数学分析课本(华师大三版)习题及答案第六章

1、第六章 微分中值定理及其应用一、 填空题1若均为常数，则_。2若，则_，_。3曲线在点处的曲率半径_。4设，则曲线在拐点处的切线方程为_。5_。6设，则有_个根，它们分别位于_区间；7函数在上满足拉格朗日定理条件的；8函数与在区间上满足柯西定理条件的；9函数在上满足拉格朗日中值定理条件的；10函数的单调减区间是；11函数的极大值点是_，极大值是_。12设，则函数在_处取得极小值_。13已知，在处取得极小值，则_，_。14曲线在拐点处的法线通过原点，则_。15设，是在上的最大值，则_。16设在可导，则是在点处取得极值的条件；17函数在及取得极值，则；18. 函数的极小值是;19函数的单调增区间为

2、；20. 函数在上的最大值为，最小值为；21. 设点是曲线的拐点,则;22. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为;23. 曲线的上凹区间为;24. 曲线的拐点为;25曲线在点_处曲率半径最小。26曲线的渐近线为_。二.选择填空1曲线的特点是( )。A.有极值点，但无拐点 B.有拐点，但无极值点C.是极值点，是拐点 D.既无极值点，又无拐点2奇函数在闭区间上可导，且，则( )。A. B. C. D.3已知方程确定为的函数，则( )。A.有极小值，但无极大值 B.有极大值，但无极小值C.即有极大值又有极小值 D.无极值4若在区间上二阶可导，且， ，则方程在内( )A.没有实根 B.有两个实根 C.有无

3、穷多个实根 D.有且仅有一个实根5已知在处某邻域内连续，则在处( )。A.不可导 B.可导且 C.取得极大值 D.取得极小值6设函数在区间内二阶可导，且满足条件，时，则在内( )A必存在一点，使B必存在一点，使C单调减少 D. 单调增加7设有二阶连续导数，且，则( )A是的极大值 B.是的极小值C是曲线的拐点D不是的极值，也不是曲线的拐点8若和在处都取得极小值，则函数在处( )A必取得极小值 B.必取得极大值 C.不可能取得极值 D.是否取得极值不确定9设由方程确定，且，是驻点，则( )A. B. C. D.10曲线的拐点的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.311是大于0的可导函数，且，

4、则当时有( )A B.C. D.12曲线的渐近线有( )A1条 B.2条 C.3条 D.4条13的O点的个数为( )A1 B.2 C.3 D.个数与有关14曲线则曲线( )A只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15设为的解，且，则有( )A的某个邻域内单调增加B的某个邻域内单调减少C处取得极小值D处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在内可导,且是在内至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要17. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ;18. 若在开区间内可导,且是内任意两

5、点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 19. 设是内的可导函数,是内的任意两点,则( ) . 在之间恰有一个,使得 在之间至少存在一点,使得 对于与之间的任一点,均有20.若在开区间内可导,且对内任意两点恒有,则必有( ). (常数)21. 已知函数,则方程有( ).分别位于区间内的三个根;四个根,它们分别为;四个根,分别位于分别位于区间内的三个根;22. 若为可导函数,为开区间内一定点,而且有,则在闭区间上必总有( ). 23. 若,则方程( ). 无实根 有唯一实根 有三个实根 有重实根 24. 若在区间上二次可微,且 (),则方程在上( ). 没有实根 有重实根 有无穷多实根 有且

6、仅有一个实根25. 设为未定型, 则存在是也存在的( ). 必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件26. 指出曲线的渐近线( ). 没有水平渐近线,也没有斜渐近线; 为垂直渐近线,无水平渐近线; 既有垂直渐近线,又有水平渐近线; 只有水平渐近线.27 曲线的渐近线有( ). 1条 ; 2条 ; 3条 ; 4条 ;28 函数在取得极值，则（ ）。 0 ； ； 1 ； 2 。29 下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（ ）。 ； ； ； 。30 =（ ）。 1 ； ； ； 。三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点使得f()=0：（1）f(x)=（2）f(x)=|x

7、|, |x|.2. 求下列不定式极根:(1); (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) .3. 求下列不定式极限:(1);(2);(3) (4) (5) (6) ;(7) ;(8) .4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:(1) f(x)=x3+4x2+5,在x=1处;(2) f(x)=在x=0处;(3) f(x)=cosx的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：（1）f(x)=arctgx到含x5的项；（2）f(x)=tgx到含x5的项.6. 求下列极限:(1);(3).7

8、. 估计下列近似公式的绝对误差:(1);(2)当x0,1.8. 计算: (1)数e准确到10-9;(2)lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:(1) f(x)=3x-x3; (2) f(x)=2x2-lnx;(3) f(x)=; (4) f(x)=.9. 求下列函数的极值.(1) f(x)=2x3-x4; (2) f(x)=; (3)f(x)=; (4) f(x)=arctgx-ln(1+x2).10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:(1) y=x5-5x4+5x3+1,-1,2;(2) y=2tgx-tg2x, 0,;(3) y=lnx, (0,+).11. 把长为

9、1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2, an.问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:(1) f(x)=|x(x2-1)|; (2) f(x)=; (3) f(x)=(x-1)2(x+1)3.15. 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取得极值;试定出a与b的值;并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值?

