投资模型的数学理论与经济学分析

1、投资模型的数学理论与经济学分析1 经济增长模型中的道格拉斯函数 公司或企业部门的经济发展是主要是提高生产力水平，扩大生产规模，合理利用生产资源，尽可能实现生产效益的最大化。提高生产力水平主要靠三个技术指标：投资额的不断提高，劳动力的数量与能力的提高以及技术水平的改进与提高。美国经济学家道格拉斯（Douglas）用这三个指标构造了反映经济增长水平的道格拉斯生产函数。现讨论生产函数的推导问题。 用分别表示所研究地区或企业部门的经济生产总值、投资资金总额和劳动力规模。生产总值依赖于投资额，劳动力规模与技术水平，因此可以假设具有函数关系。其中是这个时期的技术水平，通常可认为内的某确定常数。设关于具有足

2、够阶可微，则有展开式： 于是有线性近似：因此得到生产投资的Cobb-Douglas数学模型 （1）这是一个一阶拟线性偏微分方程，特征方程为 （2）两个首次积分为 （3）于是（1）的通解为，为二元连续可微函数。 这里，表示单位劳动力的产值，表示单位劳动力的投资资金。显然，生产函数关于都应该是增函数（人多力量大，钱多好办事！），但增加的速度不能太快也不可能无限增大（否则，人太多会浪费，也会有不必要的负担，资金太多也是一种闲置！），因此，应该有 ， （4） 根据上面讨论和（4）的要求，选取，为待定常数，将代入通解表示式得 （5）当时它刚好满足（4），这就是经济增长模型的著名Douglas生产函数。

3、另一方面，令代入（1），得到 （6）显然，当，时，（6）式恒成立。于是，可取， （7）从而有 ， （8）这个结果与（5）一致。而如果令代入（1），得到 （9）显然，当，时，（6）式恒成立。于是，可取， （10）从而有 ， （11）这个结果与（8）在本质上也是一致的。投资模型所描述的偏微分方程（1）的形如（8）的解是满足Douglas生产函数假设条件下的具有任意阶精度的解。事实上，有定理1 形如的二元函数具有性质 （12）其中为形式组合数。证明 对用数学归纳法证明 首先，当时，有 ，这样，（12）式对成立。其次，假设对任意形如的二元函数，都有（12）式对成立，即。现在，考虑当时的情形： 。 （1

4、3）注意到，都是与具有相同的形式，于是对它们应用前面的归纳假设，（13）式变为， （14）再注意到，所以 （15）即（12）式对亦成立。于是，利用数学归纳法原理，（12）式对都成立。推论1 形如的二元函数当，时，具有性质 （16）证明 根据定理结论和形式组合数以下特征可知当，和时，总有，。因而（16）式成立。推论2 形如的二元函数当，时，在处的泰勒级数展式为 （17）证明 由二元函数泰勒级数展开公式和推论1得到。结合推论2和投资模型所描述的偏微分方程（1），可知形如（8）的二元函数是满足Douglas生产函数假设条件下的具有任意阶精度的解。这个结果充分揭示了Douglas生产函数的无比正确性和

5、合理性。对于研究多种生产模式的产值模型。有假设某集团公司由个子公司组成，第个子公司的设备和资产权重、资金总额、职工总数、生产总值分别为。而资产在产值中所占份额为，职工在产值中所占份额为，。考虑该集团公司在Douglas生产函数假设下总产值的计算问题。定理2 集团公司在Douglas生产函数假设下总产值， （18）2 参数的经济学意义与确定方法 对的道格拉斯生产函数，仍然满足（1），即，于是， （19）容易验证，因此，参数的经济学意义是资金投资在产值中占有的比重，而是劳动力在产值中占有的比重，的大小直接反映了资金与劳动力对创造产值的权重大小。而分别表示资金投资改变对产值的变化率（影响程度），劳动

