微积分在积分不等式证明中的应用

1、13届分类号: 单位代码:10452毕业论文（设计）微积分在积分不等式证明中的应用2013年3月20日摘要不等式是数学研究的一个基本问题,是初等数学的重要内容.积分不等式是含有未知函数积分的不等式，是不等式的一个重要类型.微积分是高等数学的核心，微积分思想方法是高等数学乃至整个数学的典型方法.微积分思想方法的引入可以为解决积分不等式证明的难题找到了突破口.本文在归纳和总结了几种的证明积分不等式的方法，主要是利用Lagrange中值定理、Taylor公式、函数的单调性、函数的凹凸性一些微分知识和定积分的性质、Schwarz不等式、重积分法、积分中值定理一些积分知识探究了积分不等式的证明方法这些方

2、法突出了微积分的基本思想和基本方法，运用这些方法和技巧能够使积分不等式的求解过程更为简单.关键词：微积分；积分不等式；证明方法；应用ABSTRACTInequality is a fundamental problem in the study of mathematics,and the important content of Elementary Mathematics.Integral inequality,one of the important inequality,contains integral with unknown functions. Calculusis the h

3、eart of higher mathematics, whose thought and method are the typical means to solve the problem in higher mathematics and even the whole mathematics.Calculus thought is introduced tofound the breakthrough to solve the problem of integral inequalitys proof.The paper concludes and summarizes some comm

4、on methods relatedto prove integral inequality,which are based on some knowledge about differential such as Lagrange mean value theorem,Taylor formula,properties of function,and some knowledge about integral, for instance ,integral quality, Schwarz inequality,integral method and the integral mean va

5、lue theorem.These methods highlight the basic idea and method of the differential and integral calculus, which make the computation of integral inequality easier.Key words: calculus; integral inequality; the method of proof;application目录1 引言12 预备知识12.1 微分的基本概念及运算法则12.2 定积分的基本概念及性质22.3 积分不等式33 微积分在积分

6、不等式中的应用43.1 微分证明积分不等式43.2积分证明积分不等式11结论18参考文献19致谢201 引言微积分是数学中的重要部分，是微分学和积分学的总称.微积分是一种比较深刻的数学思想，是研究函数的性质，证明不等式，求曲线的斜率的常用工具微积分的应用为解决很多数学问题提供了新的方法.积分不等式的证明方法有很多，微积分在不等式证明中也发挥着至关重要的作用，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决很多积分不等式证明问题的关键本文在微积分知识的基础之上，归纳和总结了几种的证明积分不等式的方法，主要是利用Lagrange中值定理、Taylor公式、函数的单调性、函数的凹凸性、定积分的性质、Schwa

7、rz不等式、重积分法、积分中值定理探究积分不等式的证明方法这些方法突出了微积分的基本思想和基本方法，运用这些方法和技巧能够使积分不等式的求解过程更为简单突出了微积分的基本思想和基本方法，运用这些方法和技巧能够使积分不等式的求解过程更为简单 2 预备知识2.1微分的基本概念及运算法则定义2.1.17设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量仍在该邻域内，相应地函数有增量，如果与之比当时，极限存在，那么这个极限值称为函数在点的导数，并且说，函数在点处可导，记作，即如果极限不存在，就说函数在点处不可导如果固定，令，则当时，有，故函数在处的导数也可表示为设函数与在点处可导,则有如下求导法则:(1

8、)；(2)；(3)（）特别地,当(为常数)时,有定义2.1.27 若函数在点处的改变量可以表示成，其中为比高阶无穷小，则称函数在点处可微，并称其线性主部为函数在点处的微分，记为或，即且有，这样因为函数的微分等于导数乘以，所以根据导数的运算法则，就能得到相应的微分运算法则若函数与可微，则(1)，其中是常数；(2)；(3)；(4).2.2定积分的基本概念及性质定义10设函数在上有定义,任取分点，分为个小区间记.再在每个区间上任取一点，作乘积的和式：，如果时，上述极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为，其中称为被积函数，为被积式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分的下限和上限从定积分的