10、16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单价是元/千米.火车运费的单价是元/千米(>),试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:(1) y=2x3-3x2-36x+25; (2) y=x+;(3) y=x2+; (4) y=ln(x2+1);19. 问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点?四、证明题1. 证明： （1）方程x33x+c=0（这里C为常数）在区间0，1内不可能有两个不同的实根；（2）方程xn+px+q=0(n为自然

11、数，p，q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。2. 证明：（1）若函数f在a，b上可导，且(x)m，则f(b)f(a)+m(b-a);(2)若函数f在a,b上可导，且|(x)|M，则|f(b)-f(a)|M(b-a)； （3）对任意实数x1,x2,都有|sinx1-sinx2|x1-x2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中0<a<b;（2）<arctgh<h，其中h>0.4. 设函数f在a,b上可导。证明：存在（a,b），使得2f(b)-f(a)=(b2-a2)().5. 设函数在点a具有连续的二阶导数。证明：.6

12、. 试讨论函数f(x)=x2,g(x)=x3在闭区间-1，1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？7. 设0<<<，试证明存在(a,b)，使得.8. 设h>0，函数f在a-h,a+h上可导。证明：（1），（0，1）；（2），（0，1）.9. 以S(x)记由（a,f(a)）,(b,f(b),(x,f(x)三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。10. 若函数f, g和h在a,b上连续，在（a,b）内可导，证明存在实数(a,b)，使得=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11. 设f为a,b上二阶可导函数，且f(a)=

13、f(b)=0,并存在一点c（a,b）使得f(c)>0.证明至少存在一点(a,b),使得()<0.12. 证明达布定理：若f在a,b上可导，且(a)(b),k为介于(a)与(b)之间的任一实数，则至少存在一点(a,b)，使得()=k.13. 设函数f在（a,b）内可导，且f单调。证明f在（a,b）内连续。14. 证明：设f为n阶可导函数，若方程f（x）=0有n+1个相异实根，则方程f(n)(x)=0至少有一个实根。15. 设p(x)为多项式，为p(x)=0的r重实根。证明 ：必定是p(x)=0的r-1重实根。16. 证明：（1）设f在（a,+）上可导,若和都存在,则=0; (2)设f

14、在(a,+)上n阶可导.若和都存在,则=0,(k=1,2,n)。17. 设函数f在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f在区间0,x上应用拉格朗日中值定理有f(x)-f(0)=f(x)x,(0,1).试证对下列函数都有;(1) f(x)=ln(1+x); (2) f(x)=ex.19. 设f(0)=0,f在原点的某邻域内连续,且f(0)=0.证明:.20. 证明定理6.5中情形时的罗比塔法则:若(i) (ii) 存在M0>0,使得f与g在(M0,+)内可导,且g(x)0;(iii) (A为实数,也可为±或),则21. 证明:为有界函数.22.

15、 应用函数的单调性证明下列不等式.(1) tgx>x-;(2) ; (3) 23. 设.(1) 证明:x=0是函数f的极小值点;(2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f(x)在(a,b)内可导,f(x)在x=b连续,则当(x)0(a<x<b)时,对一切x(a,b)有f(x)f(b),当(x)0(a<x<b)时,对一切x(a,b)有f(x)f(b).25. 证明:若函数f在点x0处有+(x0)<0(>0),_(x0)>0(<0),则x0为f的极大(小)值点.26. 证明：若函数f,g在区间a

16、,b上可导,且(x)>(x), f(a)=g(a),则在内有f(x)>g(x).27. 证明: .28. 证明:(1) 若f为凸函数,为非负实数,则f为凸函数;(2) 若f、g均为凸函数，则f+g为凸函数；(3)若f为区间I上凸函数,g为Jf(I)上凸的递增函数,则gof为I上凸函数.29. 设f为区间I上严格凸函数.证明:若X0I为f的极小值点,同x0为f在I上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:(1)对任意实数a,b,有;(2)对任何非负实数a,b, 有2arctgarctga+arctgb.31. 证明:若f.g均为区间I上凸函数,则F(x)=maxf(x)

17、,g(x)也是I上凸函数.32. 证明: (1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x1<x2<x3,恒有0. (2)f为严格凸函数的充要条件是对任意x1<x2<x3,>0.33. 应用詹禁不等式证明: (1) 设ai>0(i=1,2,n)，有. (2)设ai,bi>0(I=1,2,n),有， 其中P>0,q>0,=1.五、考研复习题1. 证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且 ,则至少存在一点a,b),使()=0.2. 证明:若x>0,则(1),其中;(2).3. 设函数f在a,b上连续,在(a,b)内可导,且ab

18、>0.证明存在(a,b),使得.4. 设f在a,b上三阶可导,证明存在(a,b),使得.5. 对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有.6. 证明:若函数f在区间a,b上恒有(x)>0,则对(a,b)内任意两点x1,x2,都有,其中等号仅在x1=x2时才成立.7. 证明:第6题中对(a,b)内任意n个点x1,x2,xn也成立，其中等号也仅在x1=x2=xn时才成立。8. 应用第7题的结果证明：对任意n个正数x1,x2,xn恒成立，即算术平均值不小于几何平均值。9. 设a1,a2,an为n个正实数，且证明：（i） （ii）10. 求下列极限：（1）；（2）；（3）.11. 证明:若函数f在点a二阶可导,且(a)0,则对拉格朗日公式f(a+h)-f(