拉格朗日方程习题解答

1、习 题 15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C上作用一驱动力偶M，使质量m1的物体A上升。已知平衡物B的质量为m2，主动轮C和从动轮D都为均质圆轮，半径和质量分别为r和m3。如不计胶带质量，试求A物的加速度。图15-7 动力学普遍方程 15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m1的滑块及质量为m2的平衡重块组成，长l的杆不计重量，弹簧刚度为k，当q = 0时，为原长。若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求与的关系。图15-8 动力学普遍方程 故 15-3 如图15-9所示，板DE质量为m1，放在三个质量均为m2的滚子A、B和C上，今在板上作用一水平向右的力F，使板与滚子运动。如板与滚子

2、，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。图15-9 动力学普遍方程 15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。设曲柄OC与椭圆规尺AB都为均质杆，质量分别为m1和2m1，且OC=AC=BC=l。滑块A与B的质量相等均为m2，如作用在曲柄上的驱动力矩为MO不计摩擦，试求曲柄的角加速度。图15-10同习题12-6 由 15-5 如图15-11所示，铰接平行四边形机构O1O2AB位于铅直平面内，杆O1A，O2B各长l，质量不计；杆AB为均质杆，质量m。设在O1A杆上作用一常力矩M，试求O1A转动到任意位置时的角加速度，并求时的角加速

3、度的值。图15-11以为广义坐标，先求广义力给系统虚位移由 时 15-6 如图15-12所示，在质量为m1的均质圆柱C上绕着一根细绳，绳的质量可以不计。绳的另一端跨过不计质量的滑轮O与质量为m2的物块A相连，物块放在粗糙的水平面上，动摩擦因数为。如果圆柱由静止落下作平面运动，试求物块和圆柱质心的加速度。图15-12以、为广义坐标，先求广义力显然 代入拉氏方程 得 解得 即 15-7 如图15-13所示，一绳跨过两定滑轮A与B，并吊起一动滑轮C，绳子不在滑轮上的各端都是铅垂的，滑轮上吊有重W40N的重物，绳的两端分别挂有重量各为W1=20N，W2=30N的两重物。如滑轮与绳的重量以及轴承的摩擦均

4、可不计，试求这三个重物的加速度。图15-13以、为广义坐标(向下为正) 代入拉氏方程 得 解得 即(向上) (向下) (向上) 15-8 图15-14所示滑轮组中，三个物块A，B，C质量分别为mA=10kg， mB=20kg，mC=20kg。物块与地面间的动摩擦因数均为=0.2，滑轮质量不计，试求各重物的加速度。图15-14以(向右为正)、(向左为正)为广义坐标，先求广义力显然 代入拉氏方程 得 解得 即(向右) (向左) (向下) 15-9 用动力学普遍方程推导刚体平面运动微分方程。 15-10 如图15-15所示，半径为r的滑轮可绕水平轴O转动，在滑轮上跨过一不可伸长的绳，绳的一端悬挂质量

5、为m1的重物C，另一端与刚性系数为k的铅垂弹簧相连。设滑轮的质量m2均布于轮缘上，绳与滑轮间无滑动。试求系统的振动周期。图15-15以C的铅垂位移为广义坐标(向下为正) 代入拉氏方程 15-11如图15-16所示，椭圆摆由一半径为r，质量为m1的均质圆盘A与一小球B构成，圆盘可沿水平面纯滚动。小球质量为m2用长为l的杆AB与圆盘相连，杆AB能绕与图面垂直且与圆盘相连的A轴转动，不计杆的质量。试求椭圆摆的运动微分方程(小球大小不计)。图15-16以、为广义坐标 代入拉氏方程 即 15-12 如图15-17所示，一质量为m的质点在一半径为r的圆环上运动，此圆环又以匀角速度w绕其铅垂直径AB转动。试

6、求此质点的运动微分方程以及使角速度保持不变的力矩M。图15-17以、为广义坐标由 (1)当 时，由式(1)得 15-13 如图15-18所示，一均质圆盘半径为r，质量为m1，可绕其自身的水平轴O转动，在圆盘的A点以长为l的细绳悬挂一质量m2为的重物(视为质点)。设绳子不可伸长其质量略去不计。试写出系统运动的微分方程。图15-18以、为广义坐标代入拉氏方程 即 15-14 如图15-19所示，质点M在重力作用下沿直杆AB运动，AB以匀角速度绕铅垂轴z作定轴转动，杆AB与水平成f角。试求质点的运动规律。图15-19以为广义坐标代入拉氏方程 齐次方程通解特解故 15-15如图15-20所示，长为2l

7、，质量为m的均质杆AB的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，框架以匀角速度w绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。图15-20以、为广义坐标，先求广义力显然 代入拉氏方程 15-16 如图15-21所示，物块A的质量为m1，可沿光滑水平面作直线运动；均质轮C的质量为m2沿直线BD作纯滚动；力F按F=Hsint的规律变化（H和都是常量）。试建立系统的运动微分方程。图15-21以、为广义坐标，先求广义力显然 代入拉氏方程 即 15-17如图15-22所示，质量为m1的均质杆OA长为l，可绕水平轴O在铅垂面内转动，其下端有一与支座相连的螺线弹簧，刚度系数为k，当时，弹簧无变形。OA杆的A端装有可自由转动的均质圆盘，盘的质量为m2，半径为r，在盘面上作用有力矩为M的常力偶，设广义坐标为f和，如图所示。求该系统的运动微分方程。图15-22以、为广义坐标，先求广义力显然 代入拉氏方程 即 15-18 如图15-23所示，绕在圆柱体A上的细绳，跨过质量为m的均质滑轮O，与一质量为mB的重物B相连。圆柱体的半径为r，质量为mA，对