高等数学第五章积分

1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个

2、分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabyo1xix1ixi2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运

3、动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极

4、限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxo二、定积分定义二、定积分定义 ( P225 ),)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限

5、积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A机动 目录 上页 下页 返回 结束 o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 可积的充

6、分条件可积的充分条件:(证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注注 目录 上页 下页 返回 结束 注注 利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1

7、(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 x01ni 1ni说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积

8、分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 返回 结束 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质三、定积分的性质

9、(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxf

10、d)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)( x

11、f)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)

12、(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn例例4.

13、计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T机动 目录 上页 下页 返回 结束 otgv vTt221TgS 内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sin

14、lim10nknnkIn110dsinxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. P233 题33. P233 题8 (2) , (4)题8(4) 解解: 设, )1ln()(xxxf则xxf111)( 1 ,0(x,0)(xf 1 ,0(,0)0()(xfxf0d)(10 xxf即xxxxd)1 (lnd1010机动 目录 上页 下页 返回 结束

15、 作业作业 P233 2 (2) , 4 6 (3) , (4) ; 7(3) ; 8 (1) , (5) 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 .

16、)()(的原函数是这里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数, ,)(baCxf则变上限函数xattfxd)()(证证:, ,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf说明说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为

17、通过原函数计算定积分开辟了道路 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)sin(2cosxex例例1. 求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21

18、c ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)( xF机动 目录 上页 下页 返回 结束 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证

19、: 根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数 , 则例例4. 计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例5. 计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(机动 目录 上页 下页 返回 结束 yoxxysin例例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,2sm5a解解: 设开

20、始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶 , 其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时,0)(tv即,0510 t得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk刹车, 问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离? 内容小结内容小结, )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有1. 微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼兹公式2. 变限积分求导

21、公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 123234)(2xxxf备用题备用题解解：1. 设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数 ,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解：20dsin2sinx

22、xnxIn的递推公式(n为正整数) . 由于,dsin) 1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnII12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxI其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1. 设函数, ,)

23、(baCxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 则说明说明: :1) 当 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算反常积

24、分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2. 设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似

25、地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11

26、机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a ,

27、所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q a) .定理定理7. (极限审敛法2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 ，且若0)(, ,()(xfbaCxf;d)(,收敛时xxfba.d)(,发散时x

28、xfbalq0, 10lq0, 1lxfaxqx)()(lim则有: 1) 当2) 当例例5. 判别反常积分.lnd31的敛散性xx解解:,1为瑕点此处x利用洛必达法则得xxxln1) 1(lim1xx111lim1根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .例例6. 判定椭圆积分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于 1limx的敛21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 类似定理5, 有下列结论:,)(d)(baaxxf

29、收敛为瑕点若反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 判别反常积分xxxdln10的敛散性 .解解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛 . ,0为瑕点此处x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故对充分小从而 4141lnlnxxxxx411x据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .则反常积分 三、三、 函数函数1. 定义定义:函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在0s内收敛 . 1121011d,dxexIxexIxsxs.) 11I讨论)0(d)(01sxexsxs令;,11是定积分时当Is ,10时当 sxsxsexex1111sx1

30、1, 11s而.21收敛知根据比较审敛法I)(的反常积分含参变量s机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1xsexxsxex1lim.)22I讨论2lim xx0112d xexIxs.12收敛知根据极限审敛法I综上所述 , 21)(IIs.0上收敛在s2. 性质性质(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部积分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: ,) 1(

31、)(sss.)(,0ss时当1) 1 (,0)(连续在且可证明ss)(,0ss时(3) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有时当,21s)(21(证明略)(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,2ux 的其他形式)(s)0(d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu,12ts再令,21 ts即得应用中常见的积分) 1(2121d02ttueuut这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,0d2ueu21212内容小结内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法比较审敛法和极限审敛法极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页

32、下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .3. 函数的定义及性质 .思考与练习思考与练习P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2) 作业作业P263 1 (3), (4), (5), (8)2 ; 3习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五五章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2

33、. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因为 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx因为 依赖于且1) 思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理eenn1lim原式0不对不对 !,n.10机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . px11ppxx11) 10( x1px1 如, P265 题4nnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：

34、解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(考研98 ) 11limnnn例例2. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: :nnnnnnnJ1212sinsinlim提示提示: :由上题1sinlimnIJnn11) 1(sinnnnn?11) 1(sinlimnnnnn222sinsin1sinlim1212nnnnnnnnnI00机动 目录 上页 下页 返回 结束 故练习练习: 1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn

35、解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边= 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.d411032xxx估计下列积分值解解: 因为 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明.2d222042exeexx证证: 令,)(2xxexf则xxexxf2) 12()(令,

36、0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设)(xf在1 ,0上是单调递减的连续函数， 试证1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q当时,)()()1 (21ffqq0故所给不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何

37、例例6.解解：, 3) 1 (,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数 , 求. )(xf方程两端对 x 求导, 得)( yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x = 1, 得) 1 (d)()(1fyttfyyfy再对 y 求导, 得) 1 (1)(fyyfy3Cyyf ln3)(, 3, 1Cy得令3ln3)(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例7.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得)()(2x

38、fxfxxxfcos2sin)(不妨设 f (x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解解: 令, t xu 10302d) 1(d)(xxttfttxfx则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx

39、0d) 1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d) 1() 1( xfxxx443)(xf ) 1(2xf) 1( xfx4122x可见 f (x) 应为二次多项式 , 设cbxaxxf2)(代入 式比较同次幂系数 , 得. 1,4, 3cba故143)(2xxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d

40、23112111ttt机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求.d12ln02xex解解: 令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2yox4xs

41、inxcostttcbcadcos99例例11. 选择一个常数 c , 使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令, cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 设,d)(022yexfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(

42、61e机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 若, 1,0)(Cxf解解: 令试证 :xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20, xt则xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为xxfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证: 令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此, )0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成