f分布t分布与卡方分布

1、 §1.4 常用的分布与其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布与F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，记作Z(n)，它的分布密度 p(z)=式中的=，称为Gamma函数，且=1，=。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y(n)，Z(m)，则Y+Z(n+m)。证明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以与上述随机变量的相互独立性，令 Y=X+X+X，Z=X+X+X， Y+Z= X+X

2、+X+ X+X+X，即可得到Y+Z(n+m)。2. t分布若X与Y相互独立，且 XN(0,1)，Y(n)，则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z t (n)，它的分布密度 P(z)=。请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布若X与Y相互独立，且X(n)，Y(m)，则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作ZF (n, m)，它的分布密度p(z)=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF

3、(n, m)时，F (m ,n)。4. t分布与F分布的关系若Xt(n)，则Y=XF(1,n)。证：Xt(n)，X的分布密度p(x)=。 Y=X的分布函数F(y) =PY<y=PX<y。当y0时，F(y)=0，p(y)=0；当y>0时，F(y) =P-<X<=2， Y=X的分布密度p(y)=，与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度一样，因此Y=XF(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量

4、的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即分位数、上侧分位数与双侧分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数满足0 <<1时，分位数是使PX< x=F(x)=的数x，上侧分位数是使PX >=1-F()=的数，双侧分位数是使PX<1=F(1)=0.5的数1、使PX>2=1-F(2)=0.5的数2。因为1-F()=，F()=1-，所以上侧分位数就是1-分位数x 1-； F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以双侧分位数1就是0.5分位数x 0.5，双侧分位数2就是1-0.5分位数x1-0.5。2）标准正态分布的分位数记作u，0

5、.5分位数记作u0.5，1-0.5分位数记作u 1-0.5。当XN(0,1)时，PX< u=F 0,1(u)=，PX<u0.5= F0,1 (u0.5)=0.5，PX<u1-0.5= F0,1 (u1-0.5)=1-0.5。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当=0.5时，u=0；当<0.5时，u<0。 u=-u1-。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u 1-，然后得到u=-u1-。论述如下：当XN(0,1)时，PX< u= F0,1 (u)=，PX< u1-= F0,1 (u1-)=1-，PX> u1-=1- F0,1

6、(u1-)=，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u=-u1-。例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。又因为P|X|< u1-0.5=1-，所以标准正态分布的双侧分位数分别是u 1-0.5和-u1-0.5。标准正态分布常用的上侧分位数有：=0.10，u 0.90=1.282；=0.05，u 0.95=1.645；=0.01，u 0.99=2.326；=0.025，u 0.975=1.960；=0

7、.005，u 0.995=2.576。3）卡平方分布的分位数记作(n)。(n)>0，当X(n)时，PX<(n)=。例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，0.05 (4)=0.71，0.95(4)=9.49，0.975(4)=11.1，0.995(4)=14.9。4）t分布的分位数记作t(n)。当Xt (n)时，PX<t (n)=，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t(n)=-t1-(n)，论述同u=-u1-。例如，t0.95(4)=2.132，t 0.975(4)=2.776，t 0.995(4)=4.604，t 0.005(4)

8、=-4.604，t 0.025(4)=-2.776，t 0.05(4)=-2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t(n)，可用u作为t(n)的近似值。5）F分布的分位数记作F(n , m)。F(n , m)>0，当XF (n , m)时，PX<F(n , m)=。另外，当较小时，在表中查不出F(n, m)，须先查F1-(m, n)，再求F(n, m)=。论述如下：当XF(m, n)时，PX< F 1-(m, n)=1-，P>=1-，P<=，又根据F分布的定义，F(n, m)，P<F(n, m) =，因此 F(n, m)= 。例如，F0.

9、95(3,4)=6.59，F 0.975(3,4)=9.98，F 0.99(3,4)=16.7，F 0.95(4,3)=9.12，F 0.975(4,3)=15.1，F 0.99(4,3)=28.7，F 0.01(3,4)=，F 0.025(3,4)=，F 0.05(3,4)=。课练习 1. 求分位数0.05(8)，0.95(12)。 2. 求分位数t 0.05(8)，t 0.95(12)。 3. 求分位数F0.05(7,5)，F0.95(10,12)。 4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 6. 若X(4)，PX<0.711=0.05，PX<9.49=0.95，试写出有关的分位数。 7. 若XF(5,3)，PX<9.01=0.95，YF(3,5)，Y<5.41=0.95，试写出有关的分位数。8. 设X、X、X相互独立且都服从N(0,0.09)分布,试求P>1.44。习题答案：1. 2.73，21.0。2. -1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数