9、定义出发可得如下的性质性质10若与在闭区间上可积,若，则.性质2.2.210若在在上可积，则在上也可积，且.性质2.2.310若，则.引理2.2.110 设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有(2.2.1)公式(2.2.1)叫做牛顿-莱布尼茨公式2.3积分不等式不等式是数学中的重要内容之一，是求解许多数学问题的有效工具。积分不等式是含有未知函数积分的不等式，是不等式的一个重要类型。积分不等式除了能用来解决一些关于不等量的实际问题，对研究函数的定义域和值域也有广泛的应用考虑齐次变系数线性微分方程组， （）其中X是n维向量，是上的阶连续的矩阵函数。尽管这个微分方程组求解十分困难，但是可以做

10、到下面的估计。由（）可以推出不等式， （）从这个不等式可以得到方程（）的解的模的估计.不等式（）就是积分不等式的最基本的形式.3 微积分在积分不等式中的应用不等式是数量之间大小的比较，而通过比较可以显示出变量变化之间相互制约的关系因此，从某种意义上来讲, 积分不等式也不例外.在数学分析中积分比等式的尤为重要许多的积分不等式在数学分析中都起到了至关重要的作用所以对积分不等式的研究无论是实际应用，还是理论分析都有重要的意义3.1微分证明积分不等式微分在积分不等式中的应用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极值、最值、凸函数法等来证明积分不等式以下对这些方法分别做详细的介绍.3.1.1L

11、agrange中值定理证明积分不等式引理.110(Lagrange中值定理) 如果函数，满足下列条件:(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在区间内至少存在一点，使得由于在之间，因此将有一个取值范围，即有一个取值范围，这样就得到了一个不等式因此，可利用在区间内的特点证明积分不等式例.1 若函数在上具有连续的导数，且.试证明.证由于 ，记.由Lagrange中值定理知，其中，.，其中，.因此；.从而，即.例.2 设函数在上具有连续的导数，且，证明：.证 由Lagrange中值定理知，其中；，其中.所以；.因此 .例.3 设在上可导，且，求证：.证 由Lagrange中值定理知.其中又，故

12、.则.3.1.2Taylor公式证明积分不等式引理.110(Taylor中值定理） 如果函数中含有的某个开区间内具有直到阶的导数，对意有 （.1）其中， （.2）这里是与之间的某个值公式（.1）称为按的幂展开的带有Lagrange型余项的阶Taylor公式，而表达式（）称为Lagrange型余项利用泰勒公式证明积分不等式的一般方法是将函数在所给区间的端点或特定点（如区间的中点、零点）展开，通过分析余项在点的性质，从而得到结果例.1 设函数在上具有连续的二阶导数，,令，证明.证 对，由Taylor公式知注意到，因此有，移项，整理得.例.2 设函数在上具有连续的二阶导数，且，证明：.

13、证由Taylor公式知，对，将在处展开，得，.由 ，有.故命题成立.例.3 设函数在上具有二阶连续的导数，且，记，试证明：.证 将在点Taylor展开，并注意到.得，因此.故.3.1.3函数的单调性证明积分不等式单调函数是一类很重要的函数，常在积分不等式证明中使用，运用导数可以判断出函数的单调性.引理10设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内，那么函数在上单调递增；（2）如果在内，那么函数在上单调递减.利用函数的增减性证明积分不等式的步骤为：（1）通过恒等变换(形)构造合适的辅助函数（构造辅助函数一般的方法是，直接将不等号右端项移至不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求的辅

14、助函数）；（2）求在所给区间上的一阶导数，然后判别一阶导数在此区间上的符号；（3）有时需要求在所给区间端点的函数值或极限，以便作出比较，即可得到所要证明的结果例 设在上连续，且单调递减，.求证对满足的任何，有.证令，由题意可知.因此在上单调递增，从而.即.例.2设在上连续，且单调递增，证明证构造辅助函数，显然，对任意的，有，其中因为单调递增，则，故单调递增，因此.故例.3 设，和它们的平方在区间上可积，证明不等式（Schwarz不等式）.证 构造函数令，则当时，.于是可知单调不减，又，所以.即得证.3.1.4函数凹凸性证明积分不等式定义10设在区间上有定义,若对上的

