放缩法应用及定义

1、放缩法的应用范畴及其定义杜林涛【摘要】放缩法是针对不等式结构、性质，将一端向另一端进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段. 所以放缩法被认为只适用于证明不等式成立，不被重视，它的应用范畴也大多集中在中小学的证明题. 但放缩法也是始终贯穿证明不等式的指导变形方向的一种思考方法，从这作为出发点，对放缩法在数学分析、实变函数以及点集拓扑中进行了研究. 通过分析放缩法在一般分析学中的应用，进而重新认识放缩法，发现它不仅适用于任何有关不等式的证明，还可以作为定理用来求值或判别某种性质. 放缩法应用在不等式证明之外，脱离了不等式的结构、性质，那什么是放缩法，放缩法作为可以简化问题或解决问题的一种工具，抽

2、象成概念，即在保持某种条件不变的情况下，向特定方向进行不等变形的方法是放缩法. 放缩法具有广泛的应用性，应重视运用放缩法解决问题. 【关键词】放缩法；不等式；收敛法；集合. 目 录1引言12放缩法在数学分析中的应用举例12.1放缩法在不等式证明中的应用12.2放缩法在求值和判别原则中的应用62.3放缩法在实数基本定理中的应用123放缩法在实变函数中的应用举例143.1放缩法在集合中的应用143.2放缩法在测度中的应用154放缩法在点集拓扑中的应用165结论17参考文献181 引言近年来，放缩法的主要研究方向是在不等式中应用的技巧放缩的思想已经应用在生活的各个方面，只是进行了放大或缩小就被认为使

3、用了放缩法，这种想法是错误的单纯的放大或缩小既不能使问题简化，也没有其它的研究价值随意的进行放大或缩小的行为不是放缩法放缩法是不等式证明的一种方法证明不等式A<B成立，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，放缩法的主要理论依据是不等式的传递性，即若A<B，B<C，则A<C放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，放缩法可以将不等式证明化繁为简，化难为易但放缩法不只适用于不等式证明，它还可以应用到更广阔的领域，在解决某些问题时，放缩法可以达到事半功倍，如何理解放缩法尤为重要本文将主要举例探讨放缩法在数学分析、实变函数、点集拓扑中的应用，推广放缩法在分析学中

4、的应用，并指出保持某种条件不变向特定方向不等变形的方法，就是放缩法2 放缩法在数学分析中的应用举例2.1 放缩法在不等式证明中的应用例2.1 证明不等式 ， 成立，其中实数证明 其中 ，证毕这道题利用了不等式的传递性，从左端向右端放大了三次得到了结果，有两个中间量，其实已经得到了两个更强的结论和，在体现了放缩法的基本思想如果把改成2，这就是一道运用放缩法的中学题目例2.2 设 为上的非负连续函数，且 ，证明：,.证 令，则，且 ，于是 ,因此此题构造了一个中间量，从左向右放大了两次这是典型的放缩法，证明A<C，寻找一个中间量B，使得A<B，证明B<C成立即可说明在积分不等式中

5、，放缩法也适用例2.3 设 在上具有一阶连续导数，且，求证：对任意自然数 有.证不等式左端即证本题向右端只放大了一次，就得到了结果虽然没有中间量，但这也是放缩法，因为它利用了不等式的传递性并向右端进行放缩来得到证明结果我们发现在不等式证明中只要向一端有选择性的进行放大或缩小的方法，就是放缩法定理2.1 （泰勒定理） 若函数在上存在直至 阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得（带有佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式：我在这里介绍泰勒定理，是因为泰勒定理可以把满足条件的多项式分解成关于 的一元多项式，在证明不等式时，多项式按照泰勒定理分解后，在原不等式成

