第四章第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例

1、抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例讲正弦定理和余弦定理的应用举例抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等海问题、物理问题等(1)仰角和俯角仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线角，目标视线在水平视线_的角叫仰角，目标视线在的角叫仰角，目标视线在水平视线水平视线_的角叫俯角的角叫俯角

2、(如图如图)1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型2实际问题中的常用角实际问题中的常用角上方上方下方下方抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北，北偏西偏西45，西偏北，西偏北60等；等；(3)方位角方位角指从正北方向指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如转到目标方向线的水平角，如B点的点的方位角为方位角为(如图如图)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数顺时针顺时针抓住抓住2个考点个考点突破突

3、破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解三角形应用题的一般步骤解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系侧重考查从实际问题中提炼知，理清量与量之间的关系侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力数学问题的能力(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单

4、位问题、近似计算的要求等单位问题、近似计算的要求等【助学助学微博微博】抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解三角形应用题常有以下两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其

5、他三角形，有时需设出未知的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程量，从几个三角形中列出方程(组组)，解方程，解方程(组组)得出所要得出所要求的解求的解抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012江苏金陵中学江苏金陵中学)已知已知ABC的一个内角为的一个内角为120，并且三边长构成公差为并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积的等差数列，则三角形的面积等于等于_考点自测考点自测抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2若海上有若海上有A，B，C三个小岛，测得三个小岛，测得A，B两岛相距两岛相距1

6、0海海里，里，BAC60，ABC75，则，则B，C间的距离间的距离是是_海里海里抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2013日照调研日照调研)如图，一船如图，一船自西向东匀速航行，上午自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔时到达一座灯塔P的南偏西的南偏西75距塔距塔68海里的海里的M处，下午处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速处，则这只船的航行速度为度为_海里海里/时时抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案等边三角形等边三角形抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭

7、秘3年高考年高考答案答案4抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】如图所示，如图所示，A、B、C、D都在都在同一个与水平面垂直的平面内，同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面船于水面A处测得处测得B点和点和D点的仰角点的仰角分别为分别为75，30，于水面，于水面C处测得处测得B点和点和D点的仰角均为点的仰角均为60，AC0.1km.考向一考向一测量距离问题测量距离问题(1)求证：求证：ABBD；(2)求求BD.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)证明证明在在ACD

8、中，中，DAC30，ADC60DAC30，所以，所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底边底边AD的中垂线，所以的中垂线，所以BDBA.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解型的解(3)应用题要注意作答应用题要注意作答抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭

9、秘揭秘3年高考年高考ADB45(A，B，C，D在同一平面内在同一平面内)，求两目标，求两目标A，B之间的距离之间的距离抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】(2010江苏江苏)某兴趣小组要测量某兴趣小组要测量电视塔电视塔AE的高度的高度H(单位：单位：m)如图所如图所示，垂直放置的标杆示，垂直放置的标杆BC的高度的高度h4m，仰角，仰角ABE，ADE.考向二考向二测量高度问题测量高度问题(1)该小组已测得一组该小组已测得一组、的值，算出了的值，算出了tan1.24，tan1.20，请据此算出

10、，请据此算出H的值；的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离电视塔的距离d(单位：单位：m)，使，使与与之差较大，可以提高之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为测量精度若电视塔的实际高度为125m，试问，试问d为多少为多少时，时，最大？最大？抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考因此，算出的电视塔的高度因此，算出的电视塔的高度H是是124m.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法

11、总结(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析分清已知和待求，分析(画出画出)示意图，明确在哪个三角示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理形应用正、余弦定理(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练2】如图所示，测量河对岸的塔如图所示，测量河对岸的塔高高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同一水平在同一水平面内的两个测点面内的两个测点C与与D，现测得，现测得BCD，BDC，CDs，并在点，并在点C测测得塔顶得塔顶A的

12、仰角为的仰角为，求塔高，求塔高AB.抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题运用正、余弦定理解决航海应用问题抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结用解三角形知识解决实际问题的步骤：用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三第二步：将有关

13、条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中角形中第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形第四步：将所得结果转化为实际问题的结果第四步：将所得结果转化为实际问题的结果抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练3】(2013广州二测广州二测)如图，渔船如图，渔船甲位于岛屿甲位于岛屿A的南偏西的南偏西60方向的方向的B处，且与岛屿处，且与岛屿A相距相距12海里，渔船乙海里，渔船乙以以10海里海里/时的速度从岛屿时的速度从岛屿A出发沿正出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从北方向航行，若渔船甲同时从B处出处出发沿北偏东发沿北偏东的方

14、向追赶渔船乙，刚的方向追赶渔船乙，刚好用好用2小时追上，此时到达小时追上，此时到达C处处(1)求渔船甲的速度；求渔船甲的速度；(2)求求sin的值的值抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些

15、三角形中的已知数据把测量因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中目标归入到一个可解三角形中规范解答规范解答8如何运用解三角形知识解决实际问题如何运用解三角形知识解决实际问题抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题路线图审题路线图(1)分清已知条件和未知条件分清已知条件和未知条件(待求待求)(2)将问题集中到一个三角形中将问题集中到一个三角形中(3)利用正、余弦定理求利用正、余弦定理求解解抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个

16、考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考点评点评三角形应用题常见的类型：三角形应用题常见的类型：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理理抓住抓住2个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012四川卷改编四川卷改编)如图，正方如图，正方形形ABCD的边长为的边长为1，延长，延长BA至至E，使，使AE1，连结，连结EC、ED，则，则sinCED_.高考经典题组训练高考经典题