【教育资料】第一章§44.1~4.2学习精品

1、教育资源§4逻辑联结词“且” “或” “非4. 1 逻辑联结词“且”4. 2逻辑联结词“或”【学习目标】1.了解联结词“且” “或”的含义 .2.会用联结词“且” “或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.知识点一 “且”思考 观察三个命题：5是10的约数；5是15的约数；5是10的约数且是15的约数， 它们之间有什么关系？答案 命题是将命题用“且”联结得到的新命题.梳理（1）定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题 “p 且q” .（2）当p, q都是真命题时，p且q是要命题；当p, q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题.将命题p和

2、命题q以及p且q的真假情况绘制为命题 “p且q”的真值表如下：pqp且q真真真真假假假真假假假假命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真” .知识点二“或”思考 观察三个命题：3>2;3=2;3>2,它们之间有什么关系？答案 命题是命题用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.梳理（1）定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题 力(2)当p, q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是皂命题；当p, q两个命题都是假命题时，p或q是甄题.将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：pqp或q真真真真假真假真真假假假命题“p或q”的

3、真值表可简单归纳为“假假才假” .1 .逻辑联结词“且” “或”只能出现在命题的结论中.(X)2 . “p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件.(X )3 .当p, q都为假命题时，p且q才为假命题.(X)4.若 p: sin x> 2, q ：任意 xCR, x2 x+ 1 >0,则 p或 q 为假命题.(x )类型一 含有“且” “或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题.(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2 >2.考点“且” “或”的概念题点 把命题写成“ p且q”或“ p或q”的形式解(1)

4、是p且q形式命题.其中p：向量有大小， q：向量有方向.(2)是p或q形式命题.其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.是p或q形式命题.其中 p： 2>2, q： 2=2.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”构成的命题是复合命题判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或 ”“ 且” 等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题如 “ 四边相等且四角相等的四边形是正方形” 不是 “ 且 ” 联结的复合命题，它是真命题，而用 “ 且 ” 联结的命题 “ 四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是

5、正方形” 是假命题跟踪训练 1 命题“菱形对角线垂直且平分”为 形式复合命题考点“且”的概念题点把命题写成“ p且q”的形式答案p 且q命题角度 2 用逻辑联结词构造新命题例 2 分别写出下列命题的“ p 且 q”“ p 或 q ”形式的命题(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p： 1 是方程 x2+4x+3=0 的解，q： 3 是方程 x2+4x+3=0 的解.考点 “且”“或”的概念题点把命题写成“ p且q”或“ p或q”的形式解 (1) p 或 q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p或q： 1或一3是方程x2+

6、4x+ 3=0的解.p且q： 1和一3是方程x2+4x+3=0的解.反思与感悟用逻辑联结词 “或”“ 且” 联结 p， q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把 p， q 中的条件或结论合并跟踪训练 2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题(1)96 是 48 与 16 的倍数；(2)不等式x2x 2>0的解集是x|xv 1或x>2.考点 “且”“或”的概念题点把命题写成“ p且q”或“ p或q”的形式解 (1)p 且 q： p： 96 是 48 的倍数； q： 96 是 16 的倍数(2)p 或 q： p：不等式 x2-x- 2>0 的解集是x|xv 1, q：不等式

7、x2-x- 2>0的解集是x|x>2.类型二 “p且q”和“p或q”形式命题的真假判断例3分别指出“ p或q” “ p且q”的真假.(1)p：函数y=sin x是奇函数；q ：函数y= sin x在R上单调递增；1(2)p：直线x= 1与圆x2 + y2 = 1相切；q：直线x=万与圆x2+ y2= 1相父.考点 “p且q”和“ p或q”形式命题真假性判断题点 判断“ p且q”和“ p或q”形式命题的真假解(1).p真，q假，.4或4”为真，“p且q”为假.(2) / p真，q真，"p或q”为真，“p且q”为真.反思与感悟 形如p或q, p且q命题的真假根据真值表判定.跟

