平面向量相关题目解题技巧

1、平面向量相关题目解题技巧天津工业大学 殷航平面向量作为高中数学的重点内容，其相关题目也是高考中的难题。因此，就需要我们掌握一些技巧。下面笔者抛砖引玉分条介绍这些技巧，希望能助同学们一臂之力。一 、化一般为特殊例1ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，OH=m（OA+OB+OC），则实数m=_ 分析：取A=90°则A、H重合，O为BC的中点OB+OC=0OH=mOA= mOHm=1二、 建立坐标系例2已知向量a、b、c两两所成的角相等，并且a=1 b=2 c=3，求a+b+c的长度及与三已知向量的夹角解：由已知a，b，c两两成120°角，建立坐标系使c=（0，3）a

2、=（-31/2/2，-1/2）b=（31/2，-1）a+b+c=（31/2/2，3/2）a+b+c=31/2，a与a+b+c所成的角为cos=（a+b+c）a/a+b+ca=-31/2/2a与a+b+c所成的角为150°同理，b与a+b+c所成的角为90°c与a+b+c所成的角为30°推广：利用平面向量基本定理（如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那麽对这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数12使a=1e1+2e2，其中e1，e2是一组基底）设一组基底解题例3如图所示，平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上且BN=BD/3求证：M、N、C三点

3、共线 设一组基底i，j分别与向量AB，AD同向AB=6i AD=6jMB=3i MC=MB+BC=3i+6jMN=MB+BN=1/2AB+1/3BD=1/2AB+1/3（AD-AB）=1/6AB+1/3AD=i+2jMC=3MNM、N、C三点共线三、xa+yb的处理方法1、利用a-ba±ba+b2、平方：转化为x2a2+2xyab+y2b2例4（04湖南）已知向量a=（cos，sin）向量b=（31/2，-1）则2a-b的最大值，最小值分别为（ ）A 4（2）1/2，0 B 4，2（2）1/2 C 16，0 D 4，0法12a-b2a-b2a+b2a=b=22a-b=0 2a+b=4

4、即02a-b4 选D法2 2a-b2= 4a2-4ab+b2=8-4（31/2cos-sin）=8-8cos（+/3）-1cos（+/3）102a-b21602a-b4 选D 四、 利用重要结论：向量OA、OB、OC，终点A、B、C共线的充要条件是存在实数、且+=1使得OC=OA+OB例5设a，b是两个不共线的非零向量tR，若OA=a，OB=tb，OC=1/3（a+b）则t为何值时A、B、C三点共线解：若A、B、C三点共线,则OC=（1-）OA+OB=（1-）a+tb 1-=1/3t=1/3 =2/3t=1/2 t=1/2时A、B、C三点共线五、利用平面几何知识解题例6（03天津）O是平面上一

5、定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 AB AC OP=OA+ AB +AC 0,+）则P的轨迹一定通过ABC的( )A外心 B内心 C重心 D垂心 分析:由已知 AB ACAP= AB+ACAP与BAC的平分线共线即P的轨迹一定通过ABC的内心六、将向量问题转化为解析几何问题例7已知向量OB=(2,0)向量OC=（2，2）向量CA=（21/2cos，21/2sin）则向量OA与向量OB的夹角的范围为（ ）A0，/4 B/4，5/12 C5/12，/2 D/12，5/12分析: 以O为坐标原点建立坐标系如图可知，点A的轨迹为圆C：（x-2）2+（y-2）2=2设向量OA与向量OB

6、的夹角为圆C过O的切线方程为y=kx，k=tan （x-2）2+（y-2）2=2y=kx得（k2+1）x2-4（k+1）x+6=0=16（k+1）2-46（k2+1）=0解得k=2±31/2tan的最大值为2+31/2tan的最小值为2-31/2/12，5/12 选D七、投影法例8（06四川）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（ ）A P1P2P1P3B P1P2P1P4C P1P2P1P5D P1P2P1P6分析:P1P2P1Pi=P1P2P1PicosP1P2，P1Pi（i=3，4，5，6）要找P1P2P1Pi的最大值，即找P1Pi在P1P2方向上投影的最大值如图P1Pi在P1P2方向上的投影分别为P1Q1，P1P2，P1，-P1Q2，所以P1Q1最大即P1P2P1P3最大，选A八、拆分向量法例9（04湖北）如图在RtABC中已知BC=a若长为2a的线段PQ以A为中点，问PQ与BC的夹角取何值时，BPCQ的值最大，并求出这个最大值。解：，BPCQ=（AP-AB）（AQ-AC）=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a