广义随机KdV方程新的精确类孤子解

1、第54卷第6期2005年6月1000-3290󰀁2005󰀁54(06)󰀁2463-05物󰀁理󰀁学󰀁报ACTAPHYSICASINICAVol.54,No.6,June,2005广义随机KdV方程新的精确类孤子解韦才敏1)2)*1)󰀁󰀁夏尊铨1)󰀁田乃硕2)(大连理工大学应用数学系,大连󰀁116024)(燕山大学理学院,秦皇岛󰀁066004)(2004年8月31日收到;2004年10月27日收到修改稿)󰀁&

2、#983041;利用厄米(Hermite)变换求出了广义随机KdV方程新的类孤子解.这种方法的基本思想是通过厄米变换把Wick类型的广义随机KdV变成广义变系数KdV方程,利用特殊的截断展开方法求出方程的解,然后通过厄米的逆变换求出方程的随机解.关键词:随机KdV方程,随机孤子解,白色噪音,截断展开方法,厄米变换PACC:0250,0340K,02901󰀁引精确解言2󰀁预备知识󰀁󰀁假设(S(R)和(S(R)米多项式.设󰀁en(x)=(1)1)!)1󰀁2-dd*本文将考虑如下形式的广义随机KdV方程的

3、Ut+2H2(t)󰀁U+(H1(t)+H2(t)x)󰀁Ux-3cH3(t)󰀁U󰀁Ux+H3(t)󰀁Uxxx=0,d*分别是R上Hidahn(2x)󰀁(󰀁(n-d试验函数空间和Hida分布空间,而hn(x)是n-重厄12x2,n󰀁1.则󰀁nn󰀁1组成L(R)上的一个正交其中Hi(t)(i=1,2,3)是白色噪声泛函,󰀁是Hida分布空间(S(R)上的Wick乘(这将在下一节给出定义).而方程(1)可以看成带有变系数KdV方

4、程(2)的一个推广,ut+2󰀁(t)u+(󰀁(t)+󰀁(t)x)ux-3c󰀁(t)uux+󰀁(t)uxxx=0,函数.󰀁󰀁󰀁近十多年来,变系数非线性演化方程的研究也引起了数学家和物理学家的高度关注,已有许多文1󰀁17献报道了相关的研究成果,张解放等用的截断展开方法16基.如果定义󰀁=(󰀁-维多重指标,󰀁1,󰀁,󰀁d)是d1,󰀁,󰀁dϗ

5、041;N,那么张量乘族󰀁󰀁=󰀁(󰀁,󰀁,󰀁)=󰀁󰀁󰀁󰀁1d1󰀁󰀁󰀁(󰀁󰀁N)在L(R)上构成一个正交基.假设d󰀁=(󰀁1,󰀁,󰀁d)是󰀁=(󰀁1,󰀁,󰀁d)󰀁N上某(i)(i)(i)dd2(2)其中c是常量,

6、83041;(t)󰀁(t),󰀁(t)是R+上的积分个固定排序的第i个指标,并假定这排序有性质:i(i)(i)(j)(j)<j󰀁󰀁+󰀁+󰀁d󰀁󰀁11+󰀁+󰀁d.定义󰀁i=(i)(i)(i)󰀁󰀁=󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁,i󰀁1.用j=(N0)c表示1dN对所有ϗ

7、041;i󰀁N0的󰀁=(󰀁1,󰀁2,󰀁)及其紧支撑组成的空间,也就是仅有有限多个󰀁i󰀁0.对󰀁=(󰀁1,󰀁2,󰀁)󰀁j,定义H󰀁(󰀁)=d*给出了方程(2)的精确解.随机波是随18󰀁23󰀁󰀁i=1h󰀁(󰀁󰀁,󰀁i󰀁),󰀁♦

8、41;in2机偏微分方程一个重要课题,当前已经有许多人从事随机KdV方程的研究,在21中Holden等给出了用白色噪声泛函来研究Wick形式的随机偏微分方程.本文将用白色噪音分析方法来给出广义的Wick类型随机KdV方程(1)的精确解.(S(R).对于固定的n󰀁N,令(S)1是由x=󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2cH󰀁󰀁k=1L(󰀁),c󰀁󰀁R使得󰀁x󰀁1,k=2k󰀁n2n

9、c󰀁(󰀁!)(2N)󰀁nk=1(k)2<󰀁,󰀁k󰀁N,ca=|c󰀁|=(1)(n)n22(c󰀁),c󰀁=(c󰀁,󰀁,c󰀁)󰀁R组成的空*󰀁2464*物󰀁󰀁理󰀁󰀁学󰀁󰀁报54卷间,其中󰀁是(S(R),B(S(R)上的白色噪声测度,对于󰀁=(&#