8、踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q”形式的命题的真假.(1)p：寸3是无理数，q :兀不是无理数；(2)p：集合 A= A, q： AUA = A;(3)p：函数y=x2+3x+ 4的图像与x轴有公共点，q：方程x2+3x 4=0没有实数根.考点 “p且q”和“ p或q”形式命题真假性判断题点 判断“ p且q”和“ p或q”形式命题的真假解(1).p真，q假，.4或4”为真，“p且q”为假.(3) / p真，q真，"p或q”为真，“p且q”为真.(4) .p假，q假，. "p或q”为假，“p且q”为假.类型三已知复合命题的真假求参数范围例4 已知p：方

9、程x2+mx+ 1 = 0有两个不相等的负根，q：方程4x2+4(m 2)x+1 = 0无实数根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.考点 “ p或q” “ p且q”形式命题真假性的判断题点 由“ p或q” “ p且q”形式命题的真假求参数的取值范围解 因为p：方程x2+mx+1 = 0有两个不相等的负根，A= m2 4>0,所以所以m>2.m >0,因为q：方程4x2+4(m 2)x+1 =0无实数根，所以 AV 0,即 16(m2)216V0,所以 16(m24m+ 3)v 0,所以 1vmv3.因为p或q为真，p且q为假，所以p为真，q为假或者p为假，q为真.m&

10、gt;2,m<2,即s或smwi 或 m> 3jlvmv3,解得m> 3或1vmw 2.所以m的取值范围为m|m > 3或1 v m< 2.引申探究本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”，求实数m的取值范围.解 同例得当p为真命题时，m>2,当q为真命题时，1 < m< 3.因为p或q为真，p且q为真，所以p, q均为真命题，m>2,即f解得2vmv3,所以m的取值范围为(2,3).1 v m< 3,反思与感悟应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤分别求出命题p, q为真时对应的参数集合 A, B;(2)讨论p, q的真假；由p, q

11、的真假转化为相应的集合的运算；(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.跟踪训练4 已知p： (x+2)(x-3)<0, q： |x+ 1|>2,若“ p且q”为真，则实数 x的取值范 围是.考点 “ p且q”形式命题真假性的判断题点 由“ p且q”形式命题的真假求参数的取值范围答案1,3解析 由(x+2)(x 3)<0,解得一2<x< 3.由 |x+ 1p2,解得 x>1 或 x< -3.2w xW 3,-、且4”为真，. 5|x> 1 或xw -3,解得1WxW3,则实数x的取值范围是1,3.1 .已知p： 2 + 3=5, q： 5V4

12、,则下列判断正确的是 （）A . p为假命题B. q为真命题C. p或q为真命题D. p且q为真命题考点“ p且q” “ p或q”形式命题真假性的判断题点判断“ p且q” “ p或q”形式命题的真假答案 C解析 由题意，知p为真命题，q为假命题.2 .由下列各组命题构成的新命题“p或q” “p且q”都为真命题的是（）A. p： 4 + 4=9, q： 7>4B. p： aCa, b, c, q： a? a, b, cC. p： 15是质数，q： 8是12的约数D. p： 2是偶数，q： 2不是质数考点“ p且q” “ p或q”形式命题真假性的判断题点判断“ p且q” “ p或q”形式命题

13、的真假答案 B3 .已知命题p, q,若p为真命题，则（）A . p且q必为真B. p且q必为假C. p或q必为真D. p或q必为假考点“ p且q” “ p或q”形式命题真假性的判断题点判断“ p且q” “ p或q”形式命题的真假答案 C解析 p或q, 一真则真，故必有 p或q为真.兀一、一一，乙、，一 一4 .已知p：函数y=sin x的最小正周期为2, q：函数y= sin 2x的图像关于直线x=兀对称,则p且q是 命题.（填“真”或“假”）考点“ p且q”形式命题真假性的判断题点 判断“ p且q”形式命题的真假答案假解析 由题意，知命题 p为假命题，命题 q也是假命题，故 p且q是假命题

