排列数组合数公式常见题型例析

1、排列数、组合数公式常见题型例析广东省佛山市顺德区沙滘中学 528315 何健文纵观近10年高考，有关排列数、组合数公式的运用一直都是出题的冷点，试题偶有所见，大都是以选择题或填空题形式出现，属容易题，但2001年全国高考题的第一大题的出现，令众多考生束手无策，也引起了师生们的极大关注。本文拟从以下两方面介绍有关排列数、组合数公式常见题型和解题分析，供广大读者参考。一、 排列数、组合数公式及变形公式1、排列数公式=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=，特别地=n(n-1)(n-2)321，规定0！=1；2、组合数公式=. 注意：且都是正整数，可以为0，即=1.3、两个重要性质(1) ，为了简化

2、计算，当时，通常将转化为；(2) +=.由这些性质可以得到几个常用变形公式（组合恒等式）：() =() +=.() (n+1)!=(n+1)n!=nn!+n!. nn!= (n+1)n!n!.() +=等等.二、排列数、组合数公式常见题型例析1、 求值例1 求+的值.解：由题意可知, 原式中的正整数n必须满足下列条件： 07nn,09-nn+1, 解得4n9. (nN)nN.n=4, 5, 6, 7. 将n=4, 5, 6, 7.代入+可得到分别为5，25，41，29.评析 本题从组合数成立的条件（0且都是自然数）入手，既找到了解题路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得. 另一方面，我们从

3、中又得到一个启发：利用组合数的性质解决某些问题，要比纯用组合数公式解决问题方便的多.例2 计算+.解：利用组合数性质：=+.原式=+=+=1 =329.评析 正确使用组合数的性质及组合数的计算公式是解本题的关键。解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可以结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的。本题还可以利用性质（2）的变形恒等式：=.原式=（）+（）+（）=1=329.2、解方程或不等式例3 解方程3=5.解：由排列数和组合数公式，原方程 . . (x3)(x6)=40. x=11或x=2.经检验知x=11是原方程的根，x=2是原方程的增根，所以方程的根为x=11.评析 排列数和组合数

4、公式都有两种形式： 乘积形式；介乘形式，前者多用于具体数字计算，后者多用于含字母的组合数恒等变形，证明等式或不等式。例4 解不等式 .解：原不等式=.>.(舍去).原不等式的解集为.评析 化归为常规方程或不等式是解决这类问题的常用方法。解出方程或不等式后，一定要对所得结果进行检验，看是否满足条件，然后把不符合的解舍去.3、在二次展开式中的应用例5 求的展开式中系数最大的项.解：设第r+1项的系数最大，则有 , . 即 , , 即 . . 解得 r. r, r=3.r=3时，为所求的系数最大的项.评析 求解系数最大的项此类问题的关键是运用通项公式，正确列出不等式组，同时还应重视整数解的寻找

5、。解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系数最大项，还是指二项式系数最大的项。除此之外还应注意公式的两种形式（乘积形式介乘形式）的应用，变形时要观察有没有含介乘的公因式，若有，要及时提出公因式。二项式系数最大的项有如下性质(参见全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学第二册（下B）第109页)：在的展开式中当n为奇数时，中间两项(第项和第项)的二项式系数最大为和；当n为偶数时，中间一项(第项)的二项式系数最大为.4、证明恒等式或不等式例6 求证：+2+3+n=n.证法一：利用组合数性质的变形公式，则有左边=n+n+n+n= n(+)=n=右边.（其中+=，下同）证法二：边=

6、 = = n(+)=n=右边.证法三：构造一个组合问题数学模型：“某班有n人，现组织一些人做交通安全宣传队，选一名同学做队长，这样的有队长的宣传队共可组成多少组？”。一种解法是选确定队长，有种方法，然后对余下(n1)人分别选择，每个人有选上和选不上两种可能，由分步计数原理知共有n种组队方法；另一种解法是按宣传队的人数分类计数，在每类中分别选队长，由分类计数原理可知应有+2+3+n种组队方法。所以+2+3+n=n.评析 组合数公式有许多变形式，在证明与二项式系数有关的恒等式时，特别要注意公式的变形式的应用，此题就用到了最常用的变形式：=。若此题作如下改变：（1） 求证：+2+4+=（提示：利用二

7、项展开式，赋字母以适当的值赋值法）；（2）求值：2+34+(n+1)（答案为0）.上述问题如何解决呢，它的推广形式又是什么？留给读者自己思考。例7 （2001全国高考题改编） 已知,是正整数，且1<.(1)证明：；(2)证明：.(1) 证明：对于1<, 有=同理,由于<,对整数1,2,3, -1, 都有, 所以>,即.(2) 证明：由二项式定理有=+； =+。又=，而>.>>>又=,=.评析 本题以排列、组合、二项式定理的基础知识为载体，把它们融于不等式的证明之中，结构简洁、精巧，富有创意，突出了数学的抽象推理，是一道以能力立意命题的范题。本大题

8、有多种解法此就不一一赘诉。5、在数列中的应用特别说明：例6的第四种证法就是应用数列求和方法之倒序相加法证明（此略）.上题可作推广：设, , ,成等差数列，求证：+ + +=(+)例8 已知数列满足()，是否存在等差数列，使对一切自然数成立？并证明你的结论.解：假设等差数列，使对一切自然数成立。当=1时，得1=，所以=1；当=2时，得4=+，所以=2；当=3时，得12=+，所以=3.猜测=时, .=.=.故存在等差数列, 使已知等式对一切成立.6、在实际应用题中的应用例 9 一条铁路原有n个车站，为适应客运的需要，新增加了m个车站（m>1）, 客运车票增加了62种，问原有多少车站？现有多少个车站？解：原有n个车站，原有车票种. 又现有n+m个车站,现有车票种.依题意有-=62, 整理得2+-=62, .又nN，即-62<0且m>1.1<m<且mN, m=2,3,4,5,6,7,8.当m=2时，n=15；当m=3,4,5,6,7,8时，n都不是自然数，n=15,m=2.故原有车站15个，现有车站