数学解题方法之配方法探讨

1、【备战2013高考数学专题讲座】第10讲：数学解题方法之配方法探讨38讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。配方法使用的最基本的配方依据是

2、二项完全平方公式，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： ；结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：；。结合2012年全国各地高考的实例探讨配方法的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即， 。 解得，。不等式的解集为，解得。例2.（2012年全国大纲卷理5分）已知为第二象限角，则【 】A B C D【答案】A。【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，

3、然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题：，两边平方，得，即。为第二象限角，因此。故选A。例3.（2012年湖北省理5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则（）双曲线的离心率e= ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 。【答案】（）；（）。【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。【解析】（）由已知，解得。（）由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为，联立解得，。例4.（2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正

4、方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 A（0，12）， 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanOAP=，得，救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置

5、为。 由，整理得。 当即=1时最小，即。 救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。 （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例5.（2012年广东省理14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1），可设 。 ，故椭圆C的方程为。设为

6、椭圆上的任一点，则。，当时，取得最大值，即取得最大值。又椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3，解得。所求的椭圆C方程为。（2）假设点M（m，n）存在，则 ， 即圆心O到直线的距离。 。（当且仅当，即时取等号）。解得，即或或或。 所求点M的坐标为，对应的OAB的面积为。【考点】椭圆的性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式的应用。【解析】（1）由可得椭圆C的方程为，设设为椭圆上的任一点，求出的表达式，一方面由二次函数的最大值原理得的最大值，另一方面由已知椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3列式求出，从而得到椭圆C的方程。 （2）假设点M（m，n）存在，求出的表达式，应

7、用基本不等式求得OAB的面积最大时m，n的值和对应的OAB的面积。例6. （2012年山东省文13分）如图，椭圆M：的离心率为，直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程；() 设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形ABCD有两个不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解：()椭圆M：的离心率为，即。 矩形ABCD面积为8，即由解得：。椭圆M的标准方程是。(II)由得。设，则。由得。当过A点时，当过C点时，。当时，有，。设，则。当，即时，取得最大值。当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。 当时，当时，取得最大值。综上可知，当时，取得最大值。【考点】

8、椭圆的性质，矩形的性质，函数的极值。【解析】（）由已知条件，根据椭圆M的离心率为 ，直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8，列方程组组求解。 （）应用韦达定理、勾股定理，用表示出，分，三种情况分别求解。例7. （2012年辽宁省文12分）如图，动圆,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。 ()当为何值时，矩形的面积取得最大值？并求出其最大面积； () 求直线与直线交点M的轨迹方程。【答案】解：（I）设，则矩形的面积。 由得， 。 当时，最大为，。 ， 当时，矩形的面积取得最大值，最大面积为6。()设，直线A1A的方程为，直线A2B的方程为。由×可得：。在椭圆上，。代入可得：，点M的轨迹方程为。【考点】直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法。【解析】（I）设，应用函数方程思想求出最大时的情况即可。()设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆上，化简