6、立的条件下保留有限项，向右端进行放缩而麦克劳林公式是泰勒公式的变形，至于它们的余项，在这里不用考虑，因为在不等式用放缩法的过程中是要舍掉的二项式定理也具有同样的特点，例如，在这里就不作介绍了在某些不等式的证明中，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以把不等式化简，给不等式证明带来了很大的便捷我在这里举几个常用函数的麦克劳林公式：.(2.1).例2.4 证明不等式:当时,.证明1 函数在上存在直至阶的连续导函数,则根据公式（2.1），当时明显有,当时，设，即即证当时这道题如果只证明的情况，用这种方法进行放缩就很简单了除了用麦克劳林公式进行放缩，这道题还有其他的方法证明2 设，则当时，,所以，即 .同理

7、可证，当时，.总之，当时，.此不等式的几何意义是,曲线位于曲线的上方在例的分析中我们知道本题运用了放缩法，它是通过设立函数，利用微分判别函数的单调性，再对函数运用放缩法得到结果这道题的特点是没有在原不等式两端进行放缩，而是移项后和0比较，函数之间运用放缩法例2.5 证明不等式：，式中为正有理数证明 （>0,为正整数）.设，为正整数，则由于,故.这道题利用了两个已知不等式关系进行放缩，如果把放缩法看成不等式证明的一个工具，在本题中利用已知不等式关系证明不等式就是放缩法因为放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，而利用不等式关系本身就是在指导变形方向例2.6 证明不等式： 当证

8、 当时,因为 ,故不等式成立设时,不等式成立,即,则对于时,有由于 ，从而有，即对于 时，不等式也成立于是，对于任何自然数，有该题目在不等式证明中用的是数学归纳法，没有直接用放缩法，但我们可以看出在证明时，不仅运用了时不等式成立的假设，还利用了一个不等式关系 ，根据对例的分析，这道题明显运用了放缩法例2.7 证明：证 方法1 反设，那么存在着自然数列，使得由得，其中，皆为有界量上式两边取极限后得矛盾 方法2 注意到对任意的，于是这道例题的第一种证明方法用的是反证法，在其中并没有运用到放缩法，说明不是所有证明不等式的就一定要用到放缩法第二种证明方法用的就是放缩法,说明有关不等式的证明都可以用放缩

9、法进行尝试.由以上例子我们可以发现，在数列、函数、积分的不等式证明中都运用了放缩法，甚至任何有关不等式的证明中都用到了放缩法这说明放缩法在证明不等式中至关重要，涉及有关不等式证明的都可以用放缩法进行尝试在不等式证明中无论是借助泰勒公式、函数的单调性还是已知的不等式关系，我们发现放缩法就是在保持原不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法2.2 放缩法在求值和判别原则中的应用在证明等式成立时有的也可以运用放缩法，等式的证明可以分成两个不等式的证明，即证明A=B等价于证明AB和AB，这就相当于不等式BAB.这种形式类似于极限的迫敛性，证明极限的值也就是在证明等式成立下面我们统称寻找适当的量

10、B,使得BAB的方法叫迫敛法其中迫敛法就是A向两端进行放缩寻找B使得不等式成立的方法，即保持不等式两端相等（可以是值相等，也可以是两个极限值相等的不同的数列或函数），选择性的放大或缩小的方法，所以迫敛法本身就是放缩法例2.8 证明：.证 由带积分余项的泰勒展开式知，因而原命题等价于证明.再利用斯特林公式，知原命题等价于证明首先，注意到，于是其次，对任何，考虑辅助函数，因为，而， 故存在着实数，使得当时，因而，在中递增，故从而，再由的任意性知综上所述，可得这道题用的就是迫敛法，其中还运用了其他大量的放缩法，在上节中已经讲述这里的迫敛法是极限的迫敛性和上极限、下极限的混合使用定理2.2 （迫敛性）

11、 设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且级数的迫敛性就是向两端缩放寻找收敛数列，从而得出数列收敛及其极限值数列极限的迫敛性本来是用来求极限的，它用的就是迫敛法即放缩法，所以放缩法也可以用来求数列的极限函数的极限也具有迫敛性，和数列的类似，这里就不再赘述了迫敛性又叫做夹逼定理例2.9 求数列的极限 解 由不等式，有，于是由于，故由夹逼定理可得这是用数列极限迫敛性的典型的例子其中，1的极限明显就是1本身，右端进行放缩求得的极限与左端一致，从而求出数列的极限也就是说通过放缩法求出了数列的极限定义2.1 （函数的上、下极限） 设函数在区间上有界，对任意的，令，分别是的单调递

