第3章 §4 反证法

1、.§4反证法1理解间接证明的一种根本方法反证法2理解反证法的概念及考虑过程和特点难点3掌握反证法证题的根本步骤，会用反证法证明相关的数学问题重点、难点根底·初探教材整理反证法阅读教材P65P67“练习以上内容，完成以下问题1反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，假设推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法2反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否认推理否认，即从否认结论开场，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而到达新的否认

2、即肯定原命题的过程用反证法证明命题“假设p那么q的过程可以用框图3­4­1表示：图3­4­1判断正确的打“，错误的打“×1反证法属于间接证明问题的方法2反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理3反证法推出的矛盾不能与相矛盾【解析】1正确反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法2错误反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理3错误反证法推出的矛盾可以与相矛盾【答案】12×3×质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑

3、：_小组合作型用反证法证明否认性命题等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393. 【导学号：67720190】1求数列an的通项an与前n项和Sn；2设bnnN，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【精彩点拨】第1问应用ana1n1d和Snna1nn1d两式求解第2问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明【自主解答】1设等差数列an的公差为d，由得d2，故an2n1，Snnn2证明：由1得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，brp，q，r互不相等成等比数列，那么bbpbr，即q2pr，q2pr2qpr0.p，q，rN，2pr，pr20，pr，这与pr矛

4、盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列1当结论中含有“不“不是“不可能“不存在等词语的命题，此类问题的反面比较详细，合适应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为条件推导出矛盾2反证法必须从否认结论进展推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推证，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展推理，就不是反证法3常见否认词语的否认形式如下表所示：否认词语否认词语的否认形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在再练一题1方程fxaxa>1，证明：方程fx0没有负数根【证明】假设x0是方程fx0的负数根，那么x0<0，x01且ax00，所以ax0.又当x

5、0<0时，0<ax0<1，故0<<1，即0<1<1,1<<2，解得<x0<2.这与x0<0矛盾， 所以假设不成立，故方程fx0没有负数根用反证法证明“至多“至少问题x，y，z均大于零，求证：x，y，z这三个数中至少有一个不小于4.【精彩点拨】此题中含有“至少，不宜直接证明，故可采用反证法证明【自主解答】假设x，y，z都小于4，即x<4，y<4，z<4，于是得<12，而2 2 2 12，这与<12矛盾，因此假设错误，即x，y，z中至少有一个不小于4.1用反证法证明“至少“至多型命题，可减少讨论情

6、况，目的明确否认结论时需弄清楚结论的否认是什么，防止出现错误2用反证法证明“至多“至少问题时常见的“结论词与“反设词如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n1个p且q¬p或¬q再练一题2假设x>0，y>0，且xy>2，求证：与至少有一个小于2.【证明】假设与都不小于2，即2，2.x>0，y>0，1y2x,1x2y，两式相加得2xy2xy，xy2，这与中xy>2矛盾，假设不成立

7、，原命题成立故与至少有一个小于2.探究共研型用反证法证明“唯一性命题探究1用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】1反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真2归谬：从反设和条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果3存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立探究2如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线a，b不只有一个交点，那么至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线相矛盾所以两条相交直线有且只有一个交点一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直【精彩点拨】【自主解答】根据点A和平面的位置关

8、系，分两种情况证明1如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有直线的一条垂线相矛盾2如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和ACB，C为垂足，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有直线的

9、一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直证明“有且只有一个的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有“只有一个“唯一存在等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了再练一题3假设函数fx在区间a，b上的图像连续不断，且fa<0，fb>0，且fx在a，b上单调递增，求证：fx在a，b内有且只有一个零点【证明】由于fx在a，b上的图像连续不断，且fa<0，fb>0，即fa·fb<0，所以fx在a，b内至少存在一个零点，设零点为m，那么fm0，假设fx在a，b内还存在另一个零点n，即fn0

10、，那么nm.假设n>m，那么fn>fm，即0>0，矛盾；假设n<m，那么fn<fm，即0<0，矛盾因此假设不正确，即fx在a，b内有且只有一个零点构建·体系1应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是结论的否认；条件；公理、定理、定义等；原结论ABCD【解析】根据反证法的根本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否认“条件“公理、定理、定义等作为条件使用【答案】C2实数a，b，c不全为0等价于Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0【解析】不全为0即至少有一个不为0，应选D.【答案】D3命题“ABC中，假设A>B，那么a>b的结论的否认应该是Aa<bBabCabDab【解析】“大于的否认是“不大于，即“小于或等于，应选B.【答案】B4用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数，正确的假设为_【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数【答案】a，b，c中至少有一个偶数5假设a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0