14、.5 .已知命题 p：函数f(x)=(x+ m)(x+ 4)为偶函数；命题 q ：方程x2+(2m- 1)x+ 4-2m= 0的一个根大于2，一个根小于2 ，若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求实数 m 的取值范围考点 “ p且q” “ p或q”形式命题真假性的判断题点 由“ p 且 q ”“ p 或 q ”形式命题的真假求参数的取值范围解 若命题p为真，则由f(x) = x2+(m + 4)x+ 4m,得m+ 4=0,解得m= - 4.设 g(x)=x2+(2m1)x+42m,其图像开口向上，若命题 q 为真，则 g(2)<0,即 22+(2m-1)X2+4-2m<0,解

15、得 m< 3.由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假.若p假q真，则m<3且mw4;若 p 真 q 假，则 m 无解所以实数m的取值范围为(8, -4)U (-4, -3).1 判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论2对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假一、选择题1 “ p 且 q 是真命题”是“ p 或 q 是真命题”的 ()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件考点 “ p或q” “ p且q”形式命

16、题真假性的判断题点 判断“ p 或 q ”“ p 且 q ”形式命题的真假答案 A解析 p 且 q 是真命题 ? p 是真命题，且q 是真命题 ? p 或 q 是真命题； p 或 q 是真命题 ? p且 q 是真命题2 .命题p：函数y= loga(ax+2a)(a> 0且awl)的图像必过定点(1,1),命题q：如果函数 y= f(x)的图像关于(3,0)对称，那么函数y=f(x3)的图像关于原点对称，则有 ()A."且4”为真B. “p或q”为假C.p真qD.pq 真考点 “ p或q” “ p且q”形式命题真假性的判断题点 判断“ p 或 q ”“ p 且 q ”形式命题的

17、真假答案 C解析 由命题p知，ax+2a=a,解得x=1,故过定点(1,1),而命题q为假命题.3 .设命题p：函数y=sin 2x的最小正周期为万；命题q：函数y= cos x的图像关于直线 x=万对 称，则下列判断正确的是()A. p为真B. q为真C. p且q为假D. p或q为真考点“ p且q”形式命题真假性的判断题点 判断“ p且q”形式命题的真假答案 C解析 函数y= sin 2x的最小正周期为22p=兀，故p为假命题；x=2)不是y= cos x的对称轴，命题q为假命题，故p且q为假.故选C.4. p：方程x2+2x+ a=0有实数根，q：函数f(x)=(a2a)x是增函数，若&q

18、uot;p且q"为假命 题，“ p或q”为真命题，则实数 a的取值范围是()A. a>0 B. a>0 C. a>1 D. a>1考点“ p且q” “ p或q”形式命题真假性的判断题点 由“ p且q” “ p或q”形式命题的真假求参数的取值范围答案 B解析,一方程x2+2x+ a=0有实数根，A= 4-4a>0,解得 a< 1.函数f(x)= (a2 a)x是增函数， a2 a>0,解得 a<0 或 a>1.,p且q为假命题，p或q为真命题，p, q中一真一假.当p真q假时，得0<a<1;当p假q真时，得a>1.

19、由，得所求实数a的取值范围是a>0.5.命题p： “x>0”是“ x2>0”的必要不充分条件， 命题q： AABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A . p M q 假B. pH q 为真C. p或q为假D. p假q真考点“ p或q” “ p且q”形式命题真假性的判断题点判断“ p或q” “ p且q”形式命题的真假答案 D解析命题p假，命题q真.6.命题p：点P在直线y=2x3上；q：点P在曲线y= x2上，则使“ p且q”为真命题的 一个点P的坐标是()A. (0, - 3)B. (1,2)C. (1, 1)D. (-1,1)考点“