12、减和递增有界函数，因此和存在，我们分别称之为函数当趋于时的上、下极限记为，定理2.3 的充要条件是此定理可以用来验证一个函数在某点是否有极限，若有则同时求得函数的极限数列的极限也适用若将极限值改为函数在某点的值，这就成了连续函数的等价定义了在例中，运用的迫敛法是夹逼定理和上、下极限的混合方法夹逼定理本身是用做求极限的，而上、下极限定理是用做验证和求数列或函数在某点的极限，两者有其互通性夹逼定理就是迫敛法，即运用了放缩法；而上、下极限定理是等式形式，等式的证明有可能会用到放缩法，但是上、下极限定理无法单独用来证明极限的等式，在此题中它是结合了夹逼定理来证明的回想一下夹逼定理，它是通过向两端进行放

13、缩使两端的极限值一致，从而求出极限值；上、下极限定理也是上、下两个方向，但是它并没有进行放大和缩小，所以没有用放缩法例2.10 证明极限不存在证 设， ，则显然有， ，故由上、下极限的定理，极限不存在这道题用的就是数列的上、下极限，虽然 形式上很像迫敛法，但过程中并没有进行放缩，因为是的最小值，是的最大值，这个过程只是在求的最大最小值保持不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法是放缩法，而这道题的证明过程中不等式是恒成立的，但不具有选择性因此，利用上、下极限定理的过程中并没有运用放缩法所以此题没有应用放缩法定理2.4 （比较原则） 设和是两个正项的级数，如果存在某个正数，对一切都有，

14、则（i） 若级数收敛，则级数也收敛；（ii） 若级数发散，则级数也发散推论 设(2.2)(2.3)是两个正项级数，若，则（i） 当时，级数（2.5）、（2.6）同时收敛或同时发散；（ii） 当且级数（2.6）收敛时，级数（2.5）也收敛；（iii） 当且级数（2.6）发散时，级数（2.5）也发散级数的比较原则，若要证明收敛，只要通过适当的放缩找到收敛级数，这很明显运用的是放缩法根据上节对放缩法在不等式证明中的认识，比较原则就是放缩法的应用根据比较原则我们得到，在保持收敛性不变的情况下，向特定的方向进行不等变形的方法，也是放缩法比较原则的推论也是放缩法应用，虽然其中并没有不等式，但推论中要证明级

15、数（2.5）的敛散性，需要找到容易做比值取极限的，所以需要进行放缩找到合适的，而正项级数（2.5）跟（2.6）的敛散性一致在这过程中保持了敛散性不变，并向特定方向发生了不等变形，因此级数比较原则的推论也是放缩法例2.11 考察的收敛性解 由于当时，有因为正项级数收敛，故由比较级数知，级数也收敛此题用的就是级数的比较原则，很容易发现它运用的就是放缩法，所以放缩法也可以用来考察级数的敛散性级数除了比较原则还有比式判别法和根式判别法，这些判别法都是以比较原则为基础的，所以在比式判别法和根式判别法的证明中都运用了放缩法，但它们本身并不是放缩法，就像证明等式或不等式成立，虽然在证明过程中运用了放缩法，但

16、等式或不等式本身和放缩法无关这些判别式的证明就不再叙述了例2.12 判别级数的敛散性解 此级数为正项级数，由公式 知，于是便有因此由的收敛性知收敛这道题用的就是级数比较原则的推论，推论的放缩法用到了麦克劳林公式，它是利用麦克劳林公式进行放缩找到合适的级数，这说明级数比较原则的推论就是放缩法并且我们发现脱离了不等号连接的形式，也能应用放缩法，说明放缩法还具有很大的应用性通过以上分析，我们发现极限的迫敛性，级数的比较原则及其推论都是放缩法的应用，也可以说它们就是放缩法，放缩法可以用来求极限和判别级数的敛散性还有不是所有类似于形式的方法都是放缩法，放缩法必须一方通过另一方放缩得到，例如函数的上、下极