10、983041;1,󰀁2,󰀁)󰀁j有󰀁!=(2N)=󰀁其中U󰀁=H(u)是U的厄米变换,而z1,z2,󰀁是复数.假定我们能找到方程A󰀁(t,x,󰀁t,󰀁x,u,z)=0的一个解u=u(t,x,z),其中对某些q,r,使得z=(z1,z2,󰀁)󰀁Kq(r),而Kq(r)=z=(z1,z2,󰀁)󰀁󰀁󰀁󰀁k=1󰀁k!和

11、󰀁j(2j).n󰀁󰀁j另外,(S)-1是由所有展开式X=󰀁Rnn󰀁H󰀁,b󰀁C且󰀁󰀁󰀁0|z|(2N)<r.那么在一定的条件下,我们取其厄米的逆变换U=Hu󰀁(S)-1,从而我们获得原Wick方程(3)的一个解U.因而我们得到下面的定理,其详细证明可见文献20.定理2󰀁1󰀁假定u(t,x,z)是方程(4)的一个解(普通强的、逐点指向的),其中(t,x)是在某一个G󰀁R

12、󰀁R的有界开集的元素和对某些q,r,使得z󰀁Kq(r).此外,假设u(t,x,z)及方程(4)中所有它的偏导对于(t,x,z)󰀁G󰀁Kq(r)是有界的,而对所有z󰀁Kq(r)关于(t,x)󰀁G是连续的和对所有(t,x)󰀁G关于z󰀁Kq(r)是连续的.所以存在U(t,x)󰀁(S)-1对所有(t,x,z)󰀁G󰀁Kq(r)使得u(t,x,z)=(󰀁U(t,x)(z),从而在(S)-1中用U(t,x)来解方程(3

13、)(在(S)-1中是强指向的).d-1N󰀁2q󰀁2使得对某个q-qa󰀁N,󰀁X󰀁-1,-q=󰀁b(2N)󰀁󰀁<󰀁组成的空间.而半泛数族n󰀁x󰀁1,k,k󰀁N在(S)1上产生一个拓扑,并且由󰀁X,x󰀁=󰀁󰀁(b󰀁,c󰀁)󰀁!可以把(S)nn-1看作是(S)n1的对偶.其中(b󰀁

14、;,c󰀁)是R上的内积.把X󰀁Y=󰀁X=󰀁,󰀁(a󰀁,b󰀁)H󰀁+󰀁为定义X和Y的Wick乘积,其中󰀁󰀁󰀁󰀁aH,Y=󰀁d󰀁󰀁󰀁bH󰀁(S),a󰀁,b󰀁󰀁R.d*n-1n可以证明空间(S(R),(S(R),(S)1和(S)-1在Wick乘积下是封闭的.用H(X)=

15、X󰀁(z)=󰀁N󰀁a󰀁z󰀁C(收敛时)来󰀁n定义X的厄米变换,其中X=n󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁a󰀁H󰀁󰀁(S)-1,a󰀁Nn󰀁R和z=(z1,z2,󰀁)󰀁C,对于󰀁=(󰀁1,󰀁2,󰀁)󰀁j,z=z11z22󰀁z

16、nn󰀁.对于X,Y󰀁(S)-1及所有的z使得X󰀁(z),󰀁Y(z)存在,由厄米变换定义我们有X󰀁󰀁󰀁Y(z)=X󰀁(z)󰀁󰀁Y(z).等式右边是由(z,󰀁,z)󰀁(z1,󰀁,zn)=111nn3󰀁广义随机KdV方程的类孤子解󰀁󰀁在这一节里面,我们将给出方程(1)的精确解.对方程(1)取厄米变换得Ut+2H󰀁󰀁2

17、(t)󰀁U+(H󰀁1(t)+H󰀁2(t)x)󰀁Ux-3cH󰀁3(t)󰀁U󰀁Ux+H󰀁3(t)󰀁Uxxx=0,N󰀁k=1zkzk(zk󰀁C)定义在C上两12jN元素之间复双线性乘积.n假定X=󰀁󰀁a󰀁H󰀁󰀁(S)-1,那么向量c0=X󰀁(0)󰀁R叫做X的广义期望值,用E(X)来表示.假若f:V󰀁C

18、是一个分析函数,其中V是E(X)的一个临域,并假定f在R中沿着E(X)的泰勒展开有系数,那么其Wick形式为f(X)=H(f(S)m-1󰀁-1󰀁(5)其中z=(z1,z2,󰀁)󰀁(C)c是参数.现在我们用截断展开方法16n来解方程(5),为了方便起见,令u(t,mx,z)=U󰀁(t,x,z),Hi(t,z)=H󰀁i(t,z)(i=1,2,3).而方程(5)有如下形式的解:u=u(t,x,z)=F=F(󰀁)=i=0nX󰀁)󰀁.󰀁nvi(t

