常微分方程4new

1、第四章 高阶微分方程教学目标1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。2. 掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 3. 熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。4. 掌握高阶方程的应用。教学重难点 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特解。 教学方法 讲授，实践。教学时间 16学时教学内容 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法

2、；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 考核目标 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 §4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言 讨论阶线性微分方程 （4.1）其中及都是区间上的连续函数如果，则方程（4.1）变为： （4.2）称它为阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为阶非齐线性微分方程，并且通常把

3、方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。定理1 如果及都是区间上的连续函数，则对于任一 ，方程（4.1）存在唯一解，定义于区间上，且满足初始条件： （4.3）从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有及连续的整个区间上有定义。4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 （4.2）定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数。特别地，当时，即方程（4.2）有解 （4.4）它含有个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与

4、线性无关及伏朗斯基行列式等概念。设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式 对于所有都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。 由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组中如果有一个函数为零，则在上线性相关.2)如果两个函数之比在有定义，则它们在上线性无关等价于比式在上不恒等于常数.例1函数组在任意区间上都是线性无关的.解 比式=不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组在区间上线性相关.解 若取则故已知函数组在上线性相关.设函数在区间上均有阶导数,行列式 称为这些函数的伏朗斯基行列式。

5、定理3 若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数，使得 （4.6）依次对微分此恒等式，得到 （4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即 。反之，其逆定理一般不成立。例如函数 和 在区间上，但在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式 （4.8）则当时，可知；当时，可知.即当且仅当时，(4.8)式对一切成立.故是线性无关的.推论1 如果函数组的朗斯基行列式在区间上某一点处不等于零，即，则该函数组在上线性无关.但是，如果是齐线性方

6、程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即 。证明：采用反证法。设有某个，使得。考虑关于的齐次线性代数方程组 （4.9）其系数行列式，故（4.9）有非零解。现以这组常数构造函数 根据叠加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道这个解满足初始条件 （4.10）但是显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。由解的唯一性，即知 ，即 因为不全为0，这就与线性无关的假设矛盾，定理得证。推论2 设是方程（4.2）定义在上的个解，如果存在，使得它的朗斯基行列式, 则该解组在上线性相关.推论3 方程（4.2

7、）的个解在其定义区间上线性无关的充要条件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5 阶齐线性方程（4.2）一定存在个线性无关的解。定理6（通解结构定理） 如果是方程（4.2）的个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为 （4.11）其中，是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有个任意常数。这些常数是彼此独立的。事实上， 因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。由定理1，方程的解唯一地决定于初始条件，因此，只需证明：任给一初始条件 （4.12）能够确定（4.11）中的常数的值，使（4

8、.11）满足（4.12）。现令（4.11）满足条件（4.12），得到如下关于的线性代数方程组： （4.13）它的系数行列式就是，由定理4知。根据线性代数方程组的理论，方程（4.13）有唯一解。因此，只要表达式（4.11）中常数取为，则它就满足条件（4.12），理得证。推论 方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于。因此可得结论：阶齐线性方程的所有解构成一个维线性空间。 方程（4.2）的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组。4.1.3 非齐线性方程与常数变易法性质1 如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也是方程（4.1）的解。性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.

9、2）的解。定理7 设为方程（4.2）的基本解组，而是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为 （4.14）其中为任意常数。而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。证明：根据性质1易知（4.14）是方程（4.1）的解，它包含有个任意常数，像定理6的证明过程一样，不难证明这些常数是彼此独立的，因此，它是方程（4.1）的通解。现设是方程（4.1）的任一解，则由性质2，是方程（4.2）的解，根据定理6，必有一组确定的常数，使得即 这就是说，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中为相应的确定常数。由于的任意性，这就证明了通解式（4.14）包括方程（4.1）的所有解。