17、限定理在求或验证函数极限时的应用级数比较原则的推论使放缩法脱离了不等号连接的形式，以上都显示出放缩法的应用广泛，还有保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法也是放缩法2.3 放缩法在实数基本定理中的应用定理2.5 （确界存在原理） 设S为非空数集若S是上方有界，则S一定存在上确界；反之亦然 证 设S含有非负数由于S有上界，故可以找到非负整数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使得对半开区间作10等分，分点为 ，则存在0,1,2，9中的一个数，使得1） 对于任何有；2） 存在，使得继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间，可知对任何，存在0,1,2，9中的一个数，使得1） 对于任何有；2

18、） 存在，使得将上述步骤无限进行下去，得到实数以下证明为此只需要证明：（i） 对一切有；（ii） 对任何，存在使得下面我就不再给出证明了，因为我想说明的是在区间10等分的过程集合S的上界是，为了确定上确界把区间进行10等分，然后选取区间使其包含上确界，无限记性下去从而找到上确界换成不等式形式就是，最后是的形式，所以用的就是迫敛法，也就是放缩法定理2.6 （布尔查诺-魏尔斯特拉斯（）引理） 由任何有界数列内恒能选出收敛于有限极限的部分数列（这种写法不致除去在所给数列内有相等的数的可能性）证明 设一切数都位于界限与之间将区间分成两半，则必有一半包含着所给数列的无穷多个元素，因为，若不是这样，则在全

19、区间内所包含着的元素将是有限个数，但这是不可能的因此设包含着无穷多个的那一半是（若两个半区间都是如此，则任取其中之一）类似地，在区间内分出它的一半，使得在它里面包含着无穷多个继续这种步骤至于无穷，在第次分出的区间内照样包含着无穷多个的这样构成的区间（由第二个开始），每一个都包含在前一个之内，等于它的一半此外，第个区间的长度等于它随着的增大而趋向零把关于区间套的引理应用到这里来，便得结论：及趋向一个公共极限现在部分数列可由下列方法归纳地产生出来在所给数列的元素内任取包含在中的一个（例如，第一个）当作在后面的元素内任取包含在中的一个（例如，第一个）当作，等等一般地说，在以前分出的，后面的元素内包含

20、在中的一个（例如，第一个），当作这种产生数列方法是完全可能的：因为每一个区间内包含着无穷多个，即包含着序号可为任意大的元素再则，因为，又，故必有此即所要证的这个引理就是致密性定理在证明引理时，用了逐次等分所考察的区间的方法，称为布尔查诺方法根据对定理2.5的分析，布尔查诺方法是放缩法，所以该定理的证明用了放缩法在证明该定理中还用到了区间套原理定理2.7 （区间套原理） 设是一串闭区间，满足：（a），（b），则存在唯一的，这个定理的证明很简单，不再给出证明过程，过程中用到只是列出来的满足条件，没有用到放缩法因为已经给出了闭区间套，不需要布尔查诺方法，而且两个数列的极限值相等也给出实数空间的七个基

21、本定理包括确界定理，单调有界定理，柯西收敛准则，区间套定理，聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理前六个定理都是用来直接论证函数局部性质的，而有限覆盖定理则是用来直接证明函数整体性质的，它的作用在于将函数在各点的局部性质扩展到整个闭区间上有限覆盖定理的证明中也用到了布尔查诺方法即放缩法，在函数的“整体性质”和“局部性质”的证明中都用到了放缩法数学分析是建立在实数上的，极限是数学分析的基础，不等式贯穿了整个数学分析，综上，放缩法在数学分析中具有广泛的应用性并且不可或缺3 放缩法在实变函数中的应用举例3.1 放缩法在集合中的应用下面出现的A,B,C,大写字母都是指集合定义3.1 集合是指把具有某种性质

