焦点三角形面积公式

1、椭圆焦点三角形面积公式的应用22定理在椭圆= 4 1 (a>b>0)中，焦点分别为E、F2,点P是椭圆上任 a ,S F1PF2b tan 2. b2F1PF2，则 S F1PF2b2 tan .2证明：记| PF1 |ri,l PF2 I "由椭圆的第一定义得22r1 r2 2a, (r1 r2)4a .2在 F1PF2中，由余弦定理得：r1222r/2 cos配方得:(r1 r2 )2 2r1r2 2r1r2 cos4c2.即4a22必1 cos ) 4c2.2(a2 c2)2b21 cos 1cos由任意三角形的面积公式得:F1PF2gr1r2 sinb2sinb2

2、2sin cos一22cos2cos2 一2b2 tan. 2同理可证，在椭圆2匕2 a1 ( a>b>0)中，公式仍然成立.典题妙解2X例1 若P是椭圆 10021上的一点,64F1、F2是其焦点，且F1PF2 60 ,求 F1PF2的面积.解法一：在椭圆1002匕 1 中，a 10, b648,c 6,而 60 .记 |PF1| r1 ,| PF2 | r2.点P在椭圆上,由椭圆的第一定义得：r1 r2 2a 20.在 F1PF2中，由余弦定理得：配方，得：(%r2 )2 352400 3rj2 144.从而 r1r2c1 -1S F1PF2二 rjasin-2222解法二：在

3、椭圆y-100 64一.2_S F1PF2 b tan 64 tan 32222r122r1r2 cos (2c).144.256 .3256 、. 364 . 3.3231 中，b2 64 ,而 60 .c 64、30.32解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!例2 已知P22是椭圆土匚 1上259的点F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1 PF2|PF1|IPF2IF1 PF2的面积为（A.B. 2 3C.3 D. 3解:F1PF2则cosPF1 PF260 .S F1PF2b2 tan 29tan303.3.故选答案A.例3 （04湖北）已知椭圆162y 1的左、右

4、焦点分别是9E、F2点P在椭圆上.若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（9 A.一59.7B.7C.9 T 9' 7D.一或4799；若P是直角顶点，设4解：若P或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长点P到x轴的距离为h,则S FiPF2b2tan- 9 tan 459,又 SF1PF21 (2c) h 7h, 2.7h 99 . 7 ,二.故答案选D.7金指点睛1.2椭圆492x241上一点P与椭圆两个焦点 E、F2的连线互相垂直，则4 F1PF2的面积为（）2.3.A. 202 x 椭圆一4的值为A. 02 X 椭圆一4的值为A. 0B. 22

5、C. 28D. 241的左右焦点为Fi、F2 , P是椭圆上一点,当 F1PF2的面积为1时,PFi PF2B.C.D. 61的左右焦点为F1、F2 , P是椭圆上一点,当 F1PF2的面积最大时,PF1 PF2B.C.D.4.已知椭圆2 x -2 a2y 1 （ a >1）的两个焦点为 F1、F2P为椭圆上一点，且F1PF2 60 ,则 | PF1 |PF2|的值为（）A. 11B. 一3C.5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴,F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90 , F1P52的面积是20,离心率为 ,求椭圆的标准方程.PF1 PF236.已知椭圆

6、的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且I PF1 I I PF2 |4 一 3的面积是73 ,推线方程为x ,求椭圆的标准方程.3答案2_2_1.解：F1PF290 ,b 24, S f,pf,b tan- 24tan4524.1 22故答案选D.2.解：设 F1PF2故答案选A.2 ,S f.pf,b tan tan 1 ,1 22245 , 290 , PF1 PF20.3.解：a 2,b 1,c J3,设 F1PF2S F1PF22 X.b tantan,22当 F1PF2的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点,PF1 PF2 |PF1 | | PF21 cosa

7、2 cos120故答案选D.2.4.解：F1PF2260 , b 1 , S F1PF2b tan tan301又 S fipf22|PF1 | |PF2 |sin| PF1 |4.33 rH4 |PFi | |PF2 | ,从而 |PFi| |PF2| -.433故答案选C.5.解：设 F1PF2,贝U90S F1PF2b2 tan b2 tan45 b220 ,2ca2 b2.5e - -a a 3b2I,即120解得：a2 45.所求椭圆的标准方程为2 x452 y2021或匕452 x20PF PF16.解：设 F1PF2, cos/ -L 1,120|PF1 | |PF2 |2 F1PF2 b2 tan_ b2 tan60 V13b233 , b 1.一224.3即 £b_3 ' cc2 114.3. 3c 3 c c 33c V3 或 c -.32当c