10、设是方程（4.2）的基本解组，因而 （4.15）为（4.2）的通解。把其中的任意常数看作的待定函数，这时（4.15）变为 （4.16）将它代入方程（4.1），就得到必须满足的一个方程，但待定函数有个，即，为了确定它们，必须再找出个限制条件，在理论上，这些另加的条件可以任意给出，其法无穷，当然以运算上简便为宜，为此，我们将按下面的方法来给出这个条件。对微分等式（4.16）得 令 得到 对微分，并像上面一样做法，令含有函数的部分等于零，我们又得到一个条件 和表达式 继续上面做法，在最后一次我们得到第个条件 和表达式 最后，对微分得到 现将（4.16），代入（4.1），并注意到是（4.2）的解，得到

11、 这样，我们得到了含个未知函数的个方程，。题目组成一个线性代数方程组，其系数行列式就是，它不等于零，因而方程组的解可唯一确定，设求得 积分得 这里i是任意常数。将所得的表达式代入（4.16）即得方程（4.1）的解显然，它并且是方程（4.1）的通解。为了得到方程的一个解，只需给常数以确定的值。例如，当取时，即得解。 从这里可以看出，如果以知对应的齐线性方程的基本解组，那么非齐线性方程的任一解可由求积得到。因此，对于线性方程来说，关键是求出齐线性方程的基本解组。例3 求方程的通解，以知它的对应齐线性方程的基本解组为，。解：应用常数变易法，令将它代入方程，则可得决定和的两个方程：解得 由此 于是原方

12、程的通解为其中，为任意常数。例4 求方程于域上的所有解。解：对应的齐线性方程为容易直接积分求得它的基本解组。事实上，将方程改写为积分即得。所以，这里，为任意常数。易见有基本解组1，。为应用上面的结论，我们将方程改写为并以代入，可得决定和的两个方程及于是 故得原方程的通解为这里，为任意常数。根据定理7，它包括了方程的所有解。§4.2 常系数线性方程的解法讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。4.2.1 复值函数与复值解如果对于区间中的每一实数，有复数与它对应，其中和是区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了

13、一个复值函数。如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并且定义如果，我们就称在连续。显然，在连续相当于、在连续。当在区间上每一点都连续时，就称在区间上连续。如果极限存在，就称在有导数（可微）。且记此极限为或者。显然在处有导数相当于、在处有导数，且如果在区间上每点都有导数，就称在区间上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。设是定义在上的可微函数，是复值常数，容易验证下列等式成立：在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义有上述定义立即推得 并且用表示复数的共轭复数。此外

14、，还可容易证明函数具有下面的重要性质：，其中为实变量由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似，而复指数函数具有与实指数函数完全类似的性质。现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间上的实变量复值函数称为方程（4.1）的复值解，如果对于恒成立。定理8 如果方程（4.2）中所有系数都是实值函数，而是方程的复值解，则的实部、虚部和共轭复值函数也都是方程（4.2）的解。定理9 若方程有复值解，这里及，都是实函数，那么这个解的实部和虚部分别是方程和 的解。4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 为了书写上的方便引入下述符号： 并把称为线性微分算子.把算子作用于函数上时

15、，就是指对施加上式右端的微分运算.关于算子有以下两个性质：1)常数因子可以提到算子符号外面：证明：实际上 = = =2)算子作用于两个函数和的结果等于算子分别作用于各个函数的结果之和：证明： =+ = 设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状 （4.19）其中为常数,称（4.19）为阶常系数齐线性方程。它的求解问题可以归结为代数方程求根问题，现在就来具体讨论方程（4.19）的解法。按照§4.1的一般理论，为了求方程（4.19）的通解，只需求出它的基本解组。下面介绍求（4.19）的基本解组的欧拉（Euler）待定指数函数法。回顾一阶常系数齐线性方程我们知道它有形如的解，且它的通

16、解就是。这启示我们对于方程（4.19）也去试求指数函数形式的解 （4.20）其中是待定常数，可以是实的，也可以是复的。注意到 其中是的次多项式。易知，（4.20）为方程（4.19）的解的充要条件是：是代数方程 （4.21）的根。因此，方程（4.21）将起着预示方程（4.19）的解的特性的作用，我们称它为方程（4.19）的特征方程，它的根就称为特征根。下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1）特征根是单根的情形设是特征方程（4.21）的个彼此不相等的根，则相应地方程（4.19）有如下个解： （4.22）我们指出这个解在区间上线性无关，从而组成方程的基本解组。事实上，这时 = 由于假设（当）。故此

