202X版高考数学一轮复习第十二章立体几何12.1空间几何体的表面积和体积课件

1、第十二章 立体几何12.1空间几何体的表面积和体积高考数学高考数学 (江苏省专用)五年高考A A组组 自主命题自主命题江苏卷江苏卷题组题组1.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.答案答案10解析解析本题考查长方体、三棱锥的体积公式,考查学生的空间想象能力、运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.因为长方体的体积是120,所以2SBCDCC1=120,则SBCDCC1=60.所以VE-BCD=SBCDEC=SBCDCC1=60=10.13131216评析评析本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体

2、积公式,找出底面面积与高的关系,不需要求出具体的底面面积和高是多少.2.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案答案43解析解析本题考查组合体体积的计算.多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为,高为1,其体积为()21=,多面体的体积为.21322343名师点睛名师点睛解题的关键要认清空间中的点、线、面的位置关系,要重点掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.对于一些常见的几何体,如棱长为a的正方体或正四面体,要会求相关线段的长度、有关面积与体积,掌握好特殊几何体,能更好地提升空间想象能力.

3、3.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.12VV答案答案32解析解析设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,=.12VV23243RRR32名师点睛名师点睛空间几何体体积问题的常见类型及解题策略:(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.4.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆

4、锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案答案7解析解析原两个几何体的总体积V=524+228=.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r0),则r24+r28=,解得r2=7,从而r=.1319631319637B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一空间几何体的表面积考点一空间几何体的表面积1.(2018课标全国理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45.

5、若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.7815答案答案402解析解析本题考查了圆锥的性质和侧面积的计算,考查了异面直线所成的角和线面角.因为母线SA与圆锥底面所成的角为45,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l=r.在SAB中,cosASB=,所以sinASB=.因为SAB的面积为5,即SASBsinASB=rr=5,所以r2=40,故圆锥的侧面积为rl=r2=40.278158151212221581522疑难突破疑难突破利用底面半径与母线的关系,以及SAB的面积值求出底面半径是解题的突破口.2.(2018课标全国文改编,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别

6、为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为.答案答案12解析解析本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2,圆柱的表面积S=2r2+2rh=4+8=12.2解题关键解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.3.(2018课标全国理改编,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为.答案答案3 34解析解析本题主要考查空间直线与平面的位置关系及其所成角问题.由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平

7、面所成的角均相等.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以平面A1BD,当平面趋近点A时,截面图形的面积趋近于0;当平面经过正方体的中心O时,截面图形为正六边形,其边长为,截面图形的面积为6=;当平面趋近于C1时,截面图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为.22342223 343 34解题关键解题关键利用正方体的性质,将每条棱所在直线与平面所成角转化为共顶点的三条棱所在直线与平面所成角是解决本题的关键.4.(2017课标全国文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.

8、答案答案14解析解析本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2=,所以球O的表面积为4R2=14.72疑难突破疑难突破明确长方体的体对角线为球的直径是求解的关键.易错警示易错警示易因用错球的表面积公式而致错.5.(2017课标全国文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案答案36解析解析由题意作出图形,如图.设球O的半径为R,由题意知SBBC,SAAC,

9、又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=R.连接OA,OB,则OASC,OBSC,因为平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,所以OA平面SCB,所以OAOB,则AB=R,所以ABC是边长为R的等边三角形,设ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1平面ABC,CO1=R=R,则OO1=R,则VS-ABC=2VO-ABC=2(R)2R=R3=9,22223322632263RR33133423313所以R=3.所以球O的表面积S=4R2=36.6.(2017课标全国文,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PA

10、B平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.83解析解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=ABADPE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,

11、PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin60=6+2.2221313138322121212123方法总结方法总结1.面面垂直的证明证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面.2.线面垂直的证明(1)证明直线l垂直于平面内的两条相交直线.(2)若已知两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.3.几何体的体积柱体的体积V=S底h.锥体的体积V=S底h.134.几何体的表面积直棱柱的侧面积S侧=C底l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.考点二空间几何体的体积考点二空间

