选修1-1综合水平测试2

1、.选修11综合水平测试(二)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1若抛物线的准线方程为x1，焦点坐标为(1,0)，则抛物线的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x答案D解析抛物线的准线方程为x1，焦点坐标为(1,0)，抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p2，抛物线的标准方程为y24x.2有下列四个命题：“若x2y20，则xy0”的否命题；“若xy，则x2y2”的逆否命题；若“x3，则x2x60”的否命题；“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()A0 B1

2、C2 D3答案A解析对于，否命题是“若x2y20，则xy0”，例如，x3，y0时，x2y20，但xy0，是假命题；对于，逆否命题是“若x2y2，则xy”，例如x0，y1时，x2y2，但xy，是假命题；对于，否命题为“若x3，则x2x60”，例如x4时，x2x60，是假命题；对于，“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题所以真命题的个数为0.故选A.3若函数ya(x3x)的递增区间是，则a的取值范围是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1答案A解析依题意得ya(3x21)0的解集为，a0.4命题“x1,2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是 ()Aa4 Ba4Ca5 Da5答案

3、C解析x1,2，1x24，要使x2a0为真，则ax2，则a4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.5设命题p：函数ysin2x的最小正周期为；命题q：函数ycosx的图象关于直线x对称则下列判断正确的是()Ap为真 B綈q为假Cpq为假 Dpq为真答案C解析函数ysin2x的最小正周期为，所以命题p为假；函数ycosx的图象的对称轴为xk，kZ，所以命题q为假，所以綈q为真，pq为假，pq为假6已知双曲线my2x21(mR)与椭圆x21有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x Dy±3x答案A解析椭圆x21

4、的焦点坐标为(0，±2)双曲线my2x21(mR)的焦点坐标为，双曲线my2x21(mR)与椭圆x21有相同的焦点， 2，m，双曲线的渐近线方程为y±x.所以A选项是正确的7k±是直线ykx1与曲线x2y24仅有一个公共点的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析由得(1k2)x22kx50.当k21，即k±1时，有唯一解当k21且0时，也有唯一解，此时k±.所以k±是直线ykx1与曲线x2y24，仅有一个公共点的充分不必要条件8函数yx2sinx的图象大致是()答案C解析因为y2cosx，所

5、以令y2cosx0，得cosx，此时原函数是增函数；令y2cosx0，得cosx，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项C正确9函数f(x)xsinxcosx的增区间是()A(0，) B.C(，2) D.答案D解析f(x)xsinxcosx，f(x)sinxxcosxsinxxcosx.当x时f(x)0，f(x)的增区间为.10已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析由题知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个

6、不同的交点(x0)，则a0.设函数yln x1上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则kly，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a.11过点P(4,0)的直线l与曲线C：x22y24交于A，B两点，则AB中点Q的轨迹方程为()A(x2)22y24B(x2)22y24(1x0)Cx22(y2)24Dx22(y2)24(1x0)答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，则x1x22x，y1y22y，xx2(yy)kABkPQ(x2)22y24，AB中点Q的轨迹方程为(x2)22y24(1x0)12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双曲线x2y21的渐近线

7、与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为y±x，代入椭圆方程得1, 即1，所以x2b2，x±b.所以y±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×bb216，所以b25，所以椭圆C的方程为1，选D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析若0

8、x，则0tanx1，“x，tanxm”是真命题，m1，实数m的最小值为1.14以等腰直角ABC的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_答案解析设等腰直角三角形的直角边长为l，则其斜边长为l，由题意可知，焦距2cl，cl，由椭圆的定义可知2a2l，al，所以离心率e.15已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为_答案x21(x1)解析设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422，点P

9、的轨迹是以M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，b28.故双曲线的方程是x21(x1)16设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)0，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，则不等式0的解集是_答案(，3)(0,3)解析f(x)和g(x)(g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)0.当x0时，0，令h(x)，则h(x)在(，0)上单调递增，h(x)h(x)，h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，

10、)单调递增，f(3)f(3)0，h(3)h(3)0，0的解集为(，3)(0,3)三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围解由x28x200，得x2或x10，p：Ax|x2或x10由x22x1a20(a0)，得x1a或x1a，q：Bx|x1a或x1ap是q的充分不必要条件，A是B的真子集0a3.正实数a的取值范围是(0,318(本小题满分12分)已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线1的离心率e(1,2)，若p，q只有一个为真，求

11、实数m的取值范围解将方程1，改写为1，只有当1m>2m>0，即0<m<时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以，命题p等价于0<m<；因为双曲线1的离心率e(1,2)，所以m>0，且1<<4，解得0<m<15；所以命题q等价于0<m<15；若p真q假，则m；若p假q真，则m<15.综上，m的取值范围为m<15.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ax22xln x.(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)因为f(x)ax2

12、2xln x，当a0时，f(x)2xln x，则f(x)2，令f(x)0得x，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如表：xf(x)0f(x)极小值所以当x时，f(x)的极小值为1ln 2，无极大值(2)由已知f(x)ax22xln x，且x0，则f(x)ax2.若a0，由(1)知f(x)0得x，显然不符合题意；若a0，因为函数f(x)在区间上是增函数，所以f(x)0对x恒成立，即不等式ax22x10对x恒成立，即a21对x恒成立，故amax.而当x时，函数21的最大值为3，所以实数a的取值范围为a3.20(本小题满分12分)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆

13、E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2.解(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以y21.(2)证明：由题意，设直线PQ的方程为yk(x1)1(k0)，代入椭圆方程y21，可得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知得(1,1)在椭圆外，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，且16k2(k1)28k(k2)(12k2)0，解得k0或k2，则有直线AP，AQ的斜率之和为kAPkAQ2k(2k)2k(2k)·2k(2k)·2k2(k1

14、)2，即直线AP与AQ斜率之和为2.21(本小题满分12分)已知点F为抛物线E：y22px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2) 证法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从

15、而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切证法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r.又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切22(

16、本小题满分12分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M.(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0或x，又x0,2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1，故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max.由(1