17、行列式不等于零，从而，于是解组（4.22）线性无关， 如果均为实数，则（4.22）是方程（4.19）的个线性无关的实值解，而方程（4.19）的通解可表示为其中为任意常数。如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭地出现。设是一特征根，则也是特征根，因而与这对共轭复根对应的，方程（4.19）有两个复值解根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，我们可求得方程（4.19）的两个实值解： 2）特征根有重根的情形设特征方程有重根，则如所周知 先设，即特征方程有因子，于是也就是特征方程的形状为而对应的方程（4.19）变为易见它有个解，而且它们是线性

18、无关的（见4.1.2）。这样一来，特征方程的重零根就对应于方程（4.19）的个线性无关解。如果这个重根，我们作变量变换，注意到可得 于是方程（4.19）化为 （4.23）其中仍为常数，而相应的特征方程为 （4.24）直接计算易得因此 从而 ，可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程（4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19）有个解： （4.25）同样，假设特征方程（4.21）的其他根的重数依次为；（单根相当于），而且，（当），则方程（4.19）对应的有解： （4.26）还可以

19、证明（4.25）和（4.26）的全部个解线性无关，从而构成方程（4.19）的基本解组。对于特征方程有复重根的情况，譬如假设是重特征根，则也是重特征根，仿1）一样处理，我们将得到方程（4.19）的个实值解： 例1 求方程的通解； 解 特征方程的根为，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方程的通解为这里是任意常数。例2 求解方程。解 特征方程有根，因此，通解为其中为任意常数。例3 求方程的通解。解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状 其中为任意常数。例4 求解方程。解 特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解 ，故通解为 其中为任意常数。形状为 （4.29）的方程称为欧

20、拉方程，这里为常数。此方程可以通过变量变换化为常系数齐线性方程，因而求解问题也就可以解决。事实上，引进自变量的变换，直接计算得到用数学归纳法不难证明：对一切自然数均有关系式其中都是常数。于是将上述关系式代入方程（4.29），就得到常系数齐线性方程 （4.30）其中是常数，因而可用上述讨论的方法求出（4.30）的通解，再代回原来的变量（注意：）就可求得方程（4.29）的通解。由上述推演过程，我们知道方程（4.30）有形如的解，从而方程（4.29）有形如的解，因此可以直接求欧拉方程的形如的解。以代入（4.29）并约去因子，就得到确定的代数方程 （4.31）可以证明这正是（4.30）的特征方程。因此

21、，方程（4.31）的重实根，对应于方程（4.29）的个解而方程（4.31）的重复根，对应于方程（4.29）的个实值解 例5 求解方程。解 寻找方程的形式解，得到确定的方程，或，。因此，方程的通解为其中是任意常数。例6 求解方程。解 设，得到应满足的方程或，因此，而方程的通解为 其中是任意常数。4.2.3 非齐线性方程·比较系数法与拉普拉斯变换法现在讨论常系数非齐线性方程 （4.32）的求解问题，这里是常数，而为连续函数。（一）比较系数法类型设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时，取），而是待定的常数，可

22、以通过比较系数来确定。（1）如果，则此时现在再分两种情形讨论。1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程（4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程： （4.34）注意到，这些待定常数可以从方程组（4.34）唯一地逐个确定出来。2）在是重特征根的情形，即，而，也就是，。这时响应地，方程（4.32）将为 （4.35）令，则方程（4.35）化为 （4.36）对方程（4.36）来说，由于，已不是它的特征根。因此，由（1）知它有形如的特解，因而方程（4.35）有特解满足：这表明是的次多项式，其中的幂次的项带有任意常数。但因我们只需要知道一个特解就够了。我们特别地取这些任意常数