22、或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素集合之间的包含关系是具有传递性的，可以类比不等式的传递性集合之间的交和并也可以看做是集合的缩小和放大所以集合的不等关系也可以运用放缩法进行证明定义3.2 设有集合A与B若存在一个从A到B的一一映射，则称集合A与B对等(也就是说可以把A与B的全部元素通过映射一一对应起来），记为对等的意思就像数学分析中代数式的相等，是指集合A中的元素个数与集合B的相等定理3.1 （Cantor-Bernstein定理） 若集合与的某个真子集对等，与的某个真子集对等，则此定理本身没有用到放缩法，证明这个定理的方法

23、有两种也都没有运用放缩法我要说明的是伯恩斯坦定理的特例定理的特例：设集合，满足下述关系：，若，则这个特例应用了放缩法，证明，就要对集合进行缩小寻找集合，使得成立这就像函数证明，只要对进行缩小找到使得，即利用了不等式的传递性，在保持等式关系成立的条件下，向特定缩小的方向变形的方法这个特例则是利用了集合的包含关系的传递性，在保持对等关系成立的条件下，向特定缩小方向变形的方法，明显就是运用了放缩法因此，伯恩斯坦的特例就是放缩法例3.1 ，这是因为已知，且有如果我们要直接建立与之间的一一对应关系，就会比较繁琐些至少用一个连续函数来表达是不可能的，因为闭区间上的连续函数之值域仍为一个闭区间由以上说明，放

24、缩法在集合中也具有应用性3.2 放缩法在测度中的应用定义3.3 点集称为一个开区间(维)，如将其中不等式一律换成，（或，），则称之为一个闭区间（或左开右闭区间）当上述各种区间无区别的必要时，统称为区间，记作称为的第个“边长”，称为的“体积”，记为定理3.2 设，则式对中任何开区间都成立的充要条件是对中的任何点集都有证明 充分性显然成立下证必要性设为中的任意集合，则由外侧度定义，对于任何，有一列开区间，使得，且但由于，故，从而由于的任意性，即得.另一方面，显然有.故.由上述引理，我们现在可以给出中集合属于的定义，即可测定义这个定理的证明，利用了已知不等式关系，所以很明显是运用了放缩法由以上我们可

25、以看出，放缩法在集合和测度中也具有应用性，实变函数是建立在集合上的，而测度又是实变函数的基础，所以放缩法在实变函数中也具有广泛的应用性4 放缩法在点集拓扑中的应用定理4.1 设是拓扑空间的一个连通子集，满足条件则也是的一个连通子集证 假设是中的一个不连通子集在中有非空隔离子集和使得 因此由于是连通的，所以，或者如果，由于，所以，因此；同理如果，则这两种情形都与假设矛盾即证我们已经知道集合具有传递性，也可以应用放缩法，本定理的证明过程中，所以，运用的就是放缩法该定理与级数的迫敛性很相似，只不过迫敛性是求极限，该定理是验证子集的连通性，所以该定理用的就是迫敛法因此放缩法也是，保持连通性不变，向特定

26、方向不等变形的方法拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质上面的定理就是迫敛法，即放缩法，连通性是拓扑不变性，而点集拓扑是以集合为基础的，所以放缩法可以拓宽为，在保持某种拓扑不变性的情况下，向特定方向不等变形的方法在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质，那么在连续映射下，是满射但不是一一映射，那么必定保持某种性质不变，而且特定方向是缩小的方向进行的不等变形，所以这也是放缩法这具有广泛的应用性，适用很多种情况，例如在斜裁服装样板上面料缩率缩放新方法，其中有坐标取点放缩法和曲线轨迹法，这是建立在连续映射下进行的放大，所以运用了放缩法因此放缩法在点集拓扑中也具有广泛的应用性让我们再结合例的结论，保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法是放缩法，所以我们可以概括得出，保持某种性质不变，向特定方向不等变形的方法，是放缩法5