12、几何体的体积1.(2019课标全国理改编,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为.答案答案6解析解析本题考查线面垂直的位置关系、三棱锥的性质和球的体积公式,考查空间想象能力和数学运算能力,考查的核心素养是直观想象和数学建模.解法一:E、F分别是PA、AB的中点,EFPB.CEF=90,EFEC,PBEC,又三棱锥P-ABC为正三棱锥,PBAC,从而PB平面PAC,三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC=,则球O是棱长为的正方体的外接

13、球,设球O的半径为R,则2R=,R=,球O的体积V=R3=.223262436解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC=.在PAC中,cosAPC=.在PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx=x2+2,在FEC中,CEF=90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x=,PA=PB=PC=2x=.AB=BC=CA=2,三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,PA、PB、PC两两垂直,故球O是棱长为的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R=,R=,球O的体积V=R3=.322244424xxx22212

14、xx22212xx22223262436解题关键解题关键三棱锥与球的切、接问题,关键是确定三棱锥的特殊性.本题中确定三棱锥的侧棱长是关键.通常情况下,把空间问题转化为平面问题后通过解三角形完成,充分利用平行、垂直的特殊位置关系更有利于解题.2.(2019课标全国理,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案答案118

15、.8解析解析本题考查长方体、四棱锥的体积公式;考查学生的空间想象能力和运算能力,以及应用意识与数形结合的思想;考查的核心素养是直观想象和数学运算.依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积V=V长方体-V四棱锥=664-463=132(cm3).又制作该模型所需的原料密度为0.9g/cm3,故制作该模型所需原料的质量为0.9132=118.8(g).1312易错警示易错警示计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理求得HE=,错认为底面面积为13.2223133.(2019天津理,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面

16、的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.25答案答案4解析解析本题考查了圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的空间想象能力和转化思想方法的应用,体现了直观想象的核心素养.如图所示,圆柱的高O1O=PO=1,圆柱的底面半径r=AO=.所以圆柱的体积V=r2O1O=1=.121222PAAO125 112121444.(2019课标全国文,16,5分)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为.3答案答案2解析解析本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质,点

17、到平面距离的计算等知识点;考查了考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查的核心素养为直观想象.设PO平面ABC于O,PEAC于E,PFBC于F,连接OE、OF、OC,PO平面ABC,POAC,又POPE=P,AC平面POE,ACOE,同理有BCOF,四边形OECF为矩形,PC=PC且PE=PF,RtPEC RtPFC,EC=FC=1,四边形OECF是边长为1的正方形,OC=,在RtPOC中,PO=.22PCPE222PCOC2思路分析思路分析设PO平面ABC,作PEAC,PFBC,根据线面垂直的判定与性质判定四边形OECF为矩形,根据RtPEC RtPFC,得出EC=FC,进而判断

18、出四边形OECF是正方形,从而得出OC的长,进一步在RtPOC中求出PO的长,即点P到平面ABC的距离.5.(2018课标全国文改编,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为.答案答案82解析解析本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角.如图,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1,BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影,AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角,即AC1B=30,在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2,在RtBCC1中,CC1=2,该长方体的体积V=222=8.

19、3221BCBC22(2 3)2222易错警示易错警示不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.方法总结方法总结用定义法求线面角的步骤:(1)找出斜线上的某一点在平面内的射影;(2)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角;(3)构建直角三角形,求解得出结论.6.(2018课标全国理改编,10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为.3答案答案183解析解析本题考查空间几何体的体积.设ABC的边长为a,则SABC=aasin60=9,解得a=6(负值舍去).ABC的外接圆半径r满足2r

20、=,得r=2,球心到平面ABC的距离为=2.所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18.1236sin603224(2 3)13337.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案答案112解析解析本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积.由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为,即底面面积为,由正方体的性质知,四棱锥的高为.故四棱锥M-EFGH的体积V=.2212121312121128.(2018天