6、力的改变对产值的变化率（影响程度）。通常，现实问题的道格拉斯生产函数中的参数是未知的，它需要用的实际数据来推测出来的。建议用以下两种方法来实现参数的确定问题：（1） 投资产值比重均值法 根据的经济学意义和，对实际数据，用代替，即。如果有数据 ，可以计算 ， （20）对由（20）确定的中满足的数组取平均值作为值，或者对中满足且比较接近的那些数的数组取平均值作为值。（2） 对数数据拟合系数法 对道格拉斯生产函数作对数处理，得到, （21）由此可知，是和的凸线性组合（即线性组合系数为正且和为1）。于是，如果有数据 ，可以构造三维点列，用此三维数组进行数据拟合找出函数关系，如果并且，则把作为该实际问题

7、的道格拉斯生产函数中的参数值。当然，也可以把作为该实际问题的一般形式的道格拉斯生产函数中的参数值。现以我国某城市1993-2011年三个经济指数的模拟统计数据为例（见下表），说明形如的Douglas生产函数中参数的确定与数据模拟问题。我国某城市经济统计模拟数据表（注单位为千亿元，单位为百万人）年份t产值 Q投资 K劳动力L年份t产值 Q投资 K劳动力L19930.2680.0914.81820032.4531.7046.74619940.5490.2544.98720042.7682.0026.80719950.6530.3125.12820053.0682.2916.89519960.761

8、0.3795.27820063.2762.4946.98219970.9060.4755.43620073.6162.8417.06419980.8620.4415.53320083.7612.9857.13919990.9140.4526.47520094.0513.2927.20920001.0730.5596.54920104.4583.7317.30320011.4180.8086.61520115.1334.3507.37420022.0141.3076.68120124.6527.653问题求解 （1）首先用投资产值比重均值方法来确定参数值。这里，按照所给数据和（20）式，可以计算

9、出：0.585363, 0.678483, 0.680583, 0.717613, 0.721825, 0.734288, 0.734862, 0.745937, 0.749723, 0.750795, 0.752231, 0.753403, 0.765133, 0.770177, 0.791131, 0.829596, 0.912637, 2.41848这组数据除最后的2.41848外均为01之间的数，取它们的平均值得到0.745516，所以可以选择作为该城市Douglas生产函数的参数值。同时，注意到上面的计算数据很多都在0.710.792之间，所以取其中的数组0.717613, 0.72

10、1825, 0.734288, 0.734862, 0.745937, 0.749723, 0.750795, 0.752231, 0.753403, 0.765133, 0.770177, 0.791131的平均值得到0.748927，所以可以选择作为该城市Douglas生产函数的参数值。（2）再用对数数据拟合系数方法来确定参数值。这里，按照所给数据，编写符号运算程序：q = 0.268, 0.549, 0.653, 0.761, 0.906, 0.862, 0.914, 1.073, 1.418, 2.014, 2.453, 2.768, 3.068, 3.276, 3.616, 3.76

11、1, 4.051, 4.458, 5.133;k = 0.091, 0.254, 0.312, 0.379, 0.475, 0.441, 0.452, 0.559, 0.808, 1.307, 1.704, 2.002, 2.291, 2.494, 2.841, 2.985, 3.292, 3.731, 4.350;l = 4.818, 4.987, 5.128, 5.278, 5.436, 5.533, 6.475, 6.549, 6.615, 6.681, 6.746, 6.807, 6.895, 6.982, 7.064, 7.139, 7.209, 7.303, 7.374;f = L

12、ogq;g = Logk;h = Logl;y = Tablegi, hi, fi, i, 19;Fity, s, t, s, t运行后得到结果：0.734806 s + 0.266007 t，于是有，并且。所以把作为该实际问题的道格拉斯生产函数中的参数值。最后，根据上面求得参数的三个近似值，我们按照投资与劳动力来模拟产值数据及误差分析比较（见下表）。参数值对该城市经济统计模拟数据的计算数据比较分析表年份t产值 Q投资 K劳力L产值 产值 产值 误差率%19930.2680.0914.8180.2498930.2465440.2607352.710719940.5490.2544.9870.5

13、418810.5364230.5594211.8981919950.6530.3125.1280.6361710.6301450.6555160.38523219960.7610.3795.2780.7408730.7342690.76204909060.4755.4360.8832910.8760010.9066310.06964919980.8620.4415.5330.8394840.8322950.8625150.059742219990.9140.4526.4750.8899510.8819330.91566500730.5596.

