大学物理力学8振动

1、振动振动周而复始循环往复的运动，被统称为振动。振动是一种普遍存在的运动形式，弹簧振子、 钟摆等的机械振动；交流电路中电压、电流的周期 性变化是电磁振动；固体物理学中晶格中的热振动。这些周期性变化的物理量，不仅限于力学范畴中的 机械位移，但描述这些物理量的数学方法、形式乃 至结果，均有着极大的相似性与可类比性。因此对 直观的机械振动的研究，将为我们掌握振动这一类运动形式打下坚实的基础。振动质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运动形式为振动。xot弹簧振子一根轻弹簧和一个质点的一个振动系统。xxO胡克定律：F = -kxd2 x第二定律： F = m= -kxdt 2d2 x =k- xmdt

2、2d2 x =kkm振子的固有角频率，rad/s（弧度/s）令： =- xmdt 2d2 x =-w x2x(t) = A cos(wt + j)通解形式：dt 2振幅A，表示振动的最大位移是±Awt + j ：t时刻的称为初。：t=0时刻的，用于刻画振动的初始状态。x0 = A cosj= æ dx ö= - Aw sin jç dt ÷v0èøt =02v2vA =x0 + 0 , j = - arctan0w 2x w0周期：T = 2 = 2mkww频率：f = 1 =T1km=22x(t) = A cos(wt +

3、 j)x(t) = A cos( 2 t + j)Tx(t) = A cos(2ft + j)参考圆旋转振幅矢量匀速旋转的矢量A在x轴上的投影点 P 的运动规律：x = A cos(w t + j)PP¢A wt + jP0x¾投影点P 的运动与振动的运动规律相同。v = dxdtdva =dta = - Aw 2 cos(wt + j )v = - Aw sin(wt + j )x = A cos(wt + j)xAto T-AAw vv - t 图o Tt- Awaa - t图Aw 2to T- Aw 2x - t 图振子的能量v = dx = -w Asin( w t

4、 + j )x = A cos(w t + j )dt振子动能：E= 1 mv2 = 1 mw 2 A2 sin 2 (w t + j )k22振子势能：E = 1 kx2 = 1 kA2 cos2 (w t + j )p22E = Ek + EpQ mw 2 = k总能量：E = 1 kA2 = 1 mw2A2 22xx = A cos(w t + j )OtE1EkEE =kA2p2tOE = 1 mv2= 1 mw 2 A2 sin 2 (w t + j )k22E= 1 kx2= 1 kA2 cos2 (w t + j )p22例：复摆的近似O，一刚体绕过O的垂直于纸面的轴转动，满足转

5、动定律：d2q- mgrC sinq = IrCCdt 2= mgrCw2令：Id q2+ w sin q =20得：2dtq 3q 5sin q = q -+3!-L5!由于q 很小，略去q 3以上各项，则sinq qd2q + w 2q =d2q+ wsin q = 002dt2dt 2q = q0 cos(wt + j )解为：mgrCw =相应的角频率：I或从机械能守恒：E = 1 I (dq )2 +(1- cosq )O2dt两边对时间 t 求一阶导数：dqd 2qdqr× sin q×dtdt 2+ mgr C= 0ICCdtd2qmgr+ C sin q =

6、 0sinq qdt 2Imgrd2q+C q = 0dt 2ImgrCq = qcos(wt + j )w =解为：0I例：两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的质量为m 的点电荷q，分析电荷q小幅偏离中心位置的运动状态。Qa= k- k(a + x)2(a - x)2FxO x- ax << aéæx ö-2x ö-2 ùæ(1+ a)» 1+ nanFx = kêç1+ a ÷- ç1-÷aú = -4kúûxa2a3ê

7、;ëèøèø为线性回复力，故电荷q做运动，其固有角频率4kw =ma3例：半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作小角度纯滚动，大碗q固定在地面上。这种运动是动吗？如果是，求出它的周期。振设小球质心速度vC，角速度12mv+ 1 Img(R - r)(1- cosq ) +w 2= E2机械能守恒CC2I= 2 mr 2rw = v （纯滚动条件）v= (R - r)q&其中CCC55gq& +sin q = 0两边对t求导7(R - r)T = 2p = 2p7(R - r)小角度时的周期w5g多自由度保守系的振动：双振子

