专题复习隐形圆问题

1、“隐形圆”问题省通州高级中学一、问题概述省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x2a)2(ya3)24 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值围是 - 6 < a < 05略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化

2、到此单位圆与已知 圆相交求解 （2）（2016 年二模）已知圆 O：x2y21，圆 M：(xa)2(ya4)21若圆 M 上 存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得APB60°，则 a 的取值 围为 解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 Þ 1 a2 + (a - 4)2 9 Þ 2 -2 a 2 + 2 221（3）（2017 年北四市一模）已知 A、B 是圆 C : x2 + y2 = 1 上的动点， AB= 3

3、 ， P 是圆2C : (x - 3）2 + ( y - 4)2= 1 上的动点，则 PA + PB 的取值围是 7,13 1略解：取 AB 的中点 M，则 C1M=21，所以 M 在以 C1 圆心，半径为2的圆上，且PA + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值 （4）若对任意aÎR，直线 l：xcosaysina2sin(a p )4 与圆 C：(xm)2(y 3 m)261 均无公共点，则实数 m 的取值围是 (- 1 , 5 )2 2略解：直线 l 的方程为：(x-1)cosa(y- 3 )sina4，M(1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是以 M 为圆心

4、半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 含0 0注：直线 l：(x-x0)cosa(y- y0)sinaR 为圆 M： (x - x )2 + (x - y )2 = R2 的切线系例 2（2017 年市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2 + y2 = 4 上两点， 点 A(1，1) ，且 ABAC，则线段 BC 的长的取值围为 解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M ( x, y ) ， 因为 OB2 = OM 2 + BM 2 = OM 2 + AM 2 ， y所以 4 = x2 + y2 + ( x - 1)2 + ( y - 1)2 ， BMC2

5、2化简得 æ x - 1 ö+ æ y - 1 ö= 3 ， Aç 2 ÷ ç2 ÷ 2è ø è øOxç 2 ， ÷所以点 M 的轨迹是以 æ 1 1 ö 为圆心， 3 2 为半径的2èøé 6 -圆，所以 AM 的取值围是22 ， 6 +2 ù ，所ê 2 2 ú 例 2ë û以 BC 的取值围是 é 6 -2 ， 6 +2 ù &

6、#235; û法二：以 AB、AC 为邻边作矩形 BACN，则 BCAN ， 由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有 OB2 + OC2 = OA2 + ON 2 ，所以 ON 6 ，故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值围是 é 6 -2 ， 6 +2 ù ëû变式 1（2014 年高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x2 + y2 = 16 ，点P (1, 2) ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM × PN = 0 ，若 P

7、Q = PM + PN ，则 PQ 的最小值为 3 3 - 5 y2 2 2 2变式 2已知圆 C1 ： x + y= 9 ，圆 C2 ： x + y= 4 ，定点AP(1, 0) ，动点 A, B 分别在圆 C1 和圆 C2 上，满足 ÐAPB = 90 ，则线段 AB 的取值围 2 3 - 1, 2 3 + 1BOPx变式 3已知向量 a、b、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1, (a - c) × (b - c) = 0 ，则 a - b 围为 2 3 - 1, 2 3 + 1策略二动点 P 对两定点 A、B 角是 900 （ kPA × kP

8、B= -1 ，或 PA × PB = 0）确定隐形圆例 3 （1）（2014 年卷）已知圆 C： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A(-m, 0) ， B(m, 0) ，若圆上存在点 P，使得 ÐAPB = 90 ，则 m 的取值围是 4, 6略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (1，0) ，Q(2 ，1) ，直线 l：ax + by + c = 0 其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上 的射影为 H，则线段 QH 的取值围是 2,

9、3 2 解：由题意，圆心 C(1，2)在直线 axbyc0 上，可得 a2bc0，即 c2ba直线 l：(2ab)x(2bc)y(2ca)0，即 a(2xy3)b(4x)0，ì2x + y - 3 = 0,由 íî4 - x = 0，可得 x4，y5，即直线过定点 M(4，5)，由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x5)2(y2)250，|CA|4 2 ，CH 最小为 5 2 4 2 2 ，CH 最大为 4 2 5 2 9 2 ，线段 CH 长度的取值围是 2 ，9 2 （3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m 

10、6; R ，直线 l1 ： x + my = 0 与直线l2 ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P(x0 , y0 ) ，则 x02 + y 2+ 2x0的取值围0是 12 - 4 10,12 + 4 10 略解：l1 过定点 O(0，0)，l2 过定点 A(2，-4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kxy20 与直线 l2： xky20 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 xy40 的距离的最大值为 3 2策略三 两定点 A、B，动点 P 满足 PA × PB

11、= l 确定隐形圆 例 4 （1）（2017 年密卷 3）已知点 A(2, 3) ，点 B(6, -3)，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，若满足等式 AP × BP + 2l = 0 的点 P 有两个，则实数 l 的取值围是 解：设P（x，y），则 AP = (x - 2, y - 3) ， BP = ( x - 6, y + 3) ， 根据 AP × BP + 2l = 0 ，有 ( x - 4)2 + y 2 = 13 - 2l æ l < 13 ö .由题意 ç 2 ÷è ø圆：

