数列题目集锦答案

1、数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比类型一：按已有目标构造1、 数列an，bn，cn满足：bnan2an1，cnan12an22，nN*.(1) 若数列an是等差数列，求证：数列bn是等差数列；(2) 若数列bn，cn都是等差数列，求证：数列an从第二项起为等差数列；(3) 若数列bn是等差数列，试判断当b1a30时，数列an是否成等差数列？证明你的结论类型二： 整体构造2、设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知a11，且(Sn1)an(Sn1)an1对一切nN*都成立(1) 若1，求数列an的通项公式；(2) 求的值，使数列an是等差数列二、两次作差法证明等差数列3、设数列的前

2、n项和为，已知，且，（其中A,B为常数）(1)求A与B的值；(2)求数列为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为,满足：，（）（1）若，求数列的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围5.设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，求的取值范围.四、隔项（分段）数列问题6. 已知数列an中，a11，an1(1) 是否存在实数，使数列a2n是等比数列？若存在，求出的值；若不存

3、在，请说明理由；(2) 若Sn是数列an的前n项的和，求满足Sn0的所有正整数n.7.若满足：对于，都有(为常数)，则称数列是公差为的“隔项等差”数列（）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（）设数列满足：，对于，都有 求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式； 设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 五、数阵问题8.已知等差数列an、等比数列bn满足a1a2a3，b1b2b3，且a3，a2b1，a1b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列(1) 求数列an和数列bn的通项公式；(2) 按如下方法从数列an和数列b

4、n中取项：第1次从数列an中取a1，第2次从数列bn中取b1，b2，第3次从数列an中取a2，a3，a4，第4次从数列bn中取b3，b4，b5，b6，第2n1次从数列an中继续依次取2n1个项，第2n次从数列bn中继续依次取2n个项，由此构造数列cn：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，记数列cn的前n项和为Sn.求满足Sn<22 014的最大正整数n.数列经典题目集锦答案1.证明：(1) 设数列an的公差为d， bnan2an1， bn1bn(an12an2)(an2an1)(an1an)2

5、(an2an1)d2dd， 数列bn是公差为d的等差数列 (4分)(2) 当n2时，cn1an2an12， bnan2an1， an1， an11， an1an. 数列bn，cn都是等差数列， 为常数， 数列an从第二项起为等差数列 (10分)(3) 结论：数列an成等差数列证明如下：(证法1)设数列bn的公差为d， bnan2an1， 2nbn2nan2n1an1， 2n1bn12n1an12nan，2b12a122a2， 2nbn2n1bn12b12a12n1an1，设Tn2b122b22n1bn12nbn， 2Tn22b12nbn12n1bn，两式相减得：Tn2b1(222n12n)d2

6、n1bn，即Tn2b14(2n11)d2n1bn， 2b14(2n11)d2n1bn2a12n1an1， 2n1an12a12b14(2n11)d2n1bn2a12b14d2n1(bnd)， an1(bnd) (12分)令n2，得a3(b2d)b1， b1a30， b1a30， 2a12b14d0， an1(bnd)， an2an1(bn1d)(bnd)d， 数列an(n2)是公差为d的等差数列 (14分) bnan2an1，令n1，a12a2a3，即a12a2a30， 数列an是公差为d的等差数列 (16分)(证法2) bnan2an1，b1a30，令n1，a12a2a3，即a12a2a30

7、，(12分) bn1an12an2，bn2an22an3， 2bn1bnbn2(2an1anan2)2(2an2an1an3) 数列bn是等差数列， 2bn1bnbn20， 2an1anan22(2an2an1an3)(14分) a12a2a30， 2an1anan20， 数列an是等差数列(16分) 2.解析：(1) 若1，则(Sn11)an(Sn1)an1，a1S11. an0，Sn0， ，(2分) ······，化简，得Sn112an1.(4分) 当n2时，Sn12an.，得an12an， 2(n2)(6分) 当n1时，a22，

8、 n1时上式也成立， 数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1(nN*)(8分)(2) 令n1，得a21.令n2，得a3(1)2.(10分)要使数列an是等差数列，必须有2a2a1a3，解得0.(11分)当0时，Sn1an(Sn1)an1，且a2a11.当n2时，Sn1(SnSn1)(Sn1)(Sn1Sn)，整理，得SSnSn1Sn1Sn1，(13分)从而······，化简，得Sn1Sn1， an11.(15分)综上所述，an1(nN*)， 0时，数列an是等差数列(16分)3.解析：(1)由，得 把分别代入，得， 解得，(

9、2)由(1)知，即，又-得，即又-得，又，所以，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列故4.解析：(1) 时, ， ， (2) ，则， ，相加，得则，该式对也成立，得即， .对一切恒成立， 对一切恒成立即对一切恒成立记,则当时，； 当时， 是中的最大项综上所述，的取值范围是. 5. 解析：（1）数列是各项均为正数的等比数列，又，； 4分（2）（）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，若，则， . 6分若，则，左边为偶数，等式不成立，若，同理也不成立，综合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：设，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立.综合（）（），原命题成立. 1

10、0分（3）因为，即，（*）当时，（*）则（*）式两边同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又当时，即，适合，.14分，时，即；时，此时单调递减，又，. 16分6. 解析：(1) 设bna2n，因为.(2分)若数列a2n是等比数列，则必须有q(常数)，即a2n(q1)10，即(5分)此时b1a2a110，所以存在实数，使数列a2n是等比数列(6分)(注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分)(2) 由(1)得bn是以为首项，为公比的等比数列，故bna2n··，即a2n·.(8分)由a2na2n1(2n1)，得a2n13a2n3(2n1)·6n，(10分)

11、所以a2n1a2n·6n92·6n9，S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)26(12n)9n2·6·9n13n26n3(n1)22，(12分)显然当nN*时，S2n单调递减又当n1时，S20，当n2时，S40，所以当n2时，S2n0；S2n1S2na2n·3n26n， 同理，当且仅当n1时，S2n10.综上，满足Sn0的所有正整数n为1和2.(16分)7.解析：（）易得数列前项之和 4分（）（）（1） ， （2）（1）（2）得（） 所以，为公差为2的“隔项等差”数列 6分 当为偶数时， 当为奇数时，； 8分 当为偶数时，； 当为奇数时， 12分 故当时， 由，则，解得所以存在实数，使得成等比数列（） 16分8. 解析：(1) 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，依题意，得解得a1d1，b1q2.故ann，bn2n.(6分)(2) 将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，以此类推，则第n组中，有2n1项选取于数列an，有2n项选取于数列bn，前n组共有n2项选取于数列an，有n2n项选取于数列bn，记它