8、一劲度系数为k的弹簧，两端连接质量分别为m1、m2的物体，即为双振子模型。这种模型常用于研究双原子 的热振动现象，比如H2、N2、O2等。这类双振子的振动，可近似动。弹性力维系的具有一个本征频率的振kO1x1x2O2x设坐标轴为x轴，弹簧自然状态时m1、m2所在处分别为平衡点O1、O2。振动时m1相对平衡点O1的位移为x1 ， m2相对平衡点O2的位移为x2。由此建立动力学方。m2m1多自由度保守系的振动：双振子kO1x1x2O2xìd2 x= -k (x1 - x2 )ïm11dt 2íd2 xïm= -k (x- x ) 2 dt 2ï&#

9、238;221m1、m2的振动具有相同的固有角频率w，这个固有角频率即为双振子系统的本征角频率，我们通常将这种振动的状态称为简正模式。实际振动是简正模式的叠加m2m1多自由度保守系的振动：双振子ìd2 x= -k (x1 - x2 )ïm11dt 2íd2 xïm= -k (x- x ) 2 dt 2ïî221m1m2 (&x&1 - &x&2 ) = -(m1 + m2 )k (x1- x2 )m1m2y = x - xm =令：折合质量12m + m12k&y& = - m y(m1

10、 + m2 )kkmw =m1m2多自由度保守系的振动：双振子ìd2 x=1k- ( x1-2x)ïm1íïmdt 2d2 x=2k- ( x-x)ïî221dt 2假设稳定模式下m1、m2的运动方程：= A1coswxì 1ttí= A coswxî 22将运动方程代入动力学方中，可以得到：-m ìíw =-k(-k(-)2AAAAA1112w =-m2-)Aî2221多自由度保守系的振动：双振子-m ìíw =-k(-k(-)2AAAAA1112w =

11、-m-)2Aî2221将其整理为关于振幅的代数方：展开为：mw)2( wk-k( -m2) -2k=012kì(-mw 2 )A -kA0=í112-kAî(+ k-mw 2)= A0122若要使振幅具有非零解，上述方的系数行列式为零，即：k- mw 2- k1= 0-kk- mw 2相关内容可自学高等数学2中有关线性代数部分内容多自由度保守系的振动：双振子(k - m w )(k - m w) - k= 022212由此ìw1ï：= 0(m + m )kíwkmm m， 其中m =12 为约化质量= 12ï2m

12、+ mm mî1212其中1=0表示系统整体刚性平动，而2才是实际振动。再将2代入振幅方，得到振幅关系：A1= - m2A2m1多自由度保守系的振动：耦合双振子弹簧k1的m1与k2的m2之间，由弹簧k牵连，形成一耦合双振子系统。k1kk2O1x1O2x2x仍旧设坐标轴为x轴，弹簧自然状态时m1、m2所在处分别为平衡点O1、O2。振动时m1相对平衡点O1的位移为x1 ， m2相对平衡点O2的位移为x2。由此建立动力学方：ìd2 x= -k1 x1 - k (x1 - x2 )ïm11dt 2íd2 xïm= -k x - k (x- x ) 2

13、dt 2ïî22221m2m1多自由度保守系的振动：耦合双振子同样设简正模式下m1、m2的运动方程分别为：= A1coswxì 1ttíA2cosw=xî2代入动力学方k，可以得到关于振幅的代数方：ì+(kw )-mA -k0A=21112íw-kA+ k(+k-=2m)0Aî1222振幅具有非零解即上述方的系数行列式为零：w+ k- kk- wm22km= 011k -+k22多自由度保守系的振动：耦合双振子k + k - m w- kk + k - m w2= 011- k222展开为：(k + k - m w

14、 )(k+ k - m w) - k= 02221122为了便于理解，我们考虑这种情况，k1=k2=k，m1=m2=m，上式即简化为：(2k - mw 2 )2- k 2= 0：ìk m3kïw1=ïíïw=ïî2m多自由度保守系的振动：耦合双振子相应的振幅之比为：ìï+1， 当w = w1 =æ A1 ök / m3k / mkç÷A= íw2k - m2ïî-1， 当w = w2 =è2 ø由此，耦合双振子系统存

15、在两种简正振动模式：ìx1 (t) = A cosw1tíx(t) = A cosw tî 21或：ìx1(t) = A'cosw2tíx(t) = - A'cosw tî22多自由度保守系的振动：三振子类似于CO2这类双原子，即碳原子居中，两侧对置着氧原子，其力学模型抽象为三振子系统，即中间物体M两侧连接着两个劲度系数为k的弹簧，两弹簧另一侧连接物体m。kkOOx设物体坐标轴为x轴，弹簧自然状态时两侧物体m所在处为平衡点O。依旧按照设位移函数建立动力学方设简正模式化振幅方振幅比的思路求解。解本征频率解mMm多自由度保

