数列难题汇编

1、13、（2000年广东高考题）设an是首项为1的正项数列，且(n+1)ana+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an= 。（2）设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1, bn=(n=2,3,4)求数列bn的通项公式。（3）求和Sn=b1b2b2b3+b3b4+(1)n1bnbn+112、设数列an的首项a1=1, 前n项和Sn满足关系式。3tSn(2t+3)Sn1=3t(其中t>0, n=2,3,4,)（1）求证：数列an是等比数列。11、已知x1>0，x11且xn+1=(n=1,2, ) 试证：xn<xn+1或xn>xn+1(n=1,2

2、,)10、数列的前n项的和Sn，满足关系式an=(n2且a1=3)，求an.6、数列an中，a1=2, ，则an= 。在数列an中，a1=1, a2=3，且an+1=4an3an1，求an.数列an和bn适合下列关系式an=5an16bn1 bn=3an14bn1，且a1=a, b1=b，求通项an和bn。在数列an中，a1=1, a2=2，三个相邻项an, an+1, an+2，当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列。 （1）求an （2）求a1到a2n的和5、在数列an中，a1=2, an+1=an+2n(nN*)，则a100= .5、等差数列an中，a3=2, a8=12，数列b

3、n满足条件b1=4, an+bn=bn1，那么数列bn的通项公式bn= .设数列an满足关系式：a1=1, an= 试证：（1）bn=lg(an+9)是等差数列 （2）试求数列an的通项公式。 （3）若数列an的第m项的值，试求m11、等差数列an，设，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求数列an的通项公式。10、已知RtABC中，C=Rt,A, B, C所对的边分别是a, b, c，且a, b, c成等差数列，求tanA+tanB的值。2、在等差数列an中，已知a2a3a7a11a13+a16=8，则a9的值为已知数列an首项a1>1，公比q>0的等比数列，设bn=log2

4、an(nN*)，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0，记bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。若数列an的前n项之和为Sn，且满足lg(Sn+1)=n，求证：数列an是等比数列。已知数列an的前n项和为Sn，对于任意的自然数n，均有an成立，试证明数列an为等差数列。已知数列an中，a1=3，对于nN，以an, an+1为系数的一元二次方程anx22an+1x+1=0都有根，且满足（1）（1）=2。 （1）求证数列an是等比数列。（2）求数列an的通项公式。已知a、b、c是成等比数列的三个正数，且公比不等于1，试比较a+c与2b，a2+c2与2b2、a3+c3与2b3，的大小，由此得出

5、什么一般性结论？并证明之。（2003年全国高考题）已知数列an满足a1=1，an=3n1+an1(n2) （1）求a2, a3; （2）证明12、有四个数a1, a2, a3, a4，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a1+a4, a2+a3是方程x221x+108=0的两根，a1+a4>a2+a3，求这四个数。已知an是等比数列 （1）若m+n+=l+k，则am·an与alak有何关系？（2）若，则al与am、an有何关系？11、（3）若an>0, a6a8+2a6a10+a8a10=36，求a7+a9的值。若在两个正数a, b中间插入两个数，使它们成等比数列，

6、则公比为q1；若在a, b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q1, 那么q1与q2的关系是4、在等比数列该数列an中，公比为q（q±1），则数列a2, a4, a6, ，a2n的前n项和Tn为：若等比数列an的前n项之和为A，前n项之积为B，各项倒数的和为C，求证：。已知数列an满足a1=4, an=4，令。 （1）求证数列bn是等差数列。（2）求数列an的通项公式(3)若b3·b5=39，a4+a6=3，求b1·b2·b3bn的最大或最小值。 （2）若a8+a13=m， 求b1·b2·b3·b2012、已知等比数列

7、bn与数列an满足bn=3ax(nN*) （1）判断an是何种数列，并给出证明。11、已知数列an中，试求数列an的前n项之和Sn.10、设Sn是等差数列an前n项的和，已知S3与S4的等比项中为S5，S3与S4的等差中项为1，求an。8、数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555，的前n项之和为 。6、在等差数列an中，d0，S20=10A，则A的值：4、数列(1)nn的前2k1项之和S2k1(kN*)为： 1、在数列an中，Sn为其前n项之和，且Sn=2n1，则等于：2、等差数列an前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为求在区间a, b（b>a, a, bN

