时 平面图形的面积与周长

1、年 级六年级学 科奥数版 本内容标题平面图形的面积与周长编稿老师饶老师【本讲教育信息】 教学内容：平面图形的面积与周长平面图形名称周长C面积S长方形正方形平行四边形三角形梯形圆半圆扇形平面图形的面积与周长 典型例题 例1. 有两个正方形，大正方形比小正方形的边长长4分米，大正方形比小正方形的面积大80平方分米，大、小两个正方形面积的和是多少平方分米？ 分析与解：设小正方形边长为a，并加辅助线如图，可知空白部分是由两个相等的长方形和边长为4分米的小正方形组成的，所以一个长方形面积为： 再根据长方形面积长×宽，可得小正方形边长a等于 大正方形边长等于 所以大小两个正方形面积的和是（平方分

2、米） 例2. 如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且。那么，阴影部分的面积等于_。 根据题意，如果设，则；，则（如图二） 那么 因为长方形ABCD的面积是1，则 所以 阴影部分面积 例3. 将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。 分析与解：认真观察图意，可知阴影部分的周长实际上是求两个半圆的周长加上两条实线段的长。 右边线段的长为3厘米 左边线段的长为（厘米） 大半圆周长为（厘米） 小半圆周长为：（厘米） 所以阴影部分周长为（厘米） 例4. 如图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积

3、的和是，四边形ABCD的面积是。求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是多少厘米。 分析与解：在四方形ABCD中，空白部分的面积是甲、乙、丙、丁面积之和（）的一半，即（平方厘米） （平方厘米）是阴影部分的面积，加上甲、乙、丙、丁的面积就是大正方形EFGH的面积：（平方厘米）。因为，所以正方形EFGH的边长为6厘米，周长为（厘米）。 甲、乙、丙、丁四个长方形周长是正方形EFGH周长的2倍； （厘米） 答：甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是48厘米。 例5. 把一个圆分成若干个相等的扇形，然后把圆剪开，拼成一个近似的长方形，已知拼成的长方形的周长是20.7厘米，求拼成的这个近似的长方形的面积是多少

4、？ 分析与解：解决这个问题的关键是求出长方形的长和宽的长度，而要解决这两个问题，重要的是弄清圆和拼成的近似长方形各部分之间的关系，如图，在学习圆面积时，我们把圆面积转化成长方形，它们的面积相等。 长方形的两个长相当于圆的周长，宽相当于圆的半径。 因此求出r的长度，问题就可以解决了。 先求r再求长方形面积 （厘米） 因此长方形宽厘米，长（厘米） 长方形面积（平方厘米）例6. 一块正方形的草地，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴一只羊，绳子长4米，问两只羊都能吃到草的草地面积有多大？ 分析与解：如图1，由于拴羊的绳子长4米，正方形的草地长为4米，所以一只羊能吃到草的面积正好是以树所在

5、的点为圆心，以4米长为半径的四分之一圆，故两只羊都能吃到草的草场面积就是图1所示的阴影部分。连接正方形的对角线如图2，只要先求出阴影部分的一半，再乘以2就是阴影部分的面积了。先求出四分之一圆的面积，再减去三角形面积。 答：两只羊都能吃到的草地面积是9.12平方米。 例7. 如下图3在圆内画一个最大的正方形，已知正方形的面积是32平方厘米，求圆的面积？ 分析与解：连接BC和OA（如图4），三角形ABC的底为2r，高为r，三角形ABC的面积为，那么正方形面积为，已知正方形面积是32平方厘米，可以求出平方厘米，所以圆的面积为：（平方厘米） 例8. 已知图5中，三角形ABC是等腰直角三角形，BC20厘

6、米，DE为圆的一条直径。求图中阴影部分的面积。 分析与解：如图6把上面阴影平移到下面，只要从三角形ABC中减去正方形ADFE的面积就可以了。因为ABC和ADE都是等腰直角三角形，所以它们的高都是底边的一半，又知BC20厘米，DE10厘米，可以分别求出三角形ADE和ABC的面积了。 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是50平方厘米。 例9. 如图7，三角形ABC为等腰直角三角形，为直角，D是AB的中点，AB20厘米，圆弧GD、HD是分别以A、B为圆心所作，求图中阴影部分的面积？（取3.14） 分析与解：从图上看要求得阴影部分的面积，就要用四分之一圆面积减去它所包含的小三角的面积，然而要求出小三角形

7、的面积仅用同学们现有的知识是做不到的，而要根据圆的特性，利用图形的旋转变换将图7变成图8的样子（即沿CD裁开，以D为轴旋转，使AD边与BD边重合），此时阴影面积就等于半圆面积减去所含三角形AEF的面积。三角形ABC是等腰直角三角形，所以，则，三角形EAF是直角三角形且圆半径（厘米），即三角形EAF的面积（平方厘米），则阴影面积（平方厘米） 答：阴影面积是107平方厘米。例10. 在四边形ABCD中有一点O，O到四条边垂线长都是3厘米，又知四边形的周长是18厘米，求四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 分析与解：画一个四边形ABCD，如下图。 已知O点到四边形的距离都是3厘米，连接OA、OB、O

8、C、OD，就把四边形ABCD分成了四个三角形，即三角形AOB、BOC、COD、DOA。如果设AB边为a厘米，BC边为b厘米，CD边为c厘米，DA边为d厘米，那么上面四个三角形的面积分别为，则四边形ABCD的面积为： 答：四边形ABCD的面积是27平方厘米。 例11. 一个直角梯形，它的上底是下底的60%，如果上底延长18厘米，下底延长6厘米，就变成一个正方形，原来直角梯形的面积是多少平方厘米？ 分析与解：如图 从上图中可以看出上底比下底少（厘米），上底比下底少，用（厘米），求出梯形的下底，又知延长后是正方形，说明梯形的高和下底加上6厘米是相等的，梯形的上底是30厘米的60%，即（厘米），根据梯形面积公式可得： （平方厘米） 答：原来直角梯形的面积是864平方厘米。 例12. 已知ABCD是长方形，A、D、E、F在一条直线上，AB7，BC5，DG3，求DE的长？（单位：厘米） 分析与解：连接CE