23、均为零，于是我们得到方程（4.35）（或方程（4.32）的一个特解这里是已确定了的常数。（2）如果，则此时可像4.2.2做法一样，作变量变换，将方程（4.32）化为 （4.37）其中都是常数。而且特征方程（4.21）的根对应于方程（4.37）的特征方程的零根，并且重数也相同。因此，利用上面的结果就有如下结论：在不是特征方程（4.21）的根的情形，方程（4.37）有特解，从而方程（4.32）有特解；在是特征方程（4.21）的重根的情形，方程（4.37）有特解，从而方程（4.32）有特解。例7 求方程的通解。解 先求对应的齐线性方程的通解。这里特征方程有两个根，。因此，通解为，其中是任意常数。再求

24、非齐线性方程的一个特解。这里，。又因为不是特征根，故可取特解形如，其中，为待定常数。为了确定，将代入原方程，得到比较系数得由此得，从而，因此，原方程的通解为其中是任意常数。例8 求方程的通解。解 从上例知道对应的齐线性方程的通解为其中是任意常数。现求原方程的一个特解。这里，因为刚好是特征方程的单根，故有特解形如，将它代入原方程得到，从而，于是，而原方程的通解为其中是任意常数。例9 求的通解。解特征方程有三重根，故有形状为的特解，将它代入方程得比较系数求得，。从而。故方程的通解为其中是任意常数.类型设，其中，为常数，而，是带实系数的的多项式，其中一个的次数为，而另一个的次数不超过，那么我们有如下

25、结论：方程（4.32）有形如 (4.38)的特解，这里为特征方程的根的重数，而，均为待定的带实系数的次数不高于的的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。事实上，回顾一下类型的讨论过程，易见当不是实数，而是复数时，有关结论仍然正确。现将表为指数形式根据非齐线性方程的叠加原理（见习题4.1）方程与的解之和必为方程（4.32）的解。注意到，易知，若为的解，则必为的解。因此，直接利用类型的结果，可知方程（4.32）有解形如其中为的次多项式，而，。显然，为带实系数的的多项式，其次数不高于，可见上述结论成立。例10 求方程的通解。解 特征方程有重根，因此，对应齐线性方程的通解为其中为任意常数。现求非齐线性

26、方程的一个特解。因为不是特征根，我们求形如的特解，将它代入原方程并化简得到比较同类项系数得，从而，因此原方程的通解为附注：类型的特殊情形或可用另一更简便的方法所谓复数法求解。下面用例子具体说明解题过程。例11 用复数法解例10。解 由例10已知对应齐线性方程的通解为为求非齐线性方程的一个特解，我们先求方程的特解。这属于类型，而不是特征根，故可设特解为将它代入方程并消去因子得，因而。，分出它的实部，根据定理9这就是原方程的特解，于是原方程的通解为与例10所得结果相同。（二）拉普拉斯变换法常系数线性微分方程（组）还可以应用拉普拉斯变换法进行求解，这往往比较简便。由积分所定义的确定与复平面（）上的复

27、变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式这里，为某两个正常数。我们将称为原函数，而称为象函数。这里我们简单地介绍拉普拉斯变换在解常系数线性方程中的应用。设给定微分方程 （4.32）及初始条件，其中是常数，而连续且满足原函数的条件。可以证明，如果是方程（4.32）的任意解，则及其各阶导数均是原函数。记那么，按原函数微分性质有 于是，对方程（4.32）两端施行拉普拉斯变换，并利用线性性质就得到即或 其中，和都是已知多项式，由此这就是方程（4.32）的满足所给初始条件的解的象函数。而可直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式计算求得。例12 求方程满足初始条件的解。解 对方程两端实行

28、拉普拉斯变换，得到方程的解的象函数所应满足的方程：由此，并注意到，得直接查拉普拉斯变换表，可得和的原函数分别为和。因此，利用线性性质，就求得的原函数为这就是所要求的解。例13 求解方程，。解 先令，将问题化为，再对新方程两边作拉普拉斯变换，得到因此 查拉普拉斯变换表可得从而 这就是所要求的解。例14 求方程的满足初始条件的解。解 对方程两边施行拉普拉斯变换得由此得 把上式右端分解成部分分式对上式右端各项分别求出（查表）其原函数，则它们的和就是的原函数这就是所要求的解。例15 求解方程；，其中，为非零常数。解 对方程实行拉普拉斯变换，得到即 把上式右端第一项分解为部分分式：于是由拉普拉斯变换表可