19、,z)F,i现在我们来考虑表达式为A(t,x,󰀁t,󰀁x,U,󰀁)=0的随机偏微分方程,其中A为某个给定的函数,而U=U(t,x,󰀁)则是一个未知(或广义)的随机过程,算子󰀁t=d1,1+e,󰀁x=(,󰀁,),x=(x1,1d󰀁=f(t,z)x+g(t,z).(6)vi(t,z)(i=1,󰀁,n),f(t,z),g(t,z)是待定函数.把方程(6)代入方程(5),根据领头项分析,对于方程(5)可知n=2,从而得到u=v0(t,z)+v1(t,z)F+v

20、2(t,z)F.由方程(5)和方程(7),可得ut=v0t+v1tF+v1󰀁tF-v1󰀁tF+v2tF+2v2󰀁tF-2v2󰀁tF,33󰀁,xd)󰀁R.首先我们给出上面随机偏微分方程的Wick形式为A(t,x,󰀁t,󰀁x,U,󰀁)=0.积变成普通的乘积,也就是(,x,t,󰀁x󰀁U,z2,)󰀁(7)(3)󰀁󰀁其次,我们通过厄米变换把公式(3)的Wick乘(8)x=v1b

21、3041;x-v1󰀁xF+22󰀁xF-v2󰀁xF,(9)6期4韦才敏等:广义随机KdV方程新的精确类孤子解2465uxxx=6v1󰀁xF-12v1󰀁xF+7v1󰀁xF5324其中󰀁,c1也是积分常数.把方程(22)和方程(23)代入方程(6)得(10)󰀁=󰀁exp(-t-v1󰀁xF+24v2󰀁xF-54v2󰀁xF+38v2󰀁xF-8v2󰀁xF.2把(7)󰀁(

22、10)式代入方程(5),并比较F各次幂项前的系数,得到F:24H3v2󰀁H3v2󰀁x-6cx=0,F:6H3v1󰀁x-54H3v2󰀁x-3cH3v1v2󰀁x+6cH3v󰀁-6cH3v1v2󰀁x=0,F:2v2󰀁t-12H3v1󰀁x+38H3v2󰀁x-6cH3v0v2󰀁H3v1󰀁x-3cx+9cH3v1v2󰀁x+2(H1+H2x)v2󰀁x=0,F:v1󰀁H3v

23、1󰀁t+v2t-2v2󰀁t+7x-8H3v2󰀁x-3cH3v0(v1-2v2)󰀁x-3cH3v󰀁x-(H1+H2x)(v1-2v2)󰀁x+2H3v2=0,F:v1t-v1󰀁t+H3v1󰀁x+3cH3xv0v1󰀁x-(H1+H2x)(v1-2v2)v1󰀁H2v1=0,󰀁(15)x+2F:v0t+2H3v0=0.21322223x452H(s,z)ds)x󰀁2s2t(11)(12)-H(s,z)𘀀

24、1;exp(-3H(󰀁,z)d󰀁)󰀁󰀁+󰀁3ccH(s,z)exp(-3H(󰀁,z)d󰀁)󰀁-H(t,z)exp(-H(󰀁,z)d󰀁)ds+c.(󰀁24)󰀁+s2s121注意到(13)thsech2=1-2F,2=4F-4F2,2(14)2=2F-2F,(25)1+ch(󰀁)2因此,截断展开解可以用th(0󰀁5󰀁),sech(0󰀁5ϗ

25、041;),1󰀁1+ch(󰀁)多项式表示.由方程(7)和方程(24),我们可以得到方程(5)的类孤子解u(t,x,z)=c0exp-2H(s,z)dsexp(-2H(s,z)ds)sechc󰀁22t2t(16)由于󰀁=f(t,z)x+g(t,z),我们有󰀁x=f(t,z),󰀁t=ft(t,z)x+gt(t,z).再由方程(11)和(12),则得到󰀁󰀁󰀁4242v2(t,z)=-v1(t,z)=󰀁(t,z).(17)x=cc解方程(16)

26、得到v0(t,z)=c0exp(-3x2,2(26)其中󰀁由方程(24)给出.为了得到方程(1)的精确解,我们给出条件(a):假设(t,x)是属于一个有界开集G󰀁R-󰀁R的元素,并对某些q>0,r>0的所有z󰀁Kq(r)使得Hi(t,z),i=1,2,3满足u(t,x,z)和在方程(5)中所有偏导对(t,x,z)󰀁G󰀁Kq(r)是一致有界,对所有z󰀁Kq(r)关于(t,x)󰀁G是连续的,对所有(t,x)󰀁G关于z󰀁Kq(r)

