数学建模电梯调度6

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘赛可 2. 李准 3. 徐祖海 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 8 月 30 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：高层办公楼电梯问题摘要本文主要通过建立两个规划模型得到合理的电梯调度运行方案，来解决上班高峰期乘客等了好久电

3、梯还不来的问题。首先，通过分析电梯的整个运行过程，即加速上升过程，减速停止过程，开关门等过程，求得电梯的运行周期。第一问，为了使电梯的运行周期尽可能的小，以运送更多的人到达目的地，建立将电梯分组的模型，不同的组将服务于一定楼层范围的乘客。接下来对各组建立一个平均等待时间最短的模型得到一个多目标规划模型。然后利用线性加权和法将多目标规划模型转化为单目标规划模型。最后对不同的分组分别求解转化后的单目标规划模型得各分组的最优解，比较不同分组的最优解从而得到本问题的最优解为：分组数分组情况电梯数待梯时间分两组1组：2-62组：7-302447.42s72.86s由第一问的求解结果可知，在40分钟内只用

4、6部电梯不能把各楼层的人都送到，那么在第二问的求解中若要在该段时间内将所有人都送到，就应该增加电梯的数量。同时，在第二问中为了使资源得到合理的利用，仍旧采用电梯分组的方法，建立第二个模型。该模型以安装电梯的成本为目标函数，将各组电梯的平均等待周期应小于1分钟，各组电梯应在40分钟内把其所服务楼层的乘客全部运到等作用限制条件。然后，分别对分两组，三组，四组，五组的情况进行求解，最后对组间进行比较，得到最优解为：分组数分组情况电梯数电梯总数对应的电梯速度分五组1组：2-72组：8-113组：12-164组：17-215组：22-303233516慢中中快快关键词： 电梯问题 多目标规划 线性加权和

5、法 电梯分层 一、问题重述某写字楼在早上8点20分到9点00分这段时间里，上班的人陆续到达，其中各层楼的办公人数（不包含第一层）见下表1-1（1）数据表l-1 各楼层办公人数（个）一览表楼层楼层楼层人数楼层人数楼层人数12345678 208 177 222 130 181 191 236910111213141516236139272272272270300264171819202l222324200200200200207207207207252627282930205205140136132132（2）第一层的高度为762m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为39l m；（3）电梯的最大运

6、行速度是304.8mmin，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22ms2； （4）电梯的容量为19人每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10； （5）底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；问题一、现有6部电梯，设计一个电梯调运方案，使得在8:20-9:00这段时间内能尽可能地把各楼层的人流快速运到，减少候机时间。问题二、在满足以上要求外，考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速（365.8mmin），中速（30

7、4.8 mmin），慢速（243.8 mmin）三种，建立模型，找出一个合理的方案。二、模型假设1、假设电梯在运行过程中不会有其他楼层的人员进入电梯2、假设电梯每次都是满载的3、假设各层的所到人数和时间是呈线性关系的4、假设电梯的减速过程也是匀速的，其加速度为-1.22m/s5、假设分组后的电梯在其服务内的每一层都会停三、符号说明 电梯上升或下降过程中的加速度大小，其中 在问题一中电梯运行的最大速度，其中 从第二层开始每相邻两层楼之间的高度，其中 电梯第一层的高度，其中 每位乘电梯人员上电梯所用时间，其中 每位乘电梯人员下电梯所用时间，其中 开、关电梯门的平均用时，其中其中 电梯所能容纳的最大

8、量，其中人 损失时间所占的比例，其中 电梯实际运行过程中停的总站数 电梯的运行周期（从一楼出发又回到一楼的用时） 电梯实际运行过程中所到达的最高层数四、问题分析与模型建立（一、）电梯运行周期的分析在实际的电梯运行过程中，电梯的运行分为以下两种情形：1、先匀加速上升，没有达到最大速度就匀减速停止；2、先匀加速上升，达到最大速度后以最大速度匀速上升，然后匀减速停止。具体分析如下表4-1：表4-1a)、先匀加速再匀减速过程b)、先匀加速再匀速，后匀减速过程设上述过程运动的距离为，整个过程用时为，加速度大小为：则对于上述过程由运动学规律得：设上述过程运动的距离为，整个过程用时为，加速度大小为，匀速时速