20、p且q”形式命题真假性的判断题点 判断“ p且q”形式命题的真假答案 Cy=2x 3,解析点P(x, y)满足ly=- x2,解得 P(1, 1)或 P(-3, 9),故选 C.7,已知p： x2- 2x-3v0; q： 1< 1,若p且q为真，则x的取值范围是()x 2A. (-1,2)B. (-1,3)C. (3, i )D. ( 8, 2)考点“ p且q”形式命题真假性的判断题点 由“ p且q”形式命题的真假求参数的值答案 A解析由命题p,得一1vxv 3,当q为真命题时，得x<2或x>3,1V x v 3,因为p且q为真命题，所以f即一1vx<2.x< 2

21、或x>3,二、填空题8 .设 p： 2x+ y=3, q： x-y= 6,若 p 且 q 为真命题，贝U x=, y=.考点“ p且q”形式命题真假性的判断题点 由“ p且q”形式命题的真假求参数的值答案 3 -3解析 若p且q为真命题，则p, q均为真命题，2x+ y = 3,x= 3,所以有解得x-y=6,y= 3.9 .若“xC 2,5或xCx|x<1或x>4”是假命题，则x的取值范围是 考点 “ p或q”形式命题真假性的判断题点 由“ p或q”形式命题的真假求参数的取值范围答案1,2)解析 x 2,5x (8, 1)U(4, + °°),即 xC(

22、 8, 1) U 2 , 十 0°),由于命题是假命题，所以1Wxv 2,即x 1,2).10 .设p：关于x的不等式ax>1的解集是x|x<0 , q：函数y=lg(ax2x+ a)的定义域为 R, 如果p和q有且仅有一个为真，则 a的取值范围为 .考点 “ p或q”形式命题真假性的判断题点 由“ p或q”形式命题的真假求参数的取值范围答案,，2 1, +8 )解析若p真，则0<a<1,若p假，则aR1或aw。.a>0,1若q真，有j2 即a>2.,1 一 ，一，*，若q假，则a<11,又p和q有且仅有一个为真,1所以当p真q假时，0<

23、;aw 2,当p假q真时，a>1.综上所述，a(0, 2 U11, + oo ).三、解答题11 .判断下列复合命题的真假.(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;(2)不等式x2-2x+ 1>0的解集为R且不等式x2-2x+2<1的解集为？.考点 “ p且q”形式命题真假性的判断题点 判断“ p且q”形式命题的真假解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中 p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为 p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是 真命题.(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中 p：不等式x22x+1&

24、gt;0的解集为R, q：不 等式x2-2x+2< 1的解集为？.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题.12 .已知p： c2< c和q：对任意x R, x2+ 4cx+ 1 >0,若p或q为真，p且q为假，求实数 c的取值范围.考点 “ p且q” “ p或q”形式命题真假性的判断题点 由“ p且q” “ p或q”形式命题的真假求参数的取值范围解由不等式c2vc,得0VCV1.由对任意 x R, x2+4cx+1>0,211得(4c) 4V0,得一2vcv2.由已知，得p和q必有一个为真、一个为假.1q 1当p真q假时，2<c< 1 ；当q真p

25、假时，一2V c< 0.故实数c的取值范围是1, 0 L 1 ；13 .设 p：函数 f(x)=lg(ax24x+a)的定义域为 R; q：设 a=(2x2+x, 1), b= (1, ax+2), 不等式a b>0对任意xC( 8, 1)恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实 数a的取值范围.考点 “ p或q” “ p且q”形式命题真假性的判断题点 由“ p或q” “ p且q”形式命题的真假求参数的取值范围解若p为真命题，则ax2-4x+ a>0对x C R都成立，当a = 0时，f(x)=lg( 4x)的定义域不为 R,不合题意，当 aw0时.a>0,贝U ( 4)2 4a2<0 且 a>0,即解得 a>2.16 4a2<0,若q为真命题，则由 ab>0对任意xC(8, 1)恒成立，知 2x2+x- (ax+2)>0,即a>2x 2+1 对任意 xC(8, 1)恒成立，则