直线与平面习题精选精讲

1、 直线与平面（1）线面关系空间图形起源平面直线问题在平面几何中已经解决，这里所说的线面关系是平面和平面外的直线关系.一条直线和一个平面的位置关系有三种：直线在平面内有无数个公共点；直线和平面相交有且只有一个公共点；直线和平面平行没有公共点.一杆立地，使图形从平面伸展到空间，因此说空间线面关系是空间图形的起源.直线与平面垂直，是空间图形的支柱，也是高考的重点、热点和难点.【例1】如图（1），已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点（）求证AM平面BDE；（）求证AM平面BDF；【解析】()记AC与BD的交点为O,连接OE,如图（2） 图（1） O

2、、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE图（2） 图（3）（）如图（3），BDAC，BDAF，且AC交AF于A，BD平面AE，又因为AM平面AE，BDAM.AD=，AF=1，OA=1，AOMF是正方形，AMOF，又AMBD，且OFBD=O.AM平面BDF.【点评】 线面平行只要平面外一条直线与平面内的一条直线平行就能判定，即最终于由两条直线决定；而线面垂直时，需要平面外一直线与平面内两条直线垂直，而且这两条直线必须相交，即需要三条直线决定.（2）线线关系寻找平面依托直线与平面位置关系的判定是通过直线与平面内的直线的

3、位置关系而确定的，即通过线线关系而最终确定.但，空间直线不能“悬空”，空间直线要寻找平面为依托.空间线线关系有三种，相交和平行属平面几何范畴，只有异面直线是空间图形的象征.异面直线的定义为“不同在同一平面内的两条直线叫做异面直线”这才是空间概念.异面直线既是空间图形的开场白，也是空间图形的结束语.空间图形一开场，就介绍了异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.直到空间图形的理论学完，才会用“角度和距离”来确定两异面直线间的相对位置.从根本上讲，研究空间图形，就是研究两异面直线间的关系.【例2】已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：若；若

4、；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是（ ）A1B2C3D4【解】举反例，找模型，如图（4）.如图所示：AB=a,BC=b,CC1=c，而AB与CC1是异面直线，即a、c是异面直线；所以不正确；是正确的；在右图中取AB=a,平面CDD1C1是平面，CC1=b,而AB与CC1是异面直线，即a与b是异面直线；右图中设AB=a,MN=b，平面CDD1C1为，则b也平行于，所以也不正确；在图中设AB=a,B1C1=b,则垂直于a,b的直线有 图（4）AA1，BB1，CC1，DD1，MN.所以也不正确所以真命题只有，即真命题的个数只有1个，答案选

5、A.【点评】 线离不开面，因此我们选择了一个正方体作模型，线与线的关系一目了然.（3）面面关系归到线面处理不同的平面建构出了空间，也就是说空间是由（不同）平面建设起来的.如何解决空间图形问题？通俗地说：从哪儿来，回哪儿去！面面关系问题，首先退到线面关系上去研究.两个平面的平行问题, 退到直线与平面平行上去研究； 两个平面的垂直问题，退到直线与平面垂直上去研究；两个平面所成二面角的问题，退到平面角上去研究.这就是空间几何：从概念上讲，从平面“进到”空间见所有的判定定理；从研究上讲，从空间“退到”平面见所有的性质定理.【例3】已知：，l，求证：l【证法一】：如图（5），在内取一点P，作PA垂直于与

6、的交线于A，PB垂直 于与的交线于B，则PA，PB，l，lPA，lPB，与相交，PA与PB相交，又PA，PB，l图（5） 图（6）【证法二】：如图（6），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，m，n，mn，又n，m，ml，l图（7）【证法三】：如图（7），在l上取一点P，过P作的垂线l【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这是证法一、证法二的关键证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添

7、加了l这条辅助线，这是证法三的关键通过比较，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法 通法 特法 妙法（1）定理法判定与性质的双刃剑线线关系，线面关系及面面关系的判定定理及性质定理，都是判定它们的关系的理论依据.【题1】在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.【解析】 (1)证明：AB=AC，D是BC的中点， 图（9）

8、ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面MBC1侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C.MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=A

9、A1，AM=MA1.【点评】本题用到线面垂直、面面垂直的判定与性质定理. (3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.（2）转化法空间图形退到平面1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【题2】 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求证：MN平面BCE.【分析】 证法

10、一利用线面平行的判定来证明.证法二通过证面面平行来证线面平行.【证法一】：作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQAB.MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE. 图（11） 图（12）【证法二】：如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得MN平面BCE.【点评】 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)线(外)线(外)面.或转化为证两个平面平行.证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.（3）模型法抽象关系变为具体构造辅助图形解立体几何题是立体几何解题中的一个常见技巧，在求解有关位置关系问题中最为突出，可以通过构造平行六面体来解有关线面位置关系问题.有时还需要将这个平行六面体视为最为特殊的正方体来处理.【题3】 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两