9、度为；对于上述过程由运动学规律得：当时，上式成立当时，上式成立因此我们可以由表4-1得出：下面我们考虑一部从第层到第层的电梯的运转周期，其具体的时间分布及表达式如下图4-2所示：图4-2由第一层到第层用时由第层到第层运行用时由第层下到第一层用时开关门、上下电梯及损失时间电梯运行周期（二、）问题一的分析及模型建立由上一过程中得到的当电梯是服务于第层到第层时的运行周期的表达式（以下记为）。下面我们考虑将6部电梯分成不同的服务组，则共有六种方案可选，即分为一组（不分组）、两组、六组的情形，对于不分组的情况正是实际的情况，由已知这种情况是要改进的，所以我们就不再讨论不分组的情况。结合运行周期的表达式对

10、于每种情况建立使平均等待时间最短的目标函数，找出每种情况下的最优解，最后比较五组最优解找出问题的最优解。以下我们考虑一般的情形，将六部电梯分为组。设各组分得的电梯数分别为、，各组所服务的楼层为、（其中，）。则可得： （式4-2-1） （式4-2-2） （式4-2-3）则第组电梯的平均等待周期为： 1、2、 （式4-2-4）由于电梯的最大允许等待时间最好不超1分钟： 1、2、 （式4-2-5）（注：表示当加上该条件问题无解，则可将此条件放宽。即不再严格的满足该条件，可允许其在适当范围内作出调整）由以上各式我们可以得到各组平均等待周期最短的，多目标模型： 1、2、 （式4-2-6）对于上述的多目标

11、函数模型，我们利用线性加权求和的解法将（式4-2-6）转化为一个单目标模型，（由于各组之间具有对称性，所以取各项的权值为1）。则可得如下的分线性规划模型： 1、2、 （式4-2-6）其中的约束条件为： （式4-2-7）（三、）问题二的分析及模型建立 对于该问题，我们从电梯管理者角度来看。而作为管理者自然希望在电梯满足运载要求的情况下使从的花费最小（即管理者所投入的成本）。所以我们以总成本最小最为本优化问题的目标函数，而将电梯运行所满足的条件作为优化条件。下面为模型具体的建立过程。由于当前市面上电梯价格差异较大，在短时间内不可能得到相对十分精确地价格。因此我们在调研的基础上假设不同速度电梯的价格

12、为。（见表4-3-1）表4-3-1电梯速度级别所对应的电梯价格365.8快35000元304.8中30000元243.8慢25000元假设365.8、304.8、243.8的电梯所使用的个数分别为、。则电梯的安装的从成本为 （式4-3-1）下面我们仍用问题一中的想法，将所有电梯分为组。设各组分得的电梯数分别为、，各组所服务的楼层为、（其中，）。设服务于每组内的电梯的速度是相同的。则（式4-3-1）可变为： 其中 （式4-3-2）则此时第组电梯的平均等待周期要满足： 1、2、 （式4-3-3）（注：此时公式中的最大速度为第组所使用的电梯的速度）设每层楼上的人数为，由第第组电梯40分钟内实际运送的

13、人数与改组所对应的楼层人数的关系可得： (式4-3-4)对于同样有以下式子成立： （式4-3-5） （式4-3-6） （式4-3-7）综合（式4-3-2）到（4-3-3）可以得到问题二优化方案的一个规划： 其中 （式4-3-8）(式4-3-9)五、模型求解（一、）问题一的求解前面我们已经利用多目标函数的线性加权和法得到各组电梯的平均等待周期的单目标规划(式4-2-6)、（式4-2-7）。即 1、2、利用LINGO求解上述分线性规划，分别得出在条件限制下和没有该条件限制的解，具体见下表（5-1-1）、（5-1-2）：（具体的程序见附件）表5-1-1有条件限制时分两组无解分三组无解分四组无解分五组