27、是解析的.由上面的假设条件,定理2󰀁1隐含存在U(t,x)󰀁(S)-1对于所有(t,x,z)󰀁G󰀁Kq(r)使得u(t,x,z)=(HU(t,x)(z),由U(t,x)解方程(1).由上面我们知道U(t,x)是u(t,x,z)的逆厄米变换.因此由(26)式,我们得到方程(1)的一个随机孤子解U(t,x)=c0exp-其中󰀁󰀁=󰀁exp(-󰀁󰀁t2H2(s,z)ds),(18)其中c0是一个积分常数.由方程(13),则得󰀁t=-H2x&#

28、983041;x-H3󰀁-H1󰀁x+3cH3v0󰀁x,(19)又因为󰀁x=f(t,z),󰀁t=ft(t,z)x+gt(t,z),所以有󰀁󰀁󰀁ft(t,z)=-H2(t,z)f(t,z),(20)(21)(22)gt(t,z)=-H3(t,z)f(t,z)+(3cH3(t,z)v0(t,z)-H1(t,z)f(t,z).解方程(20)和方程(21)得f(t,z)=󰀁exp(-g(t,z)=󰀁tH2(s,z)ds),s󰀁&#

29、983041;+󰀁3ccH(s,z)exp(-3H(󰀁,z)d󰀁󰀁-H(t,z)exp(-H(󰀁,z)d󰀁)ds+c,󰀁-H3(s,z)󰀁exp(-3t3H2(󰀁,z)d󰀁)s22H(s)ds1󰀁exp-2H(s)dsc󰀁󰀁t-22󰀁t2sech2󰀁1,2(27)s121H(s)ds)x2t2466物 理 学 报54卷+󰀁t-󰀁

30、;H3(s)󰀁exp(-r3󰀁󰀁ss3H2(󰀁)d󰀁)-b2B(s)+tb22s)ds+c12+K3cc0H3(s)rexp(-r-H1(s)rexp(-sQ2H2(S)dS)=Kexp-tb22h(s)ds-b2B(t)+2txQ3sQ设h(t)是R-上的可积函数,并令H1(t)=b1W(t),H2(S)dS)ds+c1.(28)+Q-Kb3exp(-Q3h(S)dS-3b2B(s)+3b22s)+c12sH2(t)=h(t)+b2W(t),H3(t)=b3W(t),其中W(t)是高斯白色噪声,也就是Wt=B&#

31、219;t,而Bt是布朗运动.我们得到它们的厄米变换为H1(t,z)(t)=b1W󰁁(t,z),H2(t,z)=h(t)+b2W󰁁(t,z),H3(t,z)=b3W󰁁(t,z),tr其中W󰄺(t,z)=E0Gk(s)dszk.又因为expBk=1Q2(t)=expB(t)-t(详细的推导可以看文献2+3Kcc0b3exp(-2Q4h(S)dS-4b2B(s)t+2b2s)-Kb1exp(-b2B(s)+Qh(S)dS(30)b22s)DB(s).2(t)rW(t)dt,2在这里我们用到了下面的关系式QR7(t)DB(t)=QR77

32、(t)IL(R),其中随机积分Q(#)DB(t)是Skorohod积分.20的引理216116),从而我们得到方程(1)的随机解为b22U(t,x)=c0exp-h(s)ds-b2B(t)+t2Qt12-Kexp-h(s)ds-b2B(t)cQ+其中bH=Kexp-h(s)ds-b2B(t)+2t2xQ2ttt41结 论本文用厄米变换和特殊的截断展开方法来研究广义的随机KdV方程,得到新的随机类孤子解.这些方法可以求出一大类随机非线性演化方程的随机类孤子解,也可以推广应用到(2+1)维或更复杂的有物理背景的随机非线性演化方程.此外,方程(1)是否能利用椭圆展开法来求其Jacobi椭圆函数解,有待于研究(因为超越函数是否存在厄米逆变换还没有见相关文献报道).由于Poisson白色噪声空间与Wiener白色噪声空间之间存在单一映射关系,因此,Poisson随机偏微分方程的解可以把这一映射映射到高斯随机偏微分方程的解而求出来.这简便精17确的连接是由Benth等给出的,也可以看文献20的419节的论述.从而我们得到在方程(2)中若其系数A(t)B(t),C(t)是由Poisson白色噪声扰动引起的广义随机KdV方程的随机解.b2221tsech2,2(