数学竞赛专题讲座七年级计算—工具与算法的变迁含答案

1、第五讲 计算工具与算法的变迁 研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算 初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1巧用运算律； 2用字母代数； 3分解相约； 4裂项相消； 5利用公式；6加强估算等“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学

2、家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者【例1】 现有四个有理数3，4，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：(1) ；(2) ；(3) (浙江省杭州市中考题)思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑 链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构” 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；(3)运

3、算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构【例2】 如果4个不同的正整数满足，那么，等于( ) A10 B2l C24 D26 E28 (新加坡数学竞赛题)思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式【例3】 计算：(1)； (“祖冲之杯”邀请赛试题)(2)1949219502+1951219522+1997219982+19992 (北京市竞赛题)(3)5+52+53+十52002思路点拨 对

4、于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手链接：裂项常用到以下关系式：（1）；（2）；（3）运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有：（1）；（2）错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是 数； (2)设， ，则的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：32002+42002是5的倍数思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：乘方意义；

5、乘方法则；与的奇偶性相同；在中(，r为非负整数，0r<4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，? 的个位数字与的个位数字相同【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到： （1）证明：可以得到22；（2）证明；可以得到思路点拨 （1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解【例6】（1）已知、互为倒数，、互为相反数，且，那么的值为_ (第19届江苏省竞赛

6、题)（2）已知，则小于的最大整数是_ （第11届“华杯赛“试题）思路点拨 对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算的值的范围【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个 （义乌市中考题）思路点拨 看懂程序图，循环运算是解本题的关键【例8】如图所示是一的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求的值 （两岸四地少年数学邀请赛试题）思路点拨 为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出的值基础训练一、基础夯实1.(1)计算:211×(-455)+365&

7、#215;455-211×545+545×365=_; (2)若a= -,b=-,c=-,则a、b、c的大小关系是_(用“”号连接.2.计算:(1)0.7×1+2×(-15)+0.7×+×(-15)=_; (第15届江苏省竞赛题) (2) -=_. (第12届“希望杯”邀请赛试题) (3) +=_; (天津市竞赛题) (4)(13.672×125+136.72××1.875)÷17.09=_. (第14届“五羊杯”竞赛题)3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),使得等式成立

8、:63212=24. (第17届江苏省竞赛题)4.1999加上它的得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的 又得到一个数,依此类推,一直加到上一次得数的,那么最后得到的数是_.5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为,则输出的结果为( ).A. B. C. D. (2002年北京市海淀区中考题)6.已知a=-,b=-,c=-,则abc=( ). A.-1 B.3 C.-3 D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题)7.如果有理数a、b、c满足关系a<b<0<c,那么代数式的值( ). A.必为正数 B.必为负数 C.可正可负 D.可能为08.将322、414、

9、910、810由大到小的排序是( ). A.322、910、810、414 B.322、910、414、810 C.910、810、414、322 D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题)9.阅读下列一段话,并解决后面的问题: 观察下面一列数:1,2,4,8,我们发现,这一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都等于2. 一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,的第4项是_; (2)如果一列数a1,a2,a3,a4,是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 =q

10、, =q, =q,所以a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=a1q3,an=_(用a1与q的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题)10.(1)已知a、b、c都不等于零,且+的最大值是m,最小值为n,求 的值. (2)求证:5353-3333是10的倍数.二、能力拓展11.计算:(1) =_. (第15届“希望杯”邀请赛试题) (2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=_; (3) =_. (4)98+998+9998+=_.(2003年“信利杯”竞赛题)12.(1)3

11、2001×72002×132003所得积的末位数字是_;(第17届江苏省竞赛题)13.若a、b、c、d是互不相等的整数(a<b<c<d),且abcd=121,则ac+bd=_.14.你能比较20012002与20022001的大小吗? 为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“”、“”号. 12_21; 23_32; 34_43; 45_54; 56_65; (2)从第

12、(1)题的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是_.(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002_20022001. (江苏省常州市中考题)15.如果+=1,则的值为( ). A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 (2003河北省竞赛题)16.如果ac<0,那么下面的不等式<0,ac2<0,a2c<0,c3a<0,ca3<0中必定成立的有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17.设S=+,T=+,则S-T=( ).A. B.1- C.-1 D.+1 (第14届“五羊杯”竞赛题)18.

13、10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( ). A. B. C. D. (第11届江苏省竞赛题)19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: ,1,2,4,8,16,32,64填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x的值. (上海市竞赛题)20.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, ,b的形式,求a2002+b2001的值.三、综合创新21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数; (2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.(3)用相

14、同的3个数字(19),不用运算符号,写出最大的数.22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质: (1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1; (2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2; (3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍. 试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少? (2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少? (3)若J1输入自然数m,J2输入自然

15、数n,输出的结果为多少? (2002年扬州中学招生试题)答案：1.(1)154000,(2)a>b>c. 2.(1)-43.6;(2)-3;(3) ;(4)48,注意13672=8×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+)(1+)××(1+)5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)an=a1qn-1;(3)a1=5,a4=40.10.(1)-16 提示: =±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同.11.(1) ;(2)6 提示:2n+1-2n=2n;(3); (

16、4) 12.(1)9;(2)115200 13.-1214.(1)略;(2)当n<3时,nn+1<(n+1)n;当n3时,nn+1>(n+1)n;(3)>.15.A 16.C 17.B 提示: 18.A19.这9个数的积为××1×2×4×8×16×32×64=643,所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64,得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f分别为, 2,4中的某个数,推得x=8.20.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,a+b与a中有一个为0, 与

17、b中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1.21.(1)222;(2)444=4256>444; (3)设所用数字为a,可得下面4种写法: 当a=1时,111最大;当a=2时,222最大;当a=3时,333最大;当a4时,a最大.22.由题意设输出数,设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,1)=2C(m-1,1). (1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=2m-1C(1,1)=

18、2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.毛提高训练1若，则=_ （“希望杯”邀请赛试题）2符号“”表示一种运算，他对一些数的运算结果是：（1），（2），利用以上规律计算：_ （贵阳市中考题）3等于（ ）A B C D （“希望杯”邀请赛试题）4 的值为（ ）A B C D (江苏省竞赛题)5自然数满足，则等于（ ）A B C D （北京市竞赛题）6是互不相等的正整数，且，那么的值是（ ）A30 B32 C34 D36 (“希望杯”邀请赛试题)7已知，且求的值（北京市迎春杯竞赛题）8已知、都不等于