15、任意任意两点和任意实数恒有，则称在上是凸函数.反之，如果总有，则称在上是凹函数如果函数在内具有二阶导数,那么就能利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.下面就是曲线凹凸性的判定定理.引理10 设在区间上二阶可导,那么(1)若在上,则在上为凸函数；(2)若在上,则在上为凹函数.例 设是上连续的凸函数，即对,，及，有.试证明：.证.从而得左不等式，下证右不等式，有，从而 .两边积分得.于是得右不等式.故命题成立.3.2 积分证明积分不等式3.2.1定积分性质证明积分不等式运用定积分的性质证明积分不等式是比较简单的做法，在解某些积分不等式时，能得出良好的结果例.1 若函数在

16、上连续，且，求证：.证将区间进行n等分，并设，.于是， .利用在是凹函数，则.即 .由假设条件知，与在上都连续，因此可积，在上式中令，则由定积分定义及的连续性可得：.故.例.2 已知在上连续，对任意的x,y都有.求证：证 由于 因此.故命题成立.不等式证明积分不等式引理.111（Schwarz不等式）若函数在区间上皆可积，则.例.1 设函数在上连续，且，试证明：.证由Schwarz不等式知，.同理可得.因此 .例.2设，试证明：.证作变换，则.由Schwarz不等式可得.故结论成立.例.3 试证明：.证 由Schwarz不等式得.即积分不等式的右半边为真.下证积分不等式的左半边为真.因为，所以

17、，积分便得.综上，命题得证.3.2.3 重积分证明积分不等式当积分不等式中出现两个积分，可以将两个积分的积分变量换成不同符号，即化为二重积分，从而再求出结果.例.1 设在上连续，且，证明：.证 记,且,两式相加，得，其中，即.例.2设函数是上单调递减且恒大于0的连续函数，求证：.证 令同理 两边相加整理得：.由于且在上单调递减，因此，从而 ，故命题得证.3.2.4积分中值定理证明积分不等式引理.111（积分第一中值定理） 若在上连续，则至少存在一点，使得.引理.211（推广的积分第一中值定理） 若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得.引理.311（积分第二中值定理） 设函数在上可积

18、.（i）若函数在上递减，且，则存在，使得；（ii）若函数在上递增，且，则存在，使得.引理.411（推广的积分第二中值定理） 设函数在上可积.若为单调函数，则存在，使得.例.1 设在上连续且单调递增，求证：.证1（推广的积分第一中值定理）因为.又，其中，.故 .证2（推广的积分第二中值定理）因为单调，由积分第二中值定理得,其中.而 ,.又因为单调递增，故.例.2设函数在上有定义，而且单调不减，证明：对于任何有.证（推广的积分第一中值定理）对任意，由，得.函数在上有定义，且单调不减，即是说在连续.从而,其中，再在上有定义，且单调不减，而，于是，即.结 论积分不等式是数学中的重要内容之一，论证积分不

19、等式的方法很多，利用微积分的思想证明积分不等式, 可使积分不等式的证明过程大大简化, 技巧性降低；同时能够体现高等数学对初等数学的指导作用本文着重介绍用微积分知识证明积分不等式的几种常用方法，常见的方法有Lagrange中值定理，Taylor公式，函数的单调性，函数的凹凸性，定积分的性质，Schwarz不等式,重积分法，积分中值定理这些方法能够使积分不等式的证明思路变得简单，从而利于问题的求解参 考 文 献1Wilfred Kaplan.Advanced CalculusM. (Fifth Edition)China:Publishing House ofElectronics Industry,2004.2JamesStewart.CalculusM. (Fifth Edition)China:Higher Education Press,2004.3Marvin L.Bittinger.Calculus and Its ApplicationsJ.China Machine Press,2006,19:135-145.4PCalabrese. Calculus and Its Applications J.AmerMathMonthly,1999,20:215-217.