16、守系的振动：三振子kkOOx动力学方：ìd2 x= -k (x1- x2 )ïm1dt 2ïïd2 x= -k (x2 - x1) - k (x2- x3 )íMï 2 dt 2ïd2 x= -k (x3 - x2 )ïm3dt 2îmMm多自由度保守系的振动：三振子简正模式：= A1 coswtìx1ïx= A coswtí22ïx= A coswtî32代入动力学方后得到振幅方：ì(mw 2 - k ) A + kA = 012ïw

17、kA + (M- 2k ) A + kA= 02í123ïkA + (mw 2 - k ) A = 0î23多自由度保守系的振动：三振子使振幅具有非零解的系数行列式为零：w 2-mkk- 20w 2kk = 0kMkmw 2 -0k即：kw)-w 2w(m -()k-= k22222(mM2)k0： ìï=0=A=A，ïïíïïk ，m=-A= 0，AkmMMïw3îm =， = -AA，mm2+M2m耦合三振子耦合三振子的简正模式（横向）振动的复数表示对于一维振子，我们考虑

18、其动力学方程：d2 x + w=w =2x0，kmdt 2x (t) = Aei(wt +j )代入方程，发现这种形式也是方程的解。而式中的A、分别对应振动的振幅、固有角频率和初。x (t) = Aei(wt +j )公式 ei利用开为：，展x (t) = Aei(wt +j )= A cos(wt + j) + iAsin(wt + j)可知其实部对应实际振动的位移x(t)。振动的复数表示利用复数形式表示振动具有求导、等计算方面的便利性。、求模（振幅）x (t) = Aei(wt +j )振动位移v(t) = dx= iwAei(wt +j )振动速度dta(t) = dv = -w 2 A

19、ei(wt+j)振动度dtx (t) × x *(t) =Aei(wt +j )× Ae-i(wt +j )振幅（求模）A = A阻尼振动保守振动系统是理想情况，实际中总是存在阻力。在有阻力的情况下，振动系统的动力学方程迎修改为：d2 xF = m= -kx + fdt 2f对应着阻力项，其方向与速度v方向总是相反，在一定条件下（如低雷诺数的流体中）是速度v的线性函数，即：f = -gv = -g dxdt动力学方程为：d2 xdx= -kx - gmdt 2dt阻尼振动d2 xdx= -kx - gmdt 2dt，2b = g km令w=0m运动学方程可写为：d2 x +

20、dx2b+ w x = 020dt 2dti(wt +j )x (t) = A e将代入方程，可得：0(-w 2 + i2bw + w ) A ei(wt +j )= 0200- w 2 + i2bw + wA ei(wt +j )= 02要使有非零解，00阻尼振动w 2- i2bw- w= 020：w = ±w -b+ ib220w > bw-b> 0，w为复数，其实部对应振动22202（1），0频率，虚部对应衰减。考虑到实际振动频率为正值，w =w -b+ ib22因此取，运动方程为：0i( w 2- b 2 +ib )t +j w 2- b 2 t +j )= A

21、e-btei(x (t) = A e0000x(t) = A e-btcos(w -bt + j)22反映其实际运动的实部00阻尼振动x(t) = A e-btcos(w -bt + j)2200x固有角频率：k 2Aw =w -b- b=2220T0m2固有周期：T = 2 =22=twow -b22k 2- b 20m2振幅随时间的衰减：A(t) = A e-bt0A e- bt0阻尼振动w = ±w 2-b 2 + ib0w < bw -b< 0，w = i(b ±b 2w22-2220（2），) 为纯虚数，00其实部为零即没有振动项，故实际运动为物体从初

22、始位置开始向平衡位置缓慢移动，但还未到达平衡位置 其能量已耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。这种情况称之为过阻尼，其运动方程：(- b +b 2 -w 2 )t(- b -b 2 -w 2 )tx(t) =x+A eA e0012ot阻尼振动w = ±w 2-b 2 + ib0w -b= 0 ，ww = b22= w= ib 为阻尼振动和过223）（，0012阻尼状态的临界点。这重情况下物体从初始位置开始向平衡位置移动，刚到达平衡位置时其能量即耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。这种状态称之为临界阻尼。- btx (t) = ( A + A t)ex12ot受迫振动由刚才阻

