数形结合思想在初等数学中的应用

1、 本科毕业论文题目：数形结合思想在初等数学中的应用 系别： 数学系班级： 数本1201班 姓名： 郑海月 指导教师： 耿彦峰 完成日期： 2016 年 月 日 目录数形结合思想在初等数学中的应用摘要：有史以来，数学就是一门研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，形是数的直观表现。数是形的抽象概括。这两个研究对象是相辅相成的。学生学习数学的素养不仅仅表现在数学知识的或多或少，而是体现在他们能不能够理解数学思想的方法。并熟练的运用于实际问题上。然而数形结合作为数学思想方法之一，渗透和蕴含在数学的知识里，它作用于初等数学的两大主线数和形。在初等数学教学中，要灵活的将数和形完美地统一运用起来，将它们渗

2、透在数形结合思想的方法上，有利于学生学习数学思维的发展。一个人的数学教育目标的最终实现就是体现在数学素养的重要内涵之一。重视数学思想的教和学的方法就是体现现代社会对初等教育的重视，对人才的培养的重视，因此加强数形结合思想方法的教和学就是促进初等数学素养的重要途径。关键词：数形结合思想，小学数学，初中数学，应用 Application of combination of number and shape in Elementary Mathematics摘要：有史以来，数学就是一门研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，形是数的直观表现。数是形的抽象概括。这两个研究对象是相辅相成的。学生学习数学

3、的素养不仅仅表现在数学知识的或多或少，而是体现在他们能不能够理解数学思想的方法。并熟练的运用于实际问题上。然而数形结合作为数学思想方法之一，渗透和蕴含在数学的知识里，它作用于初等数学的两大主线数和形。在初等数学教学中，要灵活的将数和形完美地统一运用起来，将它们渗透在数形结合思想的方法上，有利于学生学习数学思维的发展。一个人的数学教育目标的最终实现就是体现在数学素养的重要内涵之一。重视数学思想的教和学的方法就是体现现代社会对初等教育的重视，对人才的培养的重视，因此加强数形结合思想方法的教和学就是促进初等数学素养的重要途径。Abstract: history, mathematics is a s

4、tudy of the objective world of the number of relations and space form of science, form is the number of intuitive performance. The abstract generalization of the form. The two research objects are complementary. Students learn mathematics literacy not only in more or less mathematical knowledge, but

5、 they can not be reflected in the method of understanding of mathematical thinking. And applied to practical problems. However, as one of the combination of mathematics thinking method, infiltration and contained in the knowledge of mathematics, it functions in elementary mathematics two main line n

6、umber and shape. In elementary mathematics teaching, to the flexibility of the number and shape of perfect unity with it, they will penetrate in Shuoxingjiehe thinking method, is conducive to the development of students' mathematical thinking. The final realization of one's goal of mathemati

7、cs education is reflected in one of the important connotation of mathematical literacy. Pay attention to mathematical thinking teaching and learning approach is reflected in modern society, the importance of elementary education, attaches to the cultivation of talents, thus strengthening the number

8、shape combination of thought and method of teaching and learning is to promote an important way of elementary mathematics literacy.关键词：数形结合思想，小学数学，初中数学，应用Keywords: thought, combination of number and shape of primary school mathematics, junior high school mathematics application.1.引言1.1背景， 在数学萌芽时期，人类

9、对数形结合的研究早有了研究，数形结合思想是联系数和形研究的重要纽带。数学是以实现世界的数量关系和空间形式的结合作为研究对象，数量关系和空间形式是有联系的，也是可以相互转化的。可以将问题的数量关系和空间形式两者相结合起来一起观察。将问题的数量关系抽象化转化为空间形式的直观现象，也可以将空间形式的直观图转化为数量关系的抽象思维。这种处理问题的思想方法就是数学中的数形结合思想方法。 早在我国宋元朝时，人类就引进了几何问题代数化的方法，运用代数式的方法描述一些特定问题的几何特征，将图形之间的几何关系转化成代数式之间并表达出来的代数关系。在西方国家，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁的建立了数和点之间，与曲线