14、5491.045711.0371.073610.057139320011.4180.8086.6151.379751.369921.411140.48371620022.0141.3076.6811.979731.968782.014590.0294320032.4531.7046.7462.418542.407252.454410.057441920042.7682.0026.8072.733562.722212.769590.057484520053.0682.2916.8953.032533.021193.06850.016204320063.2762.4946.9823.2413.22

15、9683.27690.027421220073.6162.8417.0643.582173.571093.617250.034656220083.7612.9857.1393.726683.715643.761610.01621120094.0513.2927.2094.018794.00814.052640.040463320104.4583.7317.3034.426464.416374.458390.0086750820115.1334.3507.3744.975364.966445.003532.5222520124.6527.653其中单位为千亿元，单位为百万人，误差率是对应计算产值

16、与模拟数据产值的误差率（按公式计算）。可以看出大部分的计算是很接近的。如果计算相应误差率可以发现误差率多在1.06%8.02%之间，因此，对数数据拟合系数方法的计算结果远比投资产值比重均值方法精确得多。但是，如果运行符号运算程序：h = ListPlotq, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, PlotStyle -> Hue0.95h1 = ListPlotq1, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity,PlotStyle -> Hue0.

17、4h2 = ListPlotq2, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, lotStyle -> Hue0.6h3 = ListPlotq3, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity, PlotStyle -> Hue0.8ShowGraphicsArrayh, h1, h2, h3, DisplayFunction -> $DisplayFunctionShowh, h1, h2, h3, DisplayFunction -> $

18、DisplayFunction即把数据表中的的四组数据同时拟合图形的话，它们是十分相近的（见下图所示）。把它们在同一坐标系绘制，可以发现四条曲线几乎重合（见下图所示）。这样，一旦拥有了某个企业、城市、省份、甚至国家的产值、资金和劳动力这三个经济指标数据，就可以适当选取上述方法来确定出道格拉斯生产函数中的参数（近似）值，从而可以模拟计算某个节点的产值。例如对模拟数据表中的2012年投资与劳力数据和，就可以预测出该城市2012年的产值约为5.28032千亿元。顺便指出，对的道格拉斯生产函数，上面的讨论和例子仍然可以实现。3 资金与劳动力的优化问题 道格拉斯生产函数中的投资与劳动力对的贡献通常不是等

19、效的，并不是越多越大。因此有一个如何取适当值时最大的问题，即生产效益最大化问题。这个问题与投资资金的回报以及劳动报酬密切相关，现假设投资资金是贷款，每年需要支付其贷款的利息，利率为，而个体劳动力平均工资水平为，于是生产效益函数为 （22）要使这个生产函数在取得最大，则有，即 ，也就是， 所以有，因此有 （23）根据（23）式结果，可以知道，当投资资金与劳动的比重依照分配时，可以使得生产效益最大化。作为人力资源部门，应该根据这个准则来制订投资计划、劳动编制、平均工资标准等。4 劳动生产率增长问题 用分别表示所研究地区或企业部门的时间时的经济生产总值、投资资金总额和劳动力规模。按照上面讨论，为内的

20、某个常数，为投资资金与劳动的比重的关系参数。注意到 ，这里，分别表示时刻的单位劳动力的生产产值，时刻的单位劳动力的投资资金。于是， （24）反映了单位劳动力的投资资金与单位劳动产值的关系。通常，称为劳动生产率，称为劳动投资率。相应地，称为产值增长率，称为投资增长率，称为劳动增长率。为研究劳动生产率与产值增长率等之间的关系，进一步假设：（1） 投资增长率与经济总产值成正比，为比例系数，即 （2） 劳动增长率以比例系数来刻画，表示劳动力数量增加，表示劳动力数量减少或不变。即 根据（24）及含义，和上面假设，可以得到投资增长与劳动力变化的数学模型： （25）由此求出 （26）于是， （27） ， （