21、津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案答案13解析解析本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积.四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1=,又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1-BB1D1D的高为A1C1=,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为=.22122213222139.(2017课标全国理改编,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为.答案答案34解析解析本题考查球的内接圆柱的体积.设圆柱的底面半径为r,则r2+=12,解得r=,V圆柱=1=.2123

22、22323410.(2017课标全国理,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.答案答案415解析解析由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO并延长交AB于H,连接DO、DH.则DO平面ABC.令OH=xcm,则OC=2xcm,DH=(5-x)cm,得OD=cm,AB=2xcm.则VD

23、-ABC=x2=x2cm3,令f(x)=x2,则f(x)=,则当x(0,2)时,f(x)单调递增,当x(2,2.5)时,f(x)单调递减,所以当x=2时,体积取最大值,为4=4cm3.22(5)xx25 10 x31312 332xx25 10 x325 10 x1552x1552x152125252xxxx215(105)52xxx3515方法总结方法总结求解立体几何中的最值问题时,注意先要引入自变量x,再根据几何体的点、线、面的位置关系表示几何体中的相关量,进而建立目标函数,最后利用函数的性质来求解最值.11.(2017天津理改编,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正

24、方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案答案92解析解析本题考查正方体的表面积及外接球的体积.设这个正方体的棱长为a,由题意可知6a2=18,所以a=,所以这个正方体的外接球半径R=a=,所以这个正方体外接球的体积V=R3=.33232434333292方法总结方法总结找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体的外接球转化成长方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2.找几何体底面的外心O1,过O1作底面的垂线l1,再找几何体一侧面的外心O2,过O2作该侧面的垂线l2,则l1与l2的交点即为外接球的球心.12.(2016课标全国理,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC

25、-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是.答案答案92解析解析易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径2R=3,则R=,此时球的体积V=R3=.1212324392思路分析思路分析根据题意分析出当球与直三棱柱的上、下底面相切时,球的体积最大,由此可求出最大球的半径R,代入球的体积公式求值即可.方法归纳方法归纳解决此类题时要清楚当球与柱体的侧面或底面相切时体积最大.13.(2016浙江,14,4分)如图,在ABC中,A

26、B=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.答案答案12解析解析已知PD=DA,PB=BA,故PDB可看作是由ADB沿BD向上翻折而成的.当BD与AC不垂直时,无论折叠到何种位置,PD都不垂直于BD,从而PD不垂直于平面ABC,因此VP-BCD0),则斜高为x,所以()2+x2=(x)2,解得x=1,所以棱长为2,表面积为S=4+422sin60=4+4.323123名师点睛名师点睛1.求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何问题的出发点.2.求不规则几何体的表面

27、积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体相应面的面积,再通过求和求得几何体的表面积.2.(2019海安中学检测,8)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2,则其母线与轴的夹角的大小为.答案答案3解析解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则S侧面积=rl,S轴截面=2r,=2,l2=r2,即l=r.设母线与轴所成的角为,则sin=,又00.所以S=rl=r=.(8分)记f(h)=+h,则f(h)=-+1=,令f(h)=0,得h=6.(10分)当h(0,6)时,f(h)0,f(h)在(6,+)上单调递增.(12分)所以,当h=6时,f(h)最小,此时S最小.(13分)答

28、:当容器的高为6米时,制造该容器的侧面用料最省.(14分)1322rh22635555133 36h108h22rh422rr h222108108hhh22108108hh1082108hh2108h3216h33216hh一、填空题(每小题5分,共35分)B B组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组(时间：30分钟 分值：50分)1.(2019七市第二次调研,10)设P,A,B,C为球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=2m,PB=3m,PC=4m,则球O的表面积为m2.答案答案29解析解析如图,将三棱锥P-ABC置于长方体中,