10、和方程之间的对应关系。即使是在现代的数学教育上数形结合思想的研究也是一条重要的方法原则。1. 数形结合思想的含义与发展2.1 运用数形结合思想的含义 数量关系和空间形式是数学学科中的两大基本要素，如果想学好数学就要掌握好数学规律中数和形的重要联系。数形结合是联系数量关系和空间形式的重要桥梁，数是抽象的，形是直观的。数量的抽象和几何的直观是相辅相成的，“数”转“形”时解题思路清晰，具体实在，又赋予活力。“形”转“数”时内容丰富，解释明了。在解题过程中运用到数形结合思想的方法将有利于拓展学生的解题的思路的方法，并能够强化 学生的逻辑思维能力。在解题的过程中要时时的有意的将数形结合渗透在一起，这样才

11、能大大的提升学生的解决问题和分析问题的能力。2.2数形结合思想的发展 （1）德国思想家弗里德里希冯恩格斯（Friedrich Von Engels，1820年11月28日1895年8月5日）曾对数学给出这样的定义：“数学是研究现实世界数量关系与空间形式的科学”由此可见，数量关系和空间形式是数学中的两大基本研究对象。“数”是数量关系的科学，“形”是空间形式的科学。“数”和“形”是研究数学教育的两大基本支柱，也是研究数形结合思想的两大基本要素。“数”是抽象的，主要提升学生的思维有序能力，符号运算能力。最主要是由思维主导的。“形”是直观的，主要是培养学生的观察能力，逻辑推理能力和直觉能力，最主要是由

12、视觉思维主导的。在早期人类懵懵懂懂的时代就已经具备辨别事物的能力了，他们在打猎和采集过程中能分辨物体的增加和减少，这就是数量上的变化，在他们从数觉到数这一概念演变的过程是缓慢的。因此，俄国学者丹齐克把早期人类的这种识别能力叫做“数觉”。由于人类在生活过程中会出现动物和植树，动，植物的数量表示上涉及到数觉，数量是事物抽象表现出来的，而动，植物是直观看出来的，由此，人类也就慢慢的发现这两者之间是有联系的，是一种无意思的联系和结合。它们是相结合的。随着人类生活生产实践的进一步的发展，人类文明进程的不断进步，数学的内容也不断增多，人类对数的认识也逐渐清晰了，能感觉到有必要用某种形式来对着一个数量进行记

13、录这是事物的某一属性，由此就有了记数这一词。最开始人类用的是对于“形”有着直观表现的手指，石头来记录“数”，对形的这点直觉的表现与数的产生有些相似。数的产生来于记数，是对具体物体“形”的一种记数。数的概念的产生之后，用来表示“数”的工具也就是一些“形”在古代中一些记数中。那些都是用具体的图形表示抽象的数字。尤其是在17-18世纪至19世纪在数学领域内的一些学科和分支的独立。 在这些学科里人类也不断的创造出一些新的学科。比如，古埃及象形数字，巴比伦模形数字，还有中国的算盘。这些都是历史最长远的记数工具，也是体现数形结合的最早最典型的一个实例。“数”源于各种各样的“形”的记数，“数”又辅助于“形”

14、得到记录。2.3早期数形结合思想的发展以几何学为特征的是数学最早的大发展，巴比伦和古埃及的人在生活中的生产和实践中长期积累了很多经验是有关于几何知识的，之后就慢慢的传入了古希腊。在一些学派想尝试将这些知识加以组织的时候，毕达哥拉斯学派的主张“万物皆数”，想尝试把几何建立在算数的基础之上，在他们的长期努力下，最终实现了几何学基础。由此，毕达哥拉斯学派在完全平方数和勾股定理等得到了证明，证明体现出了它们是数与形结合的。随后又有形数，解方程也等到了证明。在很早的古代中国的数学发展历程中发现，也有“数”和“形”结合的一些数学成就。例如 （3）杨辉的三角形面积公式的推论，赵爽的勾股弦图。（1）完全平方数