29、求得此即为所要求的解。4.2.4 质点振动（1）无阻尼自由振动考察数学摆的无阻尼微小自由振动方程 记，这里是常数，方程变为 （4.39）这是二阶常系数齐线性方程，它的特征方程为特征根为共轭复根因此，方程（4.39）的通解为 （4.40）其中为常数。为了获得明显的物理意义，令，因此，若取，则（4.40）可以写成即 （4.41）这里，代替了作为通解中所含的两个任意常数。从通解（4.41）可以看出，不论反映摆的初始状态的与为何值，摆的运动总是一个正弦函数，它是的周期函数（参看图（4.1）。这种运动称为简谐振动。振动往返一次所需时间称为周期，记为，这里；单位时间内振动的次数称为频率，记作，这里；而称为

30、圆频率。从而得出结论：数学摆的周期只依赖于摆长，而与初值无关。图（4.1）此外，摆离开平衡位置的最大偏离称为振幅。数学摆的振幅为，而称为初位相。这里，振幅和初位相都依赖于初始条件。如果把数学摆移至位置处，然后突然松开，使其自由摆动，这就相当于给定如下的初始条件：是， （4.42）把（4.42）代入通解（4.41），得到于是得初位相，振幅，因此，所求的特解为（2）有阻尼自由振动 从通解（4.41）可以看出，无阻尼的自由振动是按正弦规律作周期运动，摆动似乎可以无限期的进行下去。但是，实际情况并不是如此，摆总是经过一段时间的摆动后就会停下来，这说明我们所得的方程并没有完全反映物体运动的规律。因为空气

31、阻力在实际上总是难免的，因此必须把运动阻力这一因素考虑进去，从而得到第一章已推导过的有阻尼的自由振动方程。 记，这里，是正常数，方程可以写成 （4.43）它的特征方程为 （4.44）特征根为 对于不同的阻尼值，微分方程有不同形式的解，它表示不同的运动形式，现分下面三种情形进行讨论：（）小阻尼的情形：即的情形，这时，为一对共轭复根，记，则而方程（4.43）的通解为和前面无阻尼的情形一样，可以把上述通解改写成如下形式： （4.45）这里，为任意常数。从（4.45）可见，摆的运动已不是周期的，振动的最大偏离随着时间增加而不断减小，而摆从一个最大偏离到达同侧下一个最大偏离所需时间为，图（4.2）表示函

32、数（4.45）的图形，图上，虚线是的图形。而实线表示摆运动的偏离随时间变化的规律，它夹在两条虚线中间振动。因为阻尼的存在，摆的最大偏离随时间增大而不断减小，最后摆趋于平衡位置。 图（4.2）（）大阻尼的情形：即的情形，这时，特征方程（4.44）有两个不同的负实根，方程（4.43）的通解为 （4.46）这里是任意常数。从（4.46）可以看出，摆的运动也不是周期的，因为方程对于最多只有一个解，因此，摆最多只通过平衡位置一次，又因为故从 得知，当足够大时，的符号与的符号相反。因此，经过一段时间后，摆就单调地趋于平衡位置，因而在大阻尼的情形，运动不是周期的，且不再具有振动的性质。摆的运动规律（4.46

33、）的图形如图（4.3）所示。 图（4.3）（）临界阻尼的情形：即的情形，这时特征方程（4.44）有重根，方程（4.43）的通解为 （4.47）这里是任意常数。从（4.47）可以看出，摆的运动也不是周期的，它的运动规律（4.47）的图形他图（4.3）相类似。摆也不是具有振动的性质。数值称为阻尼的临界值，这一数值正好足够抑制振动。这里临界值的意思是指：摆处于振动状态或不振动状态的阻尼分界值，即当时，摆不具有振动性质，运动规律如图（4.3）所示。而当时，摆具有振动性质，运动规律如图（4.2）所示。（3）无阻尼强迫振动数学摆的微小强迫振动方程可写为 考察无阻尼强迫振动，即的情形。令，设，为已知常数，为