29、该长方体的外接球就是经过P,A,B,C四点的球,PA=2m,PB=3m,PC=4m,长方体的体对角线的长为=m,即外接球的直径2R=m,可得R=m,因此,球O的表面积S=4R2=4=29m2.222PAPBPC292929222922.(2019苏州期末,9)如图,某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体,该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆,与底面相对的顶点在半球面上,则被挖去的正三棱锥体积为.答案答案23解析解析底面正三角形的边长为22cos30=2,底面正三角形的面积S=22sin60=3,三棱锥的高h=2,则正三棱锥的体积V=32=2.31233313333.(

30、2019如皋检测,8)如图所示的几何体是一个五面体,四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=2,且MNAB,MN=3,ADM与BCN都是正三角形,则此五面体的体积为.答案答案11 116解析解析因为AB=4,BC=2,且MNAB,MN=3,ADM与BCN都是正三角形,所以可将五面体补形为直三棱柱ADE-BCF(如图),其中NFBF,BN=2,NF=,所以BF2=CF2=22-=,取BC中点O,连接FO,则FO=,所以SBCF=BCFO=,故五面体的体积为VADE-BCF-2VN-BCF=4-2=.1221215422BFBO11212112112131121211 116名师点睛名师点睛不规则几

31、何体体积的求解,关键是将几何体看作是多个规则几何体(如柱、锥、台、球)的组合体,利用割补法求解,注意运算的准确性.4.(2019如东中学、栟茶中学期末,10)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),折叠成底面边长为2的正四棱锥S-EFGH(如图2),则正四棱锥S-EFGH的体积为.2答案答案8 23解析解析过S作SPHG于点P,连接EG,FH交于点O,连接SO,OP.如图.根据题意,SP=(BD-2)=3,SO=2.V=S四边形EFGHSO=42=.1221SP 2131328 235.(2019七大市三模,9)已知直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB

32、=3cm,BC=1cm,CD=2cm.将此直角梯形绕AB边所在直线旋转一周,由此形成的几何体的体积为cm3.答案答案73解析解析如图,将此直角梯形绕AB所在直线旋转一周所得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥构成的.V=BC2CD+DE2AE=(cm3).1373评析评析本题考查旋转体体积的计算,要分清楚旋转体的组成部分,熟记体积公式,是基础题.6.(2017南京、盐城一模,10)如图,将矩形ABCD绕边AB所在直线旋转一周得到一个圆柱,AB=3,BC=2,圆柱上底面圆的圆心为O,EFG为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥O-EFG体积的最大值是.答案答案4解析解析由题意可得三棱锥O-EFG的

33、高即为圆柱的高,为AB,当三棱锥O-EFG体积取最大值时,EFG的面积最大,易知当EF为下底面圆的直径,且G在EF的垂直平分线上时,EFG的面积最大,(SEFG)max=42=4,三棱锥O-EFG体积的最大值Vmax=(SEFG)maxAB=43=4.121313思路分析思路分析三棱锥O-EFG的高即为圆柱的高,为AB,当三棱锥O-EFG体积取最大值时,EFG的面积最大,当EF为下底面圆的直径,且G在EF的垂直平分线上时,EFG的面积最大,(SEFG)max=42=4,由此可求出三棱锥O-EFG体积的最大值.127.(2017扬州期末)已知一个长方体的表面积为48,12条棱的长度之和为36,则

34、这个长方体的体积的取值范围是.答案答案16,20解析解析设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,体积为V,则由题设可得可得b+c=9-a,a(b+c)=24-bc,故bc=24-9a+a2,从而V=abc=a(24-9a+a2)=a3-9a2+24a,由b+c2,可得(9-a)24(24-9a+a2),所以1a5,而V=3a2-18a+24=3(a-2)(a-4),V在1,2),(4,5上单调递增,在(2,4)上单调递减,由V(2)=V(5)=20,V(4)=V(1)=16,结合函数图象可得长方体的体积的取值范围为16,20.9,24,abcabbccabc思路分析思路分析长方体的体积与表面积都与棱长有关,由已知可以得出棱长的关