15、的证明。构造出一个大的正方形和两个小的正方形，大的边长为（a+b），小的边长分别为a,b如图（2-1）。根据面积相等,可以得出大正方形的面积等于S1+S2+S3+S4的总和，则a+b2=a2+b2+ab+ab=a2+b2+2ab。 图2-1 图2-2 (2)勾股定理，勾股定理是一个人类早期发现并得到证明的重要数学定理之一，也是应用最多的定理。它是有西方著名学派毕达哥拉斯学派发现的。后来是由 （2）著名学家普鲁塔克（Plutarch，约公元46年-120年）的面积剖分法得到证明(如图2-2)。面积剖分法是设直角三角形的两条直角边长分别为啊，a,b斜边长为c，以该直角三角形的两条直角边长为基础，作

16、两边长为a+b的正方形，由于两个正方形内各含有四个全等的直角三角形，那么去掉这四个全等的直角三角形后，剩下部分的面积应该是相等的，从而证明了以斜边c为边长的正方形的面积等于以直角边a和b为边长的两个正方形的面积和。它是数学中“数”和“形”最重要联系的第一定理，对数学的发展有着不可小视的影响。勾股定理是以代数的思想与概念对几何问题进行解决的，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现促进人类进行数学几何问题的探索的进步；通过勾股定理，人类还可以推导出很多其他有关于勾股定理的真命题与定理，这不仅便于我们对几何问题的解决，同时也推进数学的发展迈出了一大步。3.数形结

17、合思想在小学数学的应用3.1“数”与“形”转化解题 在小学的数学知识里就有着许多关于数形结合思想的应用。从小学数学的教材上说，数形结合是教材编辑的重要组成要素，也是一个重要的特点。更是小学数学教学时常使用的解题方法。3.1.1“数”转“形” 数学是一门相对难理解，知识点琐碎，逻辑性又强的学科。如果想要学生学好数学，仅仅努力学习，多做练习是不够的。相对于中学生来说，小学学生还不能独立思考，心智也不够成熟，如果只是用单一的手法进行教育是不行的。因此，在学习过程不仅要学生努力，勤奋学习，老师也要在他的教育方法里使用一些适合学生的手法。 在教学过程中数和形的联系非常密切，使用数形结合思想是很必要的。然

18、而，我们如何完美，巧妙的将“数”转“形”，怎样借助“形”帮助学生解决“数”的问题。 例如（三年级的数学题）：有一车苹果，第一次运走了整车苹果的12，第二次又运走了剩下的13，最后车子里还剩30千克苹果。问原来车子里有多少苹果？ 如果这道题我们仅仅通过题意就直接解题。把这道题的“一整蓝苹果”当做单位“1”的量，在第一次时这道题的单位量“1”的量发生了变化，第二次又把“剩下的苹果”看作单位“1”的量。这样反反复复，在小学生解题时往往是觉得很难的。如果我们用数形结合思想解这道题，那就不一样了。首先，先把题目看一遍，再把题上的数字用图形表达出来。如下图 单位“1”（一车苹果） 单位“1”（剩下的12苹

19、果） 运走的12 剩下的12 又运走 剩下的30 剩下的12 千克 从图中可以很清楚的发现，运走剩下的12，与还剩30千克的苹果是相等的，可知第二次又运走的12的量就是最后剩下的，也就是第二次运走了30千克苹果。所以第一次剩下的苹果是60千克。同理可得，第一次运走的等于一次剩下的，因此就可以算出了结果。原来车子里的苹果有120千克。通过以“数”转“形”解题可以更直观的看出题隐藏的题意，在解题过程中可以有效发挥的学生的直观化和形象化，更有效的把抽象问题简单化。这有助于小学学生学习数学，更能激发他们的积极性。3.1.2“形”转“数” 小学的思维是比较活泼的，主要是形象化的，直观的为主，对于能看的到

