排列组合 古典概型—复习归纳教师

1、1已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ()A0.35B0.25 C0.20 D0.15解析：20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、

2、271、932、812、393五组，其概率为0.25.2(2010·北京高考)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是 ()A. B.C. D.解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足ba的有3种取法，故所求事件的概率为P.3先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy1的概率为 ()A. B.C. D.解析：抛掷2枚骰子，共有6×636种情况，因为log2xy1，所以y2x，此时满足题意的数对(x，y)共有

3、(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率P.4(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.5.学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_解析：每人用餐有两种情况，故共有238种情况他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为.1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的(2)任何事件(除

4、不可能事件)都可以表示成 的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型(1)试验中所有可能出现的基本事件 (2)每个基本事件出现的可能性 3古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A) .考点一简单古典概型的概率有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数(1)写出试验的基本事件；(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率；(3)

5、求事件“出现点数相等”的概率自主解答(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)故P.(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)故P.某口袋内装有大小相同的5

6、只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件摸到1,2号球用(1,2)表示：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)因此，共有10个基本事件(2) 如图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A).(3) 故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为.考点二复杂的古典概型(2

7、011·苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；(3)求甲、乙两人相遇的概率自主解答(1)甲经过A2，可分为两步：第一步，甲从M到A2的方法有C种；第二步，甲从A2到N的方法有C种所以甲经过A2到达N处的方法有(C)29种(2)由(1)知，甲经过A2的方法数为9；乙经过A2的方法数也为9.

8、所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为9×981；甲、乙两人在A2处相遇的概率为.(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai(i1,2,3,4)处相遇的走法有(C)4种方法，所以(C)4(C)4(C)4(C)4164，故甲、乙两人相遇的概率为.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率解：(1)由于甲、乙

9、两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A).(3)Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i0,1,2.Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j0,1,2.B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人Ai与Bj独立，i，j0,1,2，且BA0·B2A1·B1A2·B0.故P(B)P(A0·B2A·B1A2·B0)P(A0) ·P(B2)P(A1) ·P(B1)P(A2

10、) ·P(B0)···.现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率解：从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其所有可能的结果组成的基本事件空间(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1

11、)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的(1)用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件M由6个基本事件组成，因而P(M).(2) 用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1

12、)，(A3，B1，C1)，事件有3个基本事件组成，所以P().(3) 由对立事件的概率公式P(N)1P()1.考点三古典概型与统计的综合问题(2010·湖南高考)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率自主解答(1)由题意可得，所以x1，y3.(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件

13、有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种因此P(X).故选中的2人都来自高校C的概率为.某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表： 年级性别高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？(2)已知y245，z245，

14、求高三年级女生比男生多的概率解：(1)0.19，x380，高三年级人数为yz2000(373377380370)500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为×50012.(2)设“高三年级女生比男生多”为事件A，高三年级女生、男生数记为(y，z)由(1)知yz500，且y，zN*，则基本事件空间包含的基本事件有(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个，事件A包含的基本事件

15、有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个，P(A).故高三年级女生比男生多的概率为. 高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查古典概型概率公式的应用尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点，2010年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向考题印证(2010·福建高考)(12分)设平面向量am(m,1)，bn(2，n)，其中m，n1,2,3,4(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am(ambn)成立的(m，n)”为事件A，求事件

16、A发生的概率规范解答(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个(6分)(2)由am(ambn)得m22m1n0，即n(m1)2.(8分)由于m，n1,2,3,4，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A).(12分)1求古典概型概率的步骤(1)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m.(2)利用公式P(A)求出事件A的概

17、率2有放回抽样和无放回抽样的概率在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法(1)有放回 每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸 球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽 样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去(2)无放回 每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一 只，这种摸球方法称为无放回的抽样显然，对于无放 回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进 行有限次1(2011·黄冈模拟)设集合Pb,1，Qc,1,2，PQ，若b，c2,3,4,5,6,7,8,9，则bc的概

18、率是 ()A. B. C. D.解析：依题意得当b2时，c可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时bc；当b从3,4,5,6,7,8,9中选取时，有bc.因此，bc的概率为.2(2011·银川模拟)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数ymx3nx1在1，)上为增函数的概率是 ()A. B.C. D.解析：由题可知，函数ymx3nx1在1，)上单调递增，所以y2mx2n0在1，)上恒成立，所以2mn，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数ymx3nx1在1，)上单

19、调递增的概率为.3(2010·安徽高考)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ()A. B.C. D.解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P.4(2010·辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_解析：基本事件总数为6，所含基本事件个数为2，所以所求的概率是P.5一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是_解析：法一：设3只白免分别为b1，b2，b3,2只灰兔分别为h1，h2.则所有可能的情况是(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h