23、尼振动的讨论中我们可以知道，若没有外部能源，具有耗散的振动系统是不能持久的。现在我们讨论系统在周期性外力驱动下的振动，期性外力称为策动力，其表示形式为：这个周f = F coswt相应的动力学方程演变为：d2 xdx= -kx - g+ F coswtmdt 2dt，2b = g，C = Fkm令w=，将动力学方程化为：0mm受迫振动d2 x +dx2b+ w x = C coswt20dt 2dt将运动学方程写成复数形式，可得：d2x +dx2 2b+ w x = Ceiwt0dt 2dt观察上式，认为振动频率与策动力频率相同是合理i(wt +j )x (t) = A e的，因此将代入方程，

24、有：0(-w 2+ 2ibw+ w )x = Ceiwt20：Cx (t) =eiwtw- w 2 ) + 2ibw2(0受迫振动：位移共振得到：ì A =C=*ïw- w 2 )2 + 4b 2w 22ï(0íïtan j = -2bwïw- w 2 )2(î0振幅A关于策动频率w的函数图象为：A可以发现，无论取w还是w0作为变量，振幅随频率都有极大值，这种现象称之为共振。w /wo10阻尼较大阻尼较小无阻尼受迫振动：位移共振根据位移振幅关于角频率的响应：CA =*=w- w 2 )2 + 4b 2w 22(0在dA/dw

25、=0时我们能够得到相应的共振峰位：w =w- 2b 2C20=Amax2bw- 2b 220在弱阻尼条件下，即 b 2<< w2有：0w = w0C=Amax2bw0受迫振动：速度共振受迫振动的运动方程：Cx (t) =eiwtw- w 2 ) + 2ibw2(0将其对时间t求导可得速度随时间的函数：v(t) = dx (t) = iwx (t)dt，v(t) = wx (t)ei/ 2公式i = ei / 2利用上式的意义是速度幅值在数值上和位移振幅具有关系= + j相比位移滞后p/2，即jv = wA ，而速度的v2受迫振动：速度共振速度幅值随频率的变化关系：wCì&

26、#239;v = wA =w- w ) + 4b w22222ï(0í2bw= - arctanïjïvw- w 2 )22(î0速度幅值v关于策动频率w的函数图象为：同样在dv/dw=0时我们能够得到相应的共振峰位：w = w0vC2b=Vmaxow /w10差Dj =(w2 t+j 2)-(w1 t+j 1)对两同频率的谐振动 Dj同相和反相=j2-j1当Dj当Djx= ±2kp ， ( k =0, 1, )，两振动步调相同，称同相= ±(2k+1)p ，( k =0, 1,)， 两振动步调相反，称反相x反相AAxx同相

27、1111xA2A22TTo- A2-A1ott- A2-A1x2同频率平行振动的若一个质点同时参与两个同频率且方向平行的动，即：振= A1 cos(wt + j1 ),x2 = A2 cos(wt + j2 )x1其合振动：x = A1 cos(wt + j1 ) + A2 cos(wt + j2 )= A cos(wt + j)其中：+ A2 + 2 A A cos(j- j )A =A2121221A1 sin j1 + A2 sin j2A1 cosj1 + A2 cosj2tan j =同频率平行振动的x = A1 cos(wt + j1 ) + A2 cos(wt + j2 ) =

28、A cos(wt + j)+ A2 + 2 A A cos(j- j )A =A2121221A1 sin j1 + A2 sin j2A1 cosj1 + A2 cosj2tan j =j2 - j1 = 2k（k = 0，k = ±1，k = ±2¼）时，（1）当A =+ A2 + 2 A A= A + AA2121212j2 - j1 = (2k +1)（k = 0，k = ±1，k = ±2¼）时，（2）当A =+ A2 - 2 A A=A - AA2121212不同频率平行振动的：拍若一个质点同时参与两个方向平行但是不同频率

29、的简谐振动，即：x1 = A1 cos(w1t + j1 ),x2 = A2 cos(w2t + j2 )为简化问题，我们假设两个振动的振幅和初相同：x1 = A cos(w1t + j ),x2 = A cos(w2t + j)利用和差化积公式：w- w1w+ w1æöæt + j ö= 2 A cosç2tcos÷ç2÷2è2øè2ø不同频率平行振动的：拍w- w1w+ w1æöæt + j ö= 2 A cosç÷ç÷2tcos22è2øè2øw- w1æt öcosç2÷合振动包含一个随t变化较慢的余弦因子è+2。øæ w + wötj ÷和一个随t变化较快的余弦因子cosç21è2ø令 w2 - w1 = Dw：ww+ w1D