20、的，摸得着的物体他们更容易理解，认识和记忆。因此，我们要从基础做起，从小就培养学生他们的图形直观化，也要培养他们的数字抽象化。如何将图形转化为数字，这能有助于学生对数学知识的认识。培养他们在看到图形后能写出数学数字更能促进他们对语言的理解和语言的组织能力的提升。例如给以下图形学生会想到什么？3.1.3 数形结合思想在小学数学教学的作用“ 数无形而少直观、形无数而难人微，数形结合百般好、隔裂分家万事休”，华罗庚教授很明确的指明了数形结合思想在教学中的必要性。“数”是抽象的，“形”是直观的。在教学过程中将数形结合思想渗透于解题中，如果学生能够灵活的运用数形结合思想，将“数”与“形”相互转化，这不但

21、能帮助学生把抽象的数学概念直观化，还能帮助学生形成图像概念化。同时能有效的解决数学问题，还能提高学生的理解能力，更能强化学生的逻辑能力。4数形结合思想在初中数学的应用4.1.“数”与“形”在教学中的渗透 在初中数学，数形结合思想在数学思想方法中也是一门重要的思想方法之一，结合数学问题之间的密切联系，数形结合可以把数量关系的抽象化精确度刻画和空间图形的直观形象完美的相结合在一起。通过“数”与“形”的相互转化实现了数量关系和空间图形的结合。即可以用图形来表示代数问题，也可以用代数的形式来表示几何问题，使得抽象思维和直观思维相互渗透。如果想要学生学好数学知识和拥有良好的数学素养的前提，就要把“数”与

22、“形”相结合的思想渗透于教学当中。 数形结合，以形辅数 在数形结合思想中，以形辅数，就是借用几何图形的直观思维帮助解决数量关系的抽象思维问题。数量关系问题并不是我们想象中想用几何图形转化就能转化的，即使用了“形”辅助“数”的问题。还是需要教师有意识的在教学中培养学生的数形结合能力，同时学生在平时练习解决问题时也要学会利用数形结合思想方法。例如在初中数学中就有很多就有“以形辅数”的问题。相似三角形问题。马路边有一颗树和一根4米电线杆，王丽站在树和电线杆的下面所在的直线BD上，她调整前后距离，正好使她的头顶、电线杆顶、树的顶点也在同一直线上，她又用皮尺测量她和电线杆之间的水平距离为5米，电线杆和树

23、之间的水平距离为16米，王丽的身高为1.7米，借助她的身高，你能求出树的高度吗？分析：这道题可以利用相似三角形对应边成比例求解。通过数形结合思想的方法，画图、构造辅助线。解:如图，过点E作EGCD,交AB于H ，交CD于G。EH=FB=4，EG=FD=5+16=20，AH=AB-BH=2.3AHCG,EHEC=AHCG即520=2.3CG,CG=9.2CD=1.7+9.2=10.9 函数问题。二次函数y=f(x)满足 fx+1-x=2x,且f0=1。 （1）求 f(x)的解析式（2）在区间-1,1上，函数y=f(x)的图像恒在直线 y=2x+m下方，求实数 m 的取值范围。解：（1）设二次函数

24、的解析式为 y=fx=ax2+bx+c因为 fx+1-fx=2x,即 a(x+1)2+bx+1+c-ax2+bx+c=2x,整理得，2ax+a+b=2x, 故 2a=2,a+b=0, 解得a=1,b=-1, 又 f0=1 ,故c=1,所以二次函数的解析式为y=fx=x2-x+1.（2）因为y=fx=(x-12)2+34 , 当x=-1时,y=3 ; 当x=1 时,y=1, 即f-1=3,f1=1因为f-1>f(1) ，直线的解析式为 y=2x+m ,在-1,1 上单调递增。故如图所示，当直线过(-1,3) 时，是直线满足条件的临界值，此时，m=5所以当取直线 y=2x+5 之上的平行直线

25、时，均可满足所求条件，而 m 是所求直线在 y 轴上的截距，故m>5 相似三角形问题和函数问题是初中数学中运用到数形结合思想的重要内容之一，除了这两种有关于数形结合方法外，还有许多关于数形结合思想的方法。比如还有象限问题、坐标轴问题、方程问题和不等式问题等这些问题如果利用到数形结合思想的方法去解决问题，就会把问题的内容清晰化，直观化了，这样能更好的帮助学生解决问题。在利用数形结合思想方法进行解题的过程中，要懂得鼓励学生用图形直观的观察问题，这样有利于学生的数形结合能力的提升。4.1.2 数形结合，以数辅形 以数辅形，就是利用数量关系的精准度揭示出图形中隐藏的数量关系，反映出图像的一些属性