14、无解分六组无解表5-1-2无条件限制时分组数分组情况电梯数待梯时间40分钟运量运载能力分两组1组：2-62组：7-302447.4272.86158726.7%分三组1组：2-62组：7-113组：12-3022247.4251.60132.1219036.8%分四组1组：2-62组：73组：8-114组：12-30111394.8359.40301.888.07225237.9%分五组1组：2-62组：73组：84组：9-115组：12-301111294.8359.4060.9384.37132.1288248.5%分六组1组：2-62组：73组：84组：95组：10-116组：12-30

15、11111194.8359.4060.9362.4773.42264.2352059.2%由表（5-1-1）、（5-1-2）结果可知，当每层楼的待机时间都在一分钟内时，原问题无解。即不存在一种电梯安排方案使每层楼的人员都可以在一分钟内等到要坐的电梯。观察表（5-1-2）可得，随着分组数量的增加电梯在40分钟内所能够运载的总人数增多。但分组数为3-6组时，到各层楼的人员的待机时间差异较大。如分四组时，到7楼的人员在一分钟内便可等到电梯；而到8-11楼的人等待的时间却多于五分钟，显然这是不合理。考虑这个因素，我们将分两组时的方案（即2-6楼分配2部电梯，7-30楼分配4部电梯）作为本问题的最优解。

16、（二、）忽略电梯运载能力分析 由题中所提供的数据，从第2层到第30层共有5948人，目前有电梯六部，电梯满载19人，所要达到的目标8:20-9:00的40分钟内把这些人运送到所要到达的楼层。由此可求出平均每部电梯所要运送的趟数： 每部电梯平均运送趟数=接下来我们便可求出每部电梯平均的运行周期： 电梯平均运行周期=46秒 而在最理想的情况下，每次电梯运送时仅上下电梯、开关门及其损失时间就为40.37秒。而这也说明了为什么上述各种方案中运载能力普遍偏低。另外在各种条件都理想化的基础上最大的运载能力（以上方案中）只不过一半多一点，我们知道在实际中电梯满载的比例绝不会是100%，而且会有两个楼层相差很

17、大的人坐同一部电梯的情况，这些都会对平均运行周期有大的影响。所以可知目前该写字楼电梯的运载能力是远不能满足要求的，要想满足各种要求必须增加电梯数量。在问题二中我们将来解决这个问题。（三、）问题二的求解用LINGO软件求解上一过程中得到的规划（式4-3-8）、（式4-3-9），（具体的求解程序见附件）即： 其中 （式4-3-8）(式4-3-9)考虑到实际的电梯分组的原型，最多将电梯分为3-4组，所以我们在模型求解中求得了分为2-5组时具体的成本，及其它相关指数，详见表5-3-1表5-3-1分组数分组情况电梯数电梯总数对应的电梯速度总成本分两组1组：2-172组：18-30171128慢中7550

18、00分三组1组：2-132组：14-223组：23-3098522慢中快640000分四组1组：2-72组：8-123组：13-214组：22-30336618慢中中中555000分五组1组：2-72组：8-113组：12-164组：17-215组：22-303233516慢中中快快520000由上表可知，在各分组情形所对应的最优解中。当分五组时总成本最小为=520000元，此时的具体分组情况如下表5-3-2所示。表5-3-2分组数分组情况电梯数电梯总数对应的电梯速度分五组1组：2-72组：8-113组：12-164组：17-215组：22-303233516慢中中快快六、模型评价与改进本文中采用将电梯分组分别服务于到达不同楼层的人的方法，很好地解决了等不来电梯的难题，而且我们将实际中的许多情况都考虑在内，能够应用于实际