21、28）。 （29）由（27）（29）可以分别讨论产值增长率、劳动生产率、劳动投资率的增长问题。为此，将（27）（29）改写为，（30）， （31）。 （32）容易知道，增长分别等价于增长，分别等价于关于的导数大于0，而。所以有下面进一步讨论结果。（1）产值增长的条件 此时根据（30）式可以知道，需要，而，所以应有， （33）这里，为最初的单位劳动力投资，显然远远大于1。而，。当时，通常，因此总成立，即（33）式在任何时刻总能实现，也就是说，在劳动力数量增加时，劳动总产值总是增长的；当时，即（33）式也成立，也就是说，在劳动力数量不变时，劳动总产值也可以保持继续增长；当时，是时间的单调减函数，由

22、解得，于是，当时，（33）式总不成立，劳动总产值在任意时刻总是衰减的，这就是说要提高产值，必须增加劳动力数量；当时，在有限时间内，（33）式可以成立，也就是说，在劳动力数量减小时，劳动总产值在有限时间区间内可以保持增长的。当时间时，（33）式不成立，也就是说，在劳动力数量减小时，劳动总产值在有限时间区间后必然出现衰减，这就是说，在后必须增加劳动力数量，才可以避免生产总产值的下滑趋势。（2）单位劳动产值增长的条件 此时根据（31），（32）式知道，需要，而 。这里，为最初的单位劳动力投资，显然远远大于1。而，。所以应有，即，注意到，所以。这表明，单位劳动产值增长的条件是劳动力增长率要小于投资增长

23、率。如果投资增长速度放慢，劳动力增长也要放慢。投资放慢说明经济状态不好（经济危机的信号！），此时的就业压力大，失业率上升，这与现实经济生活中真实情况是完全吻合的。5 道格拉斯函数的注记 道格拉斯生产函数是计量经济学中最主要的数学模型。应当指出，道格拉斯生产函数，并不是满足（1），（4）的唯一表示形式。事实上，选取，为待定常数，将代入（1）的通解表示式得 ，当，时，不仅也刚好满足（4），而且， （34）当时是（18）式的特殊情形，因此是更广泛意义的经济增长模型，不妨称为广义Douglas生产函数。例如，对前面讨论的某城市经济统计模拟数据的例子。用，来拟合形如的生产产值的预测函数。运行符号运算：q

24、 = 0.268, 0.549, 0.653, 0.761, 0.906, 0.862, 0.914, 1.073, 1.418, 2.014, 2.453, 2.768, 3.068, 3.276, 3.616, 3.761, 4.051, 4.458, 5.133;k = 0.091, 0.254, 0.312, 0.379, 0.475, 0.441, 0.452, 0.559, 0.808, 1.307, 1.704, 2.002, 2.291, 2.494, 2.841, 2.985, 3.292, 3.731, 4.350;l = 4.818, 4.987, 5.128, 5.27

25、8, 5.436, 5.533, 6.475, 6.549, 6.615, 6.681, 6.746, 6.807, 6.895, 6.982, 7.064, 7.139, 7.209, 7.303, 7.374;y = Tableki, li, qi, i, 19;Fity, s0.7455*t(1 - 0.7455), s0.7348*t(1 - 0.7348), s, t得到结果：0.9911647770827514s0.7455t0.2545+ 0.0234690764651333s0.7348 t0.2652于是得到广义Douglas生产函数 （35）按照此产值预测函数可以得到新的由投资与劳动力数据模拟产值数据及误差分析比较（见下表）。按（35）式对该城市经济统计模拟数据的计算数据比较分析表年份t产值 Q投资 K劳力L按（35）式模拟产值 误差率%19930.2680.0914.8180.2538225.290419940.5490.2544.9870.5502590.22923719950.6530.3125.1280.6459781.0754219960.7610.3795.2780.7522621.1482519970.9060.4755.4360.8968241.0