEC，BC2=CEAC，AC=8，CD=4，EC=2，AE=6，由相交弦定理得，BEDE=AEEC，即BEDE=12，又线段BE、ED为正整数，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=BE+

13、DE=7二、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）7、如图，在ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切若AB=4，BE=5，则DE的长为（）A、3B、4 C、D、分析：连接CE，根据圆周角定理易知：BAE=BEC+EBC，而DCB=DCE+BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：DCE=EBC；再由平行四边形的性质知：DCB=EAB，因此BEC=BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5，进而可由切割线定理求DE的长解答：解：连接CE；，BAE=EBC+BEC；DCB=DCE+BCE，由弦切角定理知：DCE=EBC，由平行四边形的性质知：DCB=BAE，BEC=BCE，即BC=

14、BE=5，AD=5；由切割线定理知：DE=DC2÷DA=，BEC是等腰三角形，是解决此题的关键8、如图，在ABC中，C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为（）A、6.4B、3.2C、3.6D、8分析：在直角ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，BC是圆的切线，根据切割线定理即可求得BP的长解答：解：在直角ABC中，BC2=AB2AC2=10262=64，C=90°，BC是圆O的切线，BC2=BPAB，即64=10BP，BP=6.49、（2003昆明）如图，O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x

15、212x+24=0的两根，则此圆的直径为（）A、B、 C、D、分析：由根与系数的关系和根据相交弦定理求解解答：解：由根与系数的关系可得：x1x2=24即PAPB=24设PC=x，则PAPB=x3x即3x2=24，解得x=2，则圆的直径为4×2=810、（2003福州）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：（1）CH2=AHBH；（2）=；（3）AD2=DFDP；（4）EPC=APD，其中正确的个数是（）A、1B、2 C、3D、4分析：根据圆周角定理，垂径

16、定理，圆内接四边形的性质，相交弦定理，采用排除法，逐条分析判断解答：解：由垂径定理知，点H是CD的中点，=，故（2）正确；弧AC对的圆周角为ADC，弧AD对的圆周角为APD，ADC=APD，由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，EPC=ADC，EPC=APD，故（4）正确；由相交弦定理知，CHHD=CH2=AHBH，故（1）正确；连接BD后，可得AD2=AHAB，故（3）不正确，所以选项C正确11、（1998宁波）如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=a（a2），则PH等于（）A、B、C、D、分析：连接OA，构造APHOPA，通过相似比

17、可求出PH的长解答：解：如图，连接OAPA2=PCPB又PC+PB=aBC=PBPC=OA=OC=OP=又APH=OPA，PAO=PHA=90°APHOPA PH=12、（2000安徽）已知：如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB=2，则DE的长是（）A、 B、 C、D、1分析：设AC与EF交于点G，由于EFAB，且D是BC中点，易得DG是ABC的中位线，即DG=1；易知CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BDDC=DEDF，而BD、DC的长易知，DF=1+DE，由此可得到关于DE的方程

18、，即可求得DE的长解答：解：如图过C作CNAB于N，交EF于M，则CMEF根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点OEFAB，D是BC的中点，DG是ABC的中位线，即DG=AB=1；易知CGD是等边三角形，而CMDG，则DM=MG；由于OMEF，由垂径定理得：EM=MF，故DE=GF弦BC、EF相交于点D，BDDC=DEDF，即DE×（DE+1）=1；解得DE=（负值舍去）点评：此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键三、解答题（共10小题，满分96分）13、（2001北京）如图，ABC内接于O，AB是O

19、的直径，PA是过A点的直线，PAC=B，（1）求证：PA是O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的长和ECB的正切值分析：（1）要证PA是O的切线，只要证PAO=90°即可，因为AB为直径，所以有CAB+CBA=90°，又PAC=B，所以CAB+PAC=90°即PA是O的切线（2）连接AD、BD；可设CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用x、y表示出DE、BE的长，由相交弦定理，即可求得x、y的比例关系；易证得AECBED，根据所得成比例线段，即可求得BD的长，同理可设BC=m，

20、由BECDEA，求得AD的表达式；在RtADB和RtACB中，可由勾股定理分别表示出AB2，即可得到关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；根据圆周角定理知：ECB=DAB，因此只需在RtABD中，求出DAB的正切值即可解答：（1）证明：AB是O的直径，ACB=90°；CAB+CBA=90°；又PAC=B，CAB+PAC=90°；PAB=90°；即PA是O的切线（2）解：设CE=6x，AE=2y，则DE=5x，BE=3y；由相交弦定理，得：AEEB=CEDE，即：2y3y=5x6x，解得：x=y；ACD=ABD，AEC=DE

21、B，AECDEB，则有：；AE=2y=2x，DE=5x，由于AC=8，则BD=4；设BC=m，同理可求得AD=m；AB是直径，ACB、ADB是直角三角形；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2=AD2+BD2，即：82+m2=（m）2+（4）2，解得m=6；故BC=6，AD=2；AB=10，tanECB=tanDAB=214、如图，P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE分析：由=，=，即DE2=EFEP，再由圆切线的性质即可得出结论解答：证明：ABCD是平行四边形，DCAB，ADBC，=，=，=