26、。在解决数学问题中，有关几何图形的问题可以转化成数量关系的问题，借用代数法、解析法和参数法等去解决几何问题，有利于促进学生灵活解题能力的培养，同时还能帮助学生提升数形结合转化能力的培养。 代数法中有利用方程法、函数法和不等式法等。接下来我们可以利用方程法和不等式法来证明数形结合的转化。在初中数学中，数学知识中方程在教学中的内容是很重要的，有一元一次方程、一元二次方程、还有二元一次方程组，学生不但要学会解这些方程。还要懂得解决有关代数的问题。教师在教学过程中要有目的的引导学生运用这些知识点去解题。这样可以促使灵活运用他们已有的知识将几何问题和数量关系结合在一起。坐标系问题。如图，在平面直角坐标系

27、中，O为坐标原点，点A,B坐标分别为0，4，-3，0，点E,F分别为AB,BO的中点，分别连接AF,EO，交点为P则点P坐标为（ ）A.-65,43 B.-65,32 C.-1,43 D.-1,32 分析：C 因为点E、F分别为AB、BO的中点，所以点E坐标为-3+02,0+42，即-32，2，同理，求得点F坐标为-32,0。根据两点式，可求得直线AF的解析式为y=83x+4，直线OE的解析式为y=-43x，点P是两条直线的交点，故联立方程组可解得点P的坐标为-1,43 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AC，则A等于 A. 30。 B.40。 C.45。 D.36。

28、分析：BD=AD,A=ABD. BD=BC,BDC=C. 又BDC=A+ABD=2A,C=BDC=2A. AB=AC,ABC=C. 又A+ABC+C=180。，A+2C=180。， 把 C=2A代入等式，得A+2×2A=180。 解得A=36。.故选 D 如图：4.1.3数形结合思想的教学方法 学校很关注数学思想方法的教学，特别是数形结合思想的方法。自从全日制义务教育数学课程标准用于课堂后。学校就更加关注了。数学思想的教学有助于学生学习数学，特别是数形结合思想，它的教学有利于完善认知结构，同时还能促进思维的发展和指导学生学习。要想培养出数学素养高的学生，就要让他们更好地学习数形结合思

29、想，如果在数形结合思想的启迪和熏陶下，他们能更好的学好数学。老师在教学中也要懂得巧妙的使用数形结合思想进行对学生教育和培养。教师教学时不能仅仅用教材表面的意义，要善于挖掘教材隐含的数学思想方法。还要指导好学生们对教材，对数学知识概念的概括和总结。 然而，教师在教学过程中如何巧妙运用数形结合思想渗透于课堂之上呢？数学的教材里有的不仅是固有的知识含义和概念，还有通过数形结合思想的方法后总结出来的意义。例如，平行线及其判定。由于数形结合思想的方法已经在数和形这两大要素的研究上占有重要的作用。所以在教学过程中可以利用多媒体技术进行演绎。通过多媒体的展示可以展示出数形结合思想方法的重要实践意义。在动态变

30、化演绎问题的过程中，学生通过观察图形的变化过程可以培养他们的动态感。同时。还可以培养他们用独立的眼光看问题。 数形结合思想方法一直以来都作用于数学思想，是数学思想的重要内容。数形结合思想方法就是通过“数”和“形”相结合运用数学知识上的。在解题过程上用直观的图形对数量关系进行解释，也可以用抽象的数量关系对直观图形进行说明。数形结合方法就是把“数”和“形”结合对问题进行具体解决。他们在解题过程中是相辅相成的。不过，即使老师在教学上指导学生们如何使用数形结合方法，在课后他们不进行训练和反思，那前功尽弃了。因此，学生应懂得在学习和生活中，在老师的指导和培养下，不知不觉的模仿老师的方法，并运用到解题中。