8、*）上分母是3的不可约分数之和。已知a>0, a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=nanlga(nN*)（1）求数列bn的前n项和Sn；（2）若数列bn中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。数列an对一切自然数n都满足a1+2a2+22a3+2n1an=96n（1）求an的通项公式。 （2）若bn=|，求证：b1+b2+b2n1>1设an 是由正数组成的等比数列，它的前n项和为Sn，试比较logbSn+logbSn+2与2logbSn+1的大小。求数列1，3x, 5x2, ，(2n1)xn1前n项的和。13、（2000年全国高考题）设an为等比数列，Tn=

9、na1+(n1)a2+2an1+an，已知T1=1, T2=4。（1）求数列an的首项和公式。（2）求数列Tn的通项公式。1. 设数列an的前n项和Sn=nan（n-1）b（n=1、2，）a、b是常数，且b¹0（1）证明an是等差数列（2）证明以（an，-1）为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。2.设f(n)=1+，是否存在g(n)使等式f(1)f(2)f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n2的一切自然数都对立，并证明你的结论。3.已知一个圆内有n条弦，这n条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n条弦将圆面分割成个区域。4. 已知数列an满

10、足条件：a1=1，a2=r，(r>0)且anan+1是公比为q(q>0)的等比数列，设bn=a2n-1a2n(n=1，2，)，(1)求出使不等式anan+1an+1an+2>an+2an+3(nÎN)成立的q的取值范围；(2)求bn和，其中Sn=b1b2bn；(3)设r=219.2-1，q=，求数列的最大项与最小项的值。5. 设等差数列an的前n项和为Sn.已知a3=12, S120,S130.()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由.6. 有两个无穷的等比数列和,它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一

11、切自然数n,都有,试求这两个数列的首项和公比.7. 已知数列的前n项和n(n1)(n2),试求数列的前n项和.8. 有两个各项都是正数的数列,.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,成等差数列, ,成等比数列,试求这两个数列的通项公式.9. 数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为,求的最大值;(3)当是正数时,求n的最大值.10. 已知等差数列lgx1,lgx2,lg,的第r项为t,而第t项为r,(0rt),试求x1x2.11.已知数列是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设=0(i=1,2,3

12、,)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为,求证, ,也成等差数列.12.已知圆C：x2(y1)2=1和圆C1：(x2)2(y1)2=1,现在构造一系列的圆C1,C2,C3,使圆与和圆C都相切,并都与OX轴相切.回答：(1)求圆的半径;(2)证明：两个相邻圆和在切点间的公切线长为;(3)求和.13. 设数列的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和14. 在边长为a的正方形A1B1C1D1内,依次作内接正方形(i=1,2,3,),使相邻两个正方形边之间夹角为,(0,)(1)求第n个内接正方形面积; (2)求所有这些内接正

13、方形面积的和. 15. 设有无穷数列,满足a1=1, =(n2).试回答：(1)求出a2,a3,a4,并猜出,利用数学归纳法加以证明;(2)求16. 平面上有n个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为几部分?用数学归纳法证明你的结论.17. 已知f(x)=(x3),若a1=,a2=,an=,求数列an的前n项的和Sn.18. 设有前n项和为的数列,将它的第n项的倒数作为新数列的第n项(n=1,2,).试求此新数列的前n项的和.19. 已知f(x)=(x3),若u1=1,un=f1(un1)(n2),试归纳出un的表示式,并用数学归纳法证明.20. 在数列an中,a1=1

14、,对于任意自然数n,当an为有理数时,an+1=;当an为无理数时,an+1=an()n.(1)求a2、a3、a4;(2)猜想an的通项公式并证明;(3)求(a1a2an).21. 是否存在常数a、b、c使等式对一切nN成立?证明你的结论.22. 已知数列an、bn中,a1=b1=1,an=an12,bn=bn1(n2).设Sn=a1b1a2b2anbn,求Sn及.23. 设数列an的前n项和Sn可表示为Sn=1ran(r1),求适合=1的r的范围.24. 设数列a1,a2,an,的前n项的和Sn与an的关系是Sn=ban1,其中b是与n无关的常数,且b1.(1)求an和an-1的关系式;(2

15、)用n和b表示an的表达式;(3)当0b1时,求的值.25. 设等差数列an的前n项和为Sn.已知a3=12,S120,S130,(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S12中哪个最大,并说明理由.26. 设数列1,2,4,前n项之和是Sn=abncn2dn3,求这个数列的通项an并确定a、b、c、d之值.27. 已知数列an的前n项和为Sn,满足lgSn(n1)lgb=lg(bn+1n2)(b0,b1).(1)求数列通项an;(2)若对于任意n2的自然数恒有an+1an,求b的取值范围.28. 数列an的前n项和Sn=10nn2(nN),数列bn的每一项都有bn=|an|,求bn的