34、外力圆频率。这时方程变为 （4.48）方程（4.48）的对应齐线性方程的通解为 （4.41）这里，是任意常数。现求（4.48）的一个特解。如果，则（4.48）有形如 （4.49）的解，这里，是待定常数。将(4.49)代入（4.48），比较同类项系数，得到，因此，方程（4.48）的通解为 （4.50）这个通解（4.50）由两部分组成，第一部分是无阻尼自由振动的解，它代表固有振动，第二部分是振动频率与外力频率相同，而振幅不同的项，它代表由外力引起的强迫振动。从（4.50）还可以看出，如果外力的圆频率愈接近固有圆频率，则强迫振动项的振幅就愈大。如果，则（4.48）有形如的解，将它代入（4.48），比

35、较同类项系数得到，因而，方程（4.48）的通解为 （4.51） （4.51）表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增加，这种现象称为共振现象。但是，实际上，随着摆的偏离的增加，到了一定程度，方程（4.48）就不能描述摆的运动状态了。（4）有阻尼强迫振动这时摆的运动方程为 （4.52）根据实际的需要，我们只讨论小阻尼的情形，即的情形。这时（4.52）的对应齐线性方程的通解为 （4.45）这里，是任意常数，（见（2）有阻尼自由振动中的情形（）。现求（4.52）的一个特解，这时可以寻求形如 （4.53）的特解，这里，是待定常数。将（4.53）代进（4.52），比较同类项系数，得到 为了获得更明显的物理意

36、义，令，即令 （4.54）及 这时（4.53）可以写成因此，（4.52）的通解为 （4.55）从（4.55）可以看出，摆的运动由两部分叠加而成，第一部分就有阻尼的自由振动，它是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减，第二部分是由外力而引起的强迫振动项，它的振幅不随时间的增长而衰减。因此，考虑强迫振动时主要就考虑后一项，它与外力的频率一样，但相位和振幅都不同了。我们现在来研究外力的圆频率取什么值时所引起的强迫振动项的振幅达到最大值。从（4.54）看出，只需讨论当取何值时达到最小值即可。为此，记，将它对求导数，并令导数等于零，得到因此，只要，即只要阻尼很小时，就解得 （4.56）而当取此值时，我

37、们有，因而在时达到最小值。把（4.56）代入（4.54），得到相应的最大振幅值为就是说，当外力的圆频率时，强迫振动项的振幅达到最大值，这时的圆频率称为共振频率，所产生的现象也叫共振现象。§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法4.3.1 可降阶的一些方程类型阶微分方程一般地可写为下面讨论三类特殊方程的降阶问题：1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状： （4.57）若令，则方程即降为关于的阶方程 （4.58）如果能够求得方程（4.58）的通解即 再经过次积分得到其中为任意常数。可以验证，这就是方程（4.57）的通解。特别地，若二阶方程不显含（相当于，的情形）。则用变换

38、便把方程化为一阶方程。例1 求方程的解。解 令，则方程化为这是一阶方程，积分后得，即，于是其中为任意常数，这就是原方程的通解。2）不显含自变量的方程 （4.59）我们指出，若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。事实上，在所作假定下，采用数学归纳法不难证明，可用表出（）。将这些表达式代入（4.59）就得到这是关于的阶方程，比原方程（4.59）低一阶。例2 求解方程。解 令，直接计算可得，于是原方程化为得到或，积分后得，即，所以（），这就是原方程的通解。例3 求数学摆的运动方程 满足初始条件：时，的解。解 令，则，这时，方程变为积分之，得到或者 （4.60）这里是任意常数。