22、即DE2=EFEP，又EG是圆的切线，EG2=EFEP，即DE=EG15、如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4求：（1）cosF的值；（2）BE的长分析：（1）解答此题的关键是由OEFDAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cosF（2）由BEFEAF，和设BE=k，则AE=2k，即可求得BE解答：解：（1）由OEFDAF，得=，即AF=2EF，又EF2=FBFA=BF2EF，EF=2BF=8，AF=2EF=16，AB=AFBF=12，FO=AB+BF=10cosF=；（2）连接AE，由BE

23、FEAF，得=，设BE=k，则AE=2k，根据AB是直径，故AEB=90°，即AE2+BE2=AB2，得（2k）2+k2=122，解得k=，故BE=点评：此题涉及的知识点较多，由相似形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，综合性较强16、（2003绍兴）如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D（1）若B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；（2）求证：PDPO=PCPB；（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长分析：（1）可根据度数来求，连接OA，根据切线的性质可得出OAAP，根据圆周角定理可得出A

24、OC=60°，因此P=BC=30°，由此得证（2）我们先看给出的比例关系，PCPB恰好可以用切割线定理得出他们与PA2相等，那么我们再看PA2和PDPO的关系，在直角三角形PAO中，根据三角形PAD和PAO相似，我们可得出PA2=PDPO，那么就得出本题的结论（3）根据BD、DC的比例关系和BC的长，我们可得出BD和DC的长，也就求出了OD的长，要求出CP的长就要知道PB或PO的长，我们可参照（2）中的方法，用三角形OAD和OAP相似得出OA2=ODOP从而求出PO的长，也就可以得出CP的长了解（1）相等理由如下：连接AO，PA是半圆的切线，OAP=90°OA=O

25、B，B=OAB，AOP=2B=60°，APO=30°，B=APO，AB=AP（2）证明：在RtOAP中，ADOP，PA2=PDPOPA是半圆的切线，PA2=PCPB，PDPO=PCPB（3）解：BD：DC=4：1，且BC=10，BD=8，CD=2，OD=3OA2=ODOP，25=3×OP，OP=，PC=17、（2002崇文区）已知：如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，PDAB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长CE交O于点F，连接AF（1）求证：PBDPEC；（2）若AB=12，tanEAF=，求O半径的长分析：（1）欲证两三角形相似，

26、在此题所给的已知条件中，可运用两组边对应成比例，且夹角相等来证明，APE的余弦值在APD和APE中，有两种表示方法，从而得出一个等积式，根据切割线定理，再得到一个等积式，从而借助于PA2得到对应线段成比例，进而解答；（2）由（1）得C=90°，所以BF是直径，得BAF=90°，作OHAB于H点，则HOA=EAF，在HOA中求半径OA的长解答：（1）证明：PA切O于点A，AOPAPDAB，=cosAPE=PA2=PDPEPBC是O的割线，PA为O切线，PA2=PBPC联立，得PDPE=PBPC，即又BPD=EPC，PBDPEC（2）解：连接BF，作OHAB于H点，PBDPEC

27、，C=PDB=90°BF是直径BAF=90°OHAB，OHAFEAF=HOAtanEAF=tanHOA=AH：OH=2：3又AB=12，AH=6OH=9OA=318、（2003山西）已知：如图AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根（1）求证：BE=BD（2）若GEEF=6，求A的度数分析：（1）要证明BE=BD，就要根据BE、BD恰好是关于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根，来判断，是它的两根，可见此方程有

28、根，所以求出，必须0利用这求出m的值从而求出这个方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的长度；（2）要求A的度数就要利用直角三角形的角边关系，求出在RtACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值这就要利用题中给出的条件利用相似三角形来求解答：（1）证明：BE、BD是关于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0的两根，=（6）24（m2+4m+13）=4（m+2）20，m=2，（2分）原方程为x26x+9=0，解之，得x1=x2=3，BE=BD=3；（4分）（2）解：由相交弦定理得AEBE=GEFE=6AE=2（5分）PB切O于点B，AB为O的直径ABP=ACB=90

29、°又BE=BD=3，1=21=A+4，2=3+5又5=A，3=4（7分）方法一：易证PBDPAE，PDCPEB（9分）（10分）在RtACB中，A=60°；（12分）方法二：易证PBCPAB，PBDPAE（9分）（10分）A=60°（12分）19、如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC分析：连接OC，可证明PC为O的切线，则PC2=PFPA，又由PEFPAE，可证明PC=PE解答：证明：连接OC，则OCAD，可证明PC为O的切线，PC2=PFPA，又由PEFPAE，得PE2=

30、PFPA，故PC2=PE2即PC=PE20、（2001四川）已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的O相交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、O于E、H、F、三点，连接OF（1）求证：AEPCEA；（2）判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；（3）求BH：HC分析：（1）欲证AEPCEA，可以根据相似三角形的判断定理证明PAE=ACE，AEP=AEC得出；（2）判断线段AB与OF的位置关系，根据平行线的判定证明B=ABC=90°得出ABOF；（3）求BH：HC，由平行线的性质，及线段相互间的关系得出解答：（1）证明：ABCD为正方形，CAB=ACB=45°，DCB=90°，DC是OD的切线，BCE=CAP，PAE=ACE，AEP=AEC，PAEACE；（2）解：CPF=CAP+ACP=CAP+BAP=45°，COF=90°，BOF=90°，BOF=B=90°，ABOF；（3）解：ABOF，BH：OH=AB：OF=2：1，CO=OB=OH+HB，BH：HC=