16、前n项之和.29. 设圆C的方程为x2y22x()2ytg()2=0,式中是实数且0.设1、2、3都是区间(0,)内的实数,且1、2、3为公差不为零的等差数列,当依次取1、2、3时,所对应的圆C的半径依次为r1、r2和r3.试问r1、r2、r3能否成等比数列?为什么?30. 已知数列an的前n项和的公式是Sn=(2n2n).求证an是等差数列,并求出它的首项和公差.31. 已知正数数列an的前n项和Sn满足=Sn,求an与Sn.32. 设各项均为正数的无穷数列an和bn,满足如下条件：对于任意自然数,都有an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列.(1)求证：数列是等差

17、数列;(2)试比较an与bn的大小并证明之.33. 已知数列an、bn中：an=2n,bn=3n2,它们的公共项由小到大组成数列cn.(1)证明cn是等比数列;(2)若xn=,求xn各项的和.34. 设an是正数组成的数列,其前n项和Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列an的前三项;(2)求an的通项公式;(3)若bn=(nN),求(b1b2bnn).35. 已知数列an中,a1=,a2=,且数列an+1an是公比为的等比数列,数列log(an+1an)是公差为1的等差数列,求an的通项公式.36. 求和：Sn=2(x)(x2)(xn).37.

18、 设首项为a、公比为q(a、qR+)的等比数列,它的前n项和为80,而其中最大一项为54,前2n项的和为6560,试求此数列第项的值.38. 已知a0,a1,数列an是首项为a、公比也为a的等比数列.令bn=anlgan(nN),(1)求数列bn的前n项的和Sn;(2)当a1,求;(3)若数列bn的每一项总小于它后面一项,求a的取值范围.39. 设an等差数列,(1)已知a1=1,求公差d,使a1a3a2a3最小;(2)已知a7=9,求公差d,使a1a2a7最小.40. 数列an的首项a1=b(b0),它的前n项和Sn=a1a2an(n1),并且S1,S2,Sn,是一个别等比数列,其公比为p(

19、p0且|p|1).(1)证明a2,a3,an,(即数列an第2项起)是一个等比数列;(2)设Wn=a1S1a2S2anSn(n1),求(用b,p表示).41.已知数列an的通项公式是，(nN)，记bn=(1a1)(1a2)(1an)(1)写出数列bn的前三项；(2)猜想数列bn 通项公式，并用数学归纳法加以证明；(3)令pn=bnbn1，求的值。42. 已知数列an满足an+1an,且a1=1,(an+1an)22(an+1an)1=0.(1)求a2,a3,a4；(2)猜想an,并用数学归纳法证明.43. 已知数列an：,其中a是大于零的常数,记an的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,

20、由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.44. 在数列an中,a1=1,Sn是它的前n项和,当n2时,2=2an·Snan.(1)求a2、a3、a4的值,并推测an的通项公式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.45.用数学归纳法证明：(nN)1248(1)n -1·2n -1=(1)n -1·.46.用数学归纳法证明：(nN)1223242(1)n -1·n2=(1)n -1·.47. 用数学归纳法证明：(nN)=.48. 已知数列1，9，25，（2n1）2,的前n项之和为Sn.推测计算Sn的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。49.

21、已知数列an满足a1=a，an1=(1)求a2，a3，a4；(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明。50. 已知正数数列an满足，(nN)，(1)求a1，a2，a3；(2)猜测an的表达式，并证明你的结论。51. 已知数列an满足a11，(1)计算a2，a3，a4；(2)猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明。52. 设an=(2n1)(3n2)，求它的前n项和Sn，并用数学归纳法证明结论。53.用数学归纳法证明nN时,(2cosx1)(2cos2x1)(2cos2n-1·x1)=.54.用数学归纳法证明32n+28n9(nN)能被64整除.55.求实数a,使下面等式对

22、一切自然数n都成立：=.56. 下述证明方法是否是数学归纳法？说明理由。证明 (nN).57. 已知数列an的通项an=n2n,试问是否存在常数p，q，r使等式对一切自然数n都成立。58. 已知f(x)=2xb，设f1(x)=ff(x)，fn(x)=ffn-1(x1)，(n2，nÎN)，求f1(x)，f2(x)，猜想fn(x)用n表示的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想。59. 平面上有n个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为几部分?用数学归纳法证明你的结论.60. 已知数列,Sn为其前n项的和,计算得S1=,S2=,S3=,S4=.观察上述结果,推测出计算

