微积分上内容提要及补充习题新

1、微积分（上）内容提要、基本要求及补充习题一、 函数、极限、连续（一）、内容提要函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、隐函数、分段函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： ，函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质（二）、基本要求1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系式。2了解函数

2、的有界性、单调性、周期性和奇偶性。3理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数、隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。5了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。6理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系，会正确利用等价无穷小求极限。7了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。8理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。9了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用，掌握零点存在定理

3、的应用。（三）、补充习题1（032）若时， 与是等价无穷小，则= _.2. (052) 当时， 与是等价无穷小，则= _.3.(031) = _.4.(034) 极限 = _.5.(023) 设常数，则 _.6. (043) 若，则_, _.7. (042) 设，则的间断点为 _.8. (022) 设函数 在处连续，则 _ .9（043）函数在下列哪个区间内有界. 10(031) 设均为非负数列,且,则必有 对任意成立. 对任意成立. 极限不存在. 极限不存在.11（043）设在内有定义，且， 则 必是的第一类间断点. 必是的第二类间断点. 必是的连续点. 在处的连续性与的取值有关.12(05

4、2)设函数, 则 都是的第一类间断点. 都是的第二类间断点. 是的第一类间断点, 是的第二类间断点. 是的第二类间断点, 是的第一类间断点.13求下列极限： 1）（012） 2）（001） 3） 4）14.(053) .15.(004) .附参考答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.1)2), 3), 4), 14. 2. 15. 16. D二、 导数与微分 （一）、内容提要导数的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 导数的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的导数 高阶导数 微分的概念和运算法则

5、一阶微分形式的不变性 （二）、基本要求1理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。2掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 （三）、补充习题1(033)设 ,其导函数在处连续,则的取值范围是_.2(041)曲线上与直线垂直的切线方程为_.3(033)已知曲线与轴相切,则可以通过表示为=_.4(052)设,则=_.5

6、(044)设 ,则=_.6（032）设函数由方程所确定,则曲线在点处的切线方程是_.8(033)设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 在处左极限不存在. 有跳跃间断点.在处右极限不存在. 有可去间断点.9(051)设函数,则在内处处可导. 恰有一个不可导点.恰有两个不可导点. 至少有三个不可导点. . .参考答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A 8. 9. 10. 11. D12. B 13.B 14.三、 中值定理与导数应用（一）、内容提要微分中值定理 洛必达（LHospital）法则 函数单调性 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点、渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值

7、（二）、基本要求1理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、了解柯西（Cauchy）中值定理，掌握这三个定理的简单应用。2会用洛必达法则求极限。3掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握函数极值、最大值和最小值的求法，会解较简单的应用题4会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线。 5掌握函数作图的基本步骤和方法，会作简单函数的图形。（三）、补充习题1(051)曲线的斜渐近线方程为_.2(052)曲线的斜渐近线方程为_.3(043)设在上连续,且,.则下列结论中错误的是 至少存在一点,使得. 至少存在一点,使得.至少存在一点,使得.至少存在一点,使得.4(0

8、41)设函数连续,且,则存在,使得在内单调增加.在内单调减少.对任意的有.对任意的有.5(021)设函数在内有界且可导,则 当,必有. 当存在时,必有. 当时,必有.当存在时,必有.6(023)设函数在闭区间上有定义,在开区间内可导,则 当时，存在，使. 对任何,有.当时,存在,使.存在,使. 7.(053)以下四个命题中，正确的是若在内连续,则在内有界.若在内连续,则在内有界.若在内有界,则在内有界.若在内有界,则在内有界.8(053)当取下列哪个值时,函数恰有两个不同的零点 2 4 6 89(043)设,下列命题中正确的是是极大值, 是极小值.是极小值, 是极大值.是极大值, 也是极大值.

9、是极小值, 也是极小值.10(03)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点. 11（042）设，则是的极值点,但不是曲线的拐点.不是的极值点, 但是曲线的拐点.是的极值点,且是曲线的拐点.不是的极值点, 也不是曲线的拐点12(034)曲线 仅有水平渐近线. 仅有铅直渐近线.既有铅直又有水平渐近线. 既有铅直又有斜渐近线.14(033)设函数在上连续，在内可导，且，.试证必存在,使.15(034)设,试补充定义,使得在上连续.16(033)设,试补充定义,使得在 上连续.1

10、7(043)求 .18(053)求 .19.20(021)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.21(041)设,证明.22（022）设 ，证明不等式 . 23(034)设,在内的驻点为,问为何值时, 最小?并求出最小值. 24(032)讨论曲线与的交点个数.25(043)设某商品的需求函数为,其中价格,为需求量.（1）求需求量对价格的弹性;（2）推导 (其中为收益),并用弹性说明价格在何范围内变化时,价格降低反而使收益增加.26(02四)设某商品需求量是价格的单调减少函数: .其需求弹性.(1) 设为总收益函数,证明;(2) 求时,总收益对价格的弹性,并

11、说明其经济意义.附参考答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 略 14. 略 15. 16. 17. 18. 19.20. 21. 略 22. 略 23. 时最小值为 24. 当时无交点;当时一个交点;当时两个交点.25. (1) ; (2) 26. (1) 略; (2) 说明价格上涨1%时总收益增加0.54%. 四、 不定积分（一）、内容提要 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 不定积分的换元积分法与分部积分法 （二）、基本要求理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。（三）、补充习题1(