12、( x - 4)2 + y 2 = 13 - 2l æ l < 13 ö 圆与直线 3x - 4 y + 3 = 0 相交， ç 2 ÷èø3 × 4 - 4 × 0 + 3圆心到直线的距离 d = = 3 <32 + 4213 - 2l ，所以 l < 2 . （2）（2016 年三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA × CB = l （ l 为常数），心，且点 C 总不在以点 B 为圆12为半径的圆，则负数 l 的最大值是 . - 3 4略解：动点 C 满足方程 x

13、2 + y2 = l + 1 .策略四 两定点 A、B，动点 P 满足 PA2 + PB2 是定值确定隐形圆 例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：(xa)2(ya2)21，点 A(0，2)，若 圆 C 上存在点 M，满足 MA2MO210，则实数 a 的取值围是 0，3略解：M 满足的方程为 x2 + ( y -1)2 = 4 ，转化为两圆有公共点（2）（2017 年、一模）在 DABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，若a2 + b2 + 2c2 = 8 ，则 DABC 面积的最大值为 2 55解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.

14、 设 A(- c , 0) ， B( c , 0) ， C(x, y) ，则由 a2 + b2 + 2c2 = 8 ，2 2得 (x - c )2 + y2 + ( x + c ) + y2 + 2c2 = 8 ，即 x2 + y2 = 4 - 5 c2 ，2 2所以点 C 在此圆上，S c r = c4 - 5 c2 = 14(4 - 5 c2 ) 5 c2 2 52245 4 4 5策略五 两定点 A、B，动点 P 满足 PA = l(l > 0, l ¹ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB例 6（1）略解：点 P 满足圆的方程为 x2 + y2 = 4 ，转化到直线与

15、圆相交. （2）（2016 届一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y21，O1：(x4)2y24，动点 P 在直线 x +3 y - b = 0 上，过点 P 作圆 O，O1 的两条切线，切点分别为 A，B，若满足 PB = 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值围 æ 20 ,4 öç 3 ÷è ø例 7（2017 年二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击已知缉私艇的最大

16、航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行（1）若走私船沿正向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海拦截成功；（参考数据： sin17 °»3 ， 33 » 5.7446 ）6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海成功拦截？并说明理由北l领海 公海 B30°A解：（1）略(例 7) （2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy 则 B (2 ，2 3) ，设缉私艇在 P(x ，y) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 PA = 3 ，即x2

17、 + y2y= 3 l2PB( x - 2)2 + ( y - 2 3)领海 公海 整理得， (9 )(9 3)92 2x - 4+ y - 4= 4 ，B()所以点 P(x ，y) 的轨迹是以点 9 ，9 3 为圆心，4 46032 为半径的圆Ax图乙 因为圆心 (9 ，9 3) 到领海边界线 l ： x = 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ，4 4 2所以缉私艇能在领海截住走私船 策略六 由圆周角的性质确定隐形圆 例 8（1）已知 a, b, c 分别为 DABC 的三个角 A, B, C 的对边， a = 2 ，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则 DAB

18、C 面积的最大值为 3略解：cosA 1 ，A60°，设 DABC 的外接圆的圆心为 O，外接圆的半径为 2 3 ，则23O 到 BC 的距离为 3 ，则边 BC 上的高 h 的最大值为 3 + 2 3 = 3 ，则面积的最大值333为 3 （2）（2017 年一模）在 ABC 中，C45o，O 是 ABC 的外心，若 OC = mOA + nOB (m，nR)，则 mn 的取值围是 -2,1)略解： AOB2C90°，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上（在优弧 AB 上）三、同步练习1已知直线 l : x - 2 y + m = 0 上存在点 M 满足与两点 A

19、(-2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为 -1 ，则实数 m 的取值围是 -2 5 , 2 5 2(2016 年一模)已知实数 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 ， c ¹ 0 ，则ba - 2c的取值围为 -3 , 3 3 33 已知q , t Î R ，则 (cosq - t - 2)2 + (sinq - t + 2)2 的取值围是 2 2 - 1, 2 2 + 14 已知圆 C : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A(-m, 0), B(m, 0) (m > 0) 若圆 C 上存在点 P，使 得 PA 

20、5; PB = 1 ，则 m 的取值围是 15, 357（2016 年一模）已知圆 C : ( x - 2)2 + y2 = 4 ，线段 EF 在直线 l : y = x + 1 上运动，点 P为线段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A、B，使得 PA × PB 0 ，则线段 EF 长度 的最大值是 148如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x2y21 上的 动点(与点 A,B 不重合)，连接 BC 并延长至 D，使得|CD|BC|，则线段 PD 的取值围 ( 2 , 2)39在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( - t ，0)(t > 0) ， B(t ，0) ，点 C 满足 AC × BC = 8 ，且点 C 到直线 l： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是 1510（2013 年卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O(0, 0) ， A(0, 3) 如果圆 C : ( x - a)2 + ( y - 2