23、Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.61. 观察下面等式：1=12234=9=32345=67=25=5245678910=49=72推出由等式提供的一般规律,用数学归纳法证明.62. 求证：对任何自然数n，1·2·3k+2·3·4(k1)n(n1)(nk1)=(kN).63. 已知数列an满足an=n×2n-1(nÎN)，是否存在等差数列bn，使an=b1cb2cb3cbnc时一切自然数n成立，并证明你的结论。12、设在公差为d的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，a1=b1=a>0，a4n1=b4n1，问是否存在实常数q

24、，使a2n=b2n。例1：从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中，倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg的水。（1）第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？（2）经6次倒出后，一共倒出多少g盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？例2：有10台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼。若同时投入工作至收割完毕需用24h，但现在它们是每隔相同的时间顺序投入一台工作，每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕，如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，求用这种收割方法收割完毕这片土地的庄稼需用多长    时间？例3

25、：某渔场养鱼，第一年鱼的重量的增长率为200%，预计以后每年的增长率都是前一年增长率的一半；（1）饲养五年后，鱼的预计重量是原来的多少倍？（2）如果由于环境污染，每年损失为预计鱼重的10%，那么经过多少年后，鱼重开始减少？例4：从房产公司购买住宅一套，价值22万元。首付款2万元，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3，利息按复利计算，并要求15年付清购房款的本和利。问每年应付款多少元（精确到1元），实际付款总额比一次付清多付多少元？作业：【基础训练】1、某工厂去年产值为a，计划今后五年内每年比上一年产值增长10%，从今年起到第五年，这个工厂的总产值是 2、某工厂的产值月平均增长率为

26、P，则年平均增长率为： 3、从1999年到2002年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元一年定期储蓄，若年利率q保持不变，且每年到期的存款利息均自动转为新的一年定期，到2003年6月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息作用全部取回，则取回的金额是4、某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年平均增长率x满足【拓展练习】1、有电线杆30根，从距离堆放地100米处起每隔50米放一根电线杆，一辆汽车每次能运三根，一辆汽车把电线杆全部运完，并放到应放的地点，则这辆汽车共行驶了 米路程。2、把一张厚度为0.0384mm的纸一次又一次地对折，估计至少需要折 次，它的厚度超过月球到地球

27、的距离。（月球距离约为38.4万千米，lg20.3010）3、假设一个球从某个高度掉到地上，再弹起的高度为前高度的，那么当一个球从6米高度落下，并让其自由弹跳直到停下，球总共的运动路程为 米。4、某企业在年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，恰在n年间还清，年利率为r，试问每次需支付的金额是 元？5、5只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成5堆，还多1个，把多的1个扔掉，取走其中的一堆，第二只猴子把剩下的苹果分成五堆，也多1个，把多的一个扔掉，也取走一堆，以后每只猴子都如此办理，则最后一只猴子所得苹果的最小值是 。6、某行政区现有耕地面积8700公顷，人口为20万，若耕地平

28、均每年减少千分之一，人口平均年增长率为千分之二，那么5年后人均占有耕地面积为 公顷。7、有n个围棋选手参加的棋赛，如果采用单循环比赛，（每两个选手间都要进行一场比赛），那么共进行 比赛。8、在一根木棒上刻有两种刻度，第一种刻度把木棒12等分，第二种刻度把木棒18等分，然后沿每条刻度线把木棒锯断，则木棒被锯成 截。9、已知点A1（1，y1）, A2(2, y2), A3(3, y3), An(n, yn)都在抛物线y=x22x上，则yn的前n项和Sn= .10、某企业年初存资金1000万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为50%，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为

29、实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？11、甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药水成了含有an%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水。证明：an+bn是一个常量建立an与an1的关系式按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水。9、学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一

30、有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，若用An, Bn表示在第n个星期一分别选A、B的人数。 （1）试用An, Bn, 表示An+1； （2）证明An+1=0.5An+300；（3）若证A1=a， 则An=(0.5)n1(a600)+600 (n1) 12、如图，在RtABC中，BAC=90°，作AA1BC，A1A2AB，A2A3BC，A3A4AB，A4A5BC，A5A6AB，A6A7BC，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分别为垂足： （1）CAA1，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列？试给出证明。（2）若AB=4，BC=5，分别求出（1）题中4个三角形的周长和A1A2A3的面积。（3）如果把题设中的作法一直进行下去，并把所得类同于（1）题中的4个三角形的所有三角形的面积从大到小排成一个数列Sn，设AB=c，AC=b，求Sn的通项公式和A11A12A13的面积。1、已知等比数列an中，a1=1，公比为2，则a2与a8的等比中项是2、已知函数f(x)满足f(0)=1，f(x+1)=+f(x) (xR)，则数