39、用初始条件代入（4.60），得到。于是（4.60）变为将上式开方得到 （4.61）我们先讨论摆从最大的正偏离角到最大的负偏离角之间的第一次摆动的情况，这时，（4.61）的右端取负号，得到 （4.62）将方程（4.62）分离变量，然后积分，并计及初始条件即得 （4.63）令则（4.63）可些写为 （4.64）这里是代表摆从最大正偏离角第一次到达所需的时间。经过的时间，摆到达最大负偏离角的位置，然后，摆又开始向右端运动，这时，（4.62）式已不能描述摆的运动了。故所得的解（4.64）只适用于的区间。对于之后的一段时间（4.61）的右端取正号，得到方程积分之，并注意到此时初始条件为使，得到 （4.6

40、5）再注意到可将（4.65）写为 （4.66）当上，摆又回复到，然后又向左端运动。（4.66）在区间上适用。在区间上摆的运动又由方程（4.62）描述。摆在和之间作周期性的摆动。所以，我们只需就区间讨论摆的运动已足够了。摆从到的摆动情况由方程（4.64）描述；而摆从再到的摆动情况由方程（4.66）描述。积分是不能用初等函数表示出来的，这是一个椭圆积分。我们可将这里得到的结果与前面用近似所得的线性方程的结果作一个比较，就知此处非线性的情形比线性化了的情形复杂得多了。3）齐线性方程 （4.2）我们知道，方程（4.2）的求解问题归结为寻求方程的个线性无关的特解，但如何求这些特解呢？没有普通的方法可循。

41、这是与常系数线性方程的 极大差异之处。但是我们指出，如果知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶；或者更一般地，若知道方程的个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低阶，并且新得到的 阶方程也是齐线性的。事实上，设是方程（4.2）的个线性无关7，显然不恒等于0，。令，直接计算可得将这些关系式代入（4.2），得到这是关于的阶方程，且各项系数是的已知函数，而的系数恒等于零，因为是（4.2）的解。因此，如果引入新未知函数，并在的区间上用除方程的各项，我们便得到形状如 （4.67）的阶齐线性方程。方程（4.67）的解与（4.2）的解之间的关系，由以上变换知道为，或。因此，对于

42、方程（4.67），我们就知道它的个线性无关解，。事实上，是方程（4.67）的解，这一点是显然的。假设这个解之间存在关系式或 其中是常数，那么，就有或由于线性无关，故必有。这就是说是线性无关的。因此，若对方程（4.67）仿一上做法，令，则可将方程化为关于的阶齐线性方程 （4.68）并且还知道方程（4.68）的个线性无关解：，由上面的讨论我们看到，利用个线性无关特解当中的一个解，可以把方程（4.2）降低一阶，成为阶齐线性方程（4.67），并且知道它的个线性无关解；而利用两个线性无关解，则可以把方程（4.2）降低两阶，成为阶齐线性方程（4.68），同时知道它的个线性无关解。依次类推，继续上面的做法，

43、若利用了方程的个线性无关解，则最后我们就得到一个阶齐线性方程。这就是说把方程（4.2）降低了阶。特别地，对于二阶齐线性方程，如果知道它的一个非零解，则方程的求解问题就解决了。事实上，设是二阶齐线性方程 （4.69）的解，则由上面讨论知道，经变换后，方程就化为这是一阶线性方程。解之得因而 （4.70）这里是任意常数。取，我们得到方程（4.69）的一个特解它与显然是线性无关的，因为它们之比不等于常数（见习题4.1第1题）。于是，表达式（4.70）是(4.69)的通解，它包括了方程（4.69）的所有解。例4 已知是方程的解，试求方程的通解。解 这里 ，由（4.70）得到其中是任意常数，这就是方程的通解。4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法例5 求方程的满足初始条件的解。解 设 （4.71）为方程的解，这里是待定常数，由此我们有将的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到：，以及，就有，利用数学归纳法可以推得，一般地，代入（4.71）得这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解，而由条件确定常数，即得方程的解为。例6 求解方程，。解 同上例一样，以（4.71）形式上代入2方程并比较的同次幂的系数，这时将有，因为不可能找到有限的，故方程没有形如（4.71）的解，事实上，直接解方程，可得通解为但若令，那么就将上述