31、过后还要懂得反思，为什么要用这个方法？用这个方法对解题有何作用？在解题的过程中是否会简便？数学原本就很深奥，学生不但要学会解题，学会方法，还要学会问“为什么”。这就相当于你对学习的反思，反思的过程中往往会激发你对数学的兴趣。只要学会反思，你才会在解题中学会概况，总结数学方法。 皮亚杰曾说过，“最初，孩子只是模仿成人的声音和动作，这或多或少是这个成人的声音和动作的如实再现”。这就说明了，学生的反思开始源于模仿，教师在课堂的有意指导和培养，他们只是会无意识的吸收和模仿，不管是声音、动作、处事方式还是思维方法等，他们就是通过别人那里反射到自己的，并通过自身反思后，感受后，思考后在想是不是自己有做过。

32、一旦反思，就会开始模仿，活动。所以学生在老师教过后要懂得运用、反思和模仿，那才能帮助学生提高思维能力。5如何正确使用“数形结合思想”在初等数学中的应用 数形结合方法就是它可以把“数”转化成“形”，那样可以更直观的，更形象的对问题进行证明。还可以把“形”转化成“数”，那样可以很清晰，很明了的对问题解释和计算。但它不是用于全部的，如果有些图形存在误差，不够准确，那就不能一点代替面，更不能以简单的图形来代替进行获取答案。所以在有些问题上画图和说明上要注意一些细节，不能大意。数形结合思想的使用要注意那些问题。5.1作图的精确性数形结合中的“形”就是几何图形，它是一种直观的，形象的。但是如果作图不注意，

33、作图不精确就会造成误解。例如坐标系中的函数图像，在解题画图时我们只会做一部分的图像，所以要注意函数图像的延伸趋。例1.方程x13=2sinx的实数根个数为（ ） A3个 B.5个 C.7个 D.9个误解：做函数y=x13和y=2sinx的草图，由于这两个函数都为奇函数，所以只作x0的部分，又因为x>8时，x13>22sinx,所以图形只需要取0,3上的一部分就够了。如图5-1.有对称性得 C 图5-1评价：本题由于“数”转化“形”时图形失真而有了误解，实际上，当x=18时，1813=12>2。，18>2。，sin18,可见在0，2内还有一个交点，所以正确的是 D以上的错

34、误就是由作图不精确而导致的，如果画图有误差，不注意图像的取段就有可能会出现错误的选项。5.2注意转换解决数学问题如果运用到数形结合时要注意到转化的等价性，一般都是通过观察几何图形而得出数量关系的，同时几何图形也是通过数量关系构造出来的。所以在这过程中要注意观察和构造，如果在审题不周到，再加上构图不够严格，不遵循严谨的逻辑性就有可能会在数形结合相互转化时出现不等价的误差。例2 已知点Px,y在曲线y=1-x2上运动，求z=yx+2的取值范围。误解：点Px,y在曲线y=1-x2上运动，由此可知点A的轨迹为单位圆，如图(5-2-1 ),由图可知z=yx+2的取值范围为-33,33。 图5-2-1 图

35、5-2-2评析：上面是个错误的解释，在得出取值范围时忽略了变的量取值范围了。由点Px,y在曲线y=1-x2上运动可知y0，正确的图像是如图（5-2-2），可知z=yx+2的取值范围为0,33在解题中用到数形结合思想时，“数”与“形”的转化过程要注意它的等价性。在转化时如果没有注意到是否等价，那变量的范围有可能会扩大，也有可能会变小。所以画出的图跟实际上的图就会出现差异。由于画出错误的图像求解，所以求出的答案也就不正确了。因此运用数形结合时要注意转化时的等价性。5.3慎用数形结合思想 数形结合虽好，但它不是什么题都能用的，有些题用了它可以复杂简单化，但有些题就未必了。借助几何图形解代数问题，能反映出问题简洁，直观明了的优势是不容否定的，但图形只是一个工具，一种解题的手段，不是理论的依据，图形只是我们思考问题的一种方式，只会为解题提供一些帮助。所以解题时要写出解这道题的理论依据，那样才有说服力，才会是有效