圆锥曲线-直线与双曲线的位置关系

1、椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习复习: :相离相切相交直线与双曲线位置关系：直线与双曲线位置关系：XYO初步感知初步感知分类分类:相离；相切；相交。相离；相切；相交。根据交点个数判定根据交点个数判定XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交: :一个交点一个交点相交相交: :两个交点两个交点相切相切: :一个交点一个交点图象法图象法: :把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双

2、曲线的渐近线平行渐近线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0 21,8 ,ABP弦的中点是 2k 8-k中点坐标公式与韦达定理,得-=1 3k -4 22由1 3 得k = 12x直线AB的方程为y-81 = 即直线AB的方程为x-2y+15=0典型例题典型例题: :112222112222,44,44A x yB xyxx解法二:设则yy111112124,yyyyxxxx1,8 ,ABP弦的中点是12122,16.xxyy1112168,yyxx1112

3、1,2yyABxx直线的斜率为12x直线AB的方程为y-81 = 即直线AB的方程为x-2y+15=0典型例题典型例题: : 例例4 4 设两动点设两动点A A、B B分别在双曲线分别在双曲线 的两条渐近线上滑动，且的两条渐近线上滑动，且|AB|AB|2 2，求线段，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .2214xy-=ox xy yB BA AM M22414xy+=1122212122,2,2222Ay yByyAByyyy设则由得典型例题典型例题: :22yx5.LC :1A,B35例例 已已知知直直线线与与双双曲曲线线相相交交于于两两点点. .与与双双曲曲线线的的渐

4、渐近近线线相相交交于于C C, ,D D两两点点, , 求求证证: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需证明线段分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。的中点重合即可。证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 典型例题典型例题: :2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 与与相相交交于于两两点点22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210kbL,D,5k30,xx35k 与渐近线相交于C两点与渐近线相交于C两点可可见见A

5、 AB B, ,C CD D的的中中点点横横坐坐标标都都相相同同, ,从从而而中中点点重重合合. .(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.证明证明: (1)若若L有斜率，设有斜率，设L的方程为的方程为:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 典型例题典型例题: : 2222练练习习题题: :已已知知双双曲曲线线C:2x -y =2C:2x -y =2与与点点P 1,2 .P 1,2 .1 1 求求过过点点P 1,2P 1,2 的的直直线线l l的的斜斜率率k k的的取取值值范范围围, ,使使l l与与

6、C C有有一一个个交交点点? ?两两个个交交点点? ?没没有有交交点点? ?2 2 是是否否存存在在过过P P的的弦弦AB,AB,使使ABAB的的中中点点为为P?P?3 3 若若Q 1,1 ,Q 1,1 ,试试判判断断以以点点Q Q为为中中点点的的弦弦是是否否存存在在? ? 312;223.kk 或存在直线y=x+1;不存在练习题练习题: :典型例题典型例题: : 2222222222222222xyxy例例6 6 双双曲曲线线C:-=1 a0,b0C:-=1 a0,b0 的的离离心心率率为为2,2,abab4 4且且 OA+ OB=OAOB ,OA+ OB=OAOB ,其其中中A 0,-b

7、,B a,0 .A 0,-b ,B a,0 .3 31 1 求求双双曲曲线线C C的的方方程程. .2 2 若若双双曲曲线线存存在在关关于于直直线线l: y = kx+4l: y = kx+4的的对对称称点点, ,求求实实数数k k的的取取值值范范围围. . 22113yCx 双曲线 的方程为 2:0,.k 解 当时 显然不成立0,k 当时 设双曲线上关于直线l:y=kx+4对称的两点为P,Q.1lxbk 由PQ,可设直线AB的方程为y=-2211 ,3yxbxk将y=-代入中 得222231230kxkbxbk2310,k 显然222222224 3130,310kbkbkk bk =即典型

8、例题典型例题: :0002202,31331xykbxkk byk又由根与系数的关系,得PQ的中点M的坐标为00,xylM在直线 上2222234,313131k bkbk bkkk即 222210k bk b把代入得01bb 解得或2222313101kkkk 或31,0.32kkk即或且3,3311,00,.322k 的取值范围是典型例题典型例题: :已知直线已知直线y=ax+1与双曲线与双曲线3x2-y2=1相交于相交于A、B两点两点.是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称？对称？若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.练习题练习题:

9、 :解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须0,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上，例例7、直线、直线y-ax-1=0和曲线和曲线3x2-y2=1相相交，交点为交，交点为A、B，当，当a为何值时，以为何值时，以AB为为直径的圆经过坐标原点。直径的圆经过坐标原点。1212222a2xx,x x3a3a 典型例题典型例题: :解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 又

10、设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须0,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 典型例题典型例题: : 2 22 21212121212121212y y例例8:8:已已知知双双曲曲线线方方程程: x -=

11、1.: x -=1.2 21 1 过过点点A 0,1A 0,1 作作直直线线l l交交双双曲曲线线于于P ,PP ,P 两两点点, ,1 1若若线线段段P PP P 的的中中点点在在直直线线x =x =上上, ,求求直直线线l l斜斜率率k k的的取取值值范范围围, ,2 22 2 过过点点B 0,bB 0,b 作作斜斜率率为为k kk k0 0 直直线线, ,交交双双曲曲线线于于Q ,QQ ,Q 两两点点, ,1 1若若线线段段Q QQ Q 的的中中点点在在直直线线x =x =上上, ,求求b b的的取取值值范范围围. .2 20k 解:设直线l的方程为y=kx+12222,2230.12k

12、xkxyy=kx+1由得x22220.412 20kkk 33,2k 解得-k1 21.2PP的中点在直线x=上12211.222kxxk=13.k 典型例题典型例题: : 12121112221202,1,.2bx yxyMy解:设直线Q Q 的方程为y=k x-1直线Q Q 与双曲线交于Q,QQ Q 的中点 12345则2211222212121212yx-=1 2yx-=1 2x +x =1 y +y =-k+2b y -y=k x -x 12 ,345,11202kkb 并把代入 得2220kbk即2280b因关于k的方程应有两个解,故=22bb 或典型例题典型例题: : 例例9 9

13、过双曲线过双曲线的右焦点的右焦点F F作倾斜角为作倾斜角为6060的直线的直线l，若直线，若直线l与双与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围取值范围.222210,0 xyababoF Fx xy yle22，）2222222222222222222222xyxy-=1-=1abab由由, ,得得y =3 x-cy =3 x-cb -3ax +6a cx- 3c +ba =0b -3ax +6a cx- 3c +ba =0典型例题典型例题: :练习练习: : 2222直直线线m: y = kx+1m: y = kx+1和和双双曲曲线线x

14、 -y =1x -y =1的的左左支支交交于于A,BA,B两两点点, ,直直线线l l过过点点P -2,0P -2,0 和和线线段段ABAB的的中中点点. .1 1 求求k k的的取取值值范范围围. .2 2 是是否否存存在在k k值值, ,使使l l在在y y轴轴上上的的截截距距为为1?1?若若存存在在, ,求求出出k k的的值值; ;若若不不存存在在, ,说说明明理理由由. . 1 12;2.kk不存在例例9、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF

15、12FF说明：双曲线上一点说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为焦点三角形，其中的三角形称之为焦点三角形，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF典型例题典型例题: :练习、设双曲线练习、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）

16、设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 练习练习: : 6 61 e1 e, 2, 2 2,+2,+2 217172 a =2 a =13131 .1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；2. 2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。使问题获解，但须注意检验直线与双曲线

17、是否相交。3.3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别式大于零列不等式求解。式大于零列不等式求解。小结：小结： 221.直线l:y =kx+1与双曲线C:2x -y =1右支交于不同的两点A,B1 求实数k的取值范围;2 是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.2.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点且互相垂直，又知C的一个焦点与点A 1, 2-1 关于直线y = x-1对称

18、.1 求双曲线C的方程.2 是否存在直线y =kx+b与双曲线C交于P,Q两点,使 2PQ恰被点,1 平分?33 设直线y =mx+1与双曲线C的右支交于B,C两点,另一直线l经过M -2,0及CB的中点,求直线l在y轴上的截距t的取值范围.作业：作业：3课本 组题2 22 2y y.(B4).(B4)给给定定双双曲曲线线x-= 1,x-= 1,过过点点P(1,1)P(1,1)2 2能能否否作作直直线线L L使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点A,B,A,B,且且P P是是线线段段ABAB的的中中点点? ?说说明明理理由由. .11221122解解 : : 假假设设存存在在A(x ,y ),B(x ,y )A(x ,y ),B(x ,y )为为直直线线L L上上的的两两点点, ,且且ABAB的的中中点点为为P,P,则则有有 : :2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )作业：作业：12121212y - yy - y= 2= 2，即即k = 2k = 2x - xx - x L L方方程程为为 : y - 1 = 2(x