高中数学不等式习题及详细答案

1、第三章不等式一、选择题21 .已知 x>5,贝f（x）= x4x+5 有（）.2 2x 4A.最大值5B.最小值5C.最大值1D.最小值1442.若x>0, y>0,则（x+工）2 +（y+工）2的最小值是（）.2y2xA. 3B. 7C. 4D.-2 23 .设a>0, b>0则下列不等式中不成立的是（）.A.a+b+J_)2<2B.(a +b)( +工)4 aba b22C. a bL >a+bD. _2ab_ > vab.aba b4.已知奇函数f(x)在(0, +x)上是增函数，且f(1) =0,则不等式f(x)f(x) xV 0的解集为

2、().A. ( 1, 0) U (1 , +oo)B. (x, 1)U(0, 1)C. ( x, - 1) U(1 , +oo)D. (-1, 0) U(0 , 1)25 .当0vxv时，函数f(x) - 1+cos2x+8sin x的最小值为() 2sin 2xA. 2B . 2V3C. 4D. 4736 .若实数a, b满足a+ b= 2,则3a+3b的最小值是（）A. 18B. 6C. 2 3D. 243x > 07.若不等式组 x+3y >4,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 4分为面积相等3x+ y < 4的两部分，则k的值是（）.A. 7B. -C. 4D.-3

3、7348.直线x + 2y+3 = 0上的点P在x y = 1的上方，且 P到直线2x+y6 = 0的距离为3后 则点P的坐标是（）A. ( 5, 1)B. ( 1,5)D. (2 , -7)9.已知平面区域如图所示， z=m奸y（m> 平面区域内取得最优解（最大值）有无数多个，则 为（）.A. - 7-B. L2020C. 1D.不存在2C. (7, 2)（第9题）0）在m的值10.当x>1时，不等式x+，）a恒成立，则实数a的取值范围是（） x 1A. （x, 2B. 2 , +oo） C. 3, +oo ） D. （x, 3、填空题所表示的平面区域的面积12.设变量x, y满

4、足约束桑林2y 3若目标函数z = ax+ y（a>0）仅在点（3, 0）处取得最大值，则a的取值范围是13 .若正数a,b满足ab= a+b+3,则ab的取值范围是 14 .设a, b均为正的常数且 x>0, y>0, a + b=1,则x + y的最小值 x y为.15 .函数y = loga（x+3） 1（a>0,且a才1）的图象恒过定点 A,若点A在直线 m杆ny + 1=0上，其中 mn>0,则1+ 2的最小值为.m n16 .某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为Pi,第三年比第二年增长的百分率为6,若pi+6为定值，则年平均增长的百分率p的最大值

5、为.三、解答题 217 .求函数y= x+7x+10(x>1)的最小值.x+118 .已知直线l经过点P(3, 2),且与x轴、y轴正半轴分别交于 A, B两点, 当AAOB®积最小时，求直线l的方程.19 .某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20 . (1)已知x< 5 ,求函数y = 4x1+1 的最大值; 44x 5(2)已

6、知x, ye R*(正实数集)，且1+ 9 = 1,求x+y的最小值；x y2(3)已知a>0, b>0,且a2+2 = 1,求a/+b2的最大值.2参考答案1. D22 .解析：由已知 f(x)= x4x+ 5 =(x 2) +1 =1(x 2)+ -2x 42(x 2)2x- 2x> 5 , x-2>0, 2I" 2)+x- 21.n=1，当且仅当x2=，即x= 3时取等号.x-22. C解析：(x+L2+(y+1)22y2x= x2+3+3+y2+ ) + 工y 4y x 4x_2 12 1一 x H 2 + y 2"十x2+47>2Vx

7、2 41，4x24y2当且仅当x2=y, x=遥时取等号;4x22"仁L，当且仅当y2=*，y=9时取等号;y2=x2时取等号.-+>2 .fxny=2(x>0, y>0),当且仅当- = y, y x . y xy x> v ab不成立.方法二：可逐项使用均值不等式判断A:a+ b+ ,>2 J ab + ；. ab、 ab>2 2病工 =2& ,不等式成立. .abB： V a+b>2ab>0,二 十 二>2 J1>0,相乘得(a+b)( 1 +1)4 成立. a b . aba b2C:a2+b2= (a+ b

8、)2 2ab>(a+b)2 2b =222, 2又 VObwJb-X > -2- ,，a二 a十b 成立.2, ab a b ,. abD:a+ b> 2 abJa b 2*ab空 0 2ab =.，即空.不a b 2. aba b成立.4. D解析：因为f(x)是奇函数，则f(x)= f(x),f( x)f( x) <0 包为0 xf(x)v0,满足 x xx号的x的集合为所求.因为“乂)在(0, +°°)上是增函数，且f(1) =0,在(0, +°°)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性(第4题)与f(x)异画出f (x)质

9、得到f(x)在(一X, 0)的图象.由f(x)的图象可知，当且仅当 xG (-1, 0)U(0, 1)时，x与f(x)异号.5. C解析：由 0vxv：,有 sinx>0, cosx> 0.f (x)=2221+cos2x + 8sin x = 2 cos x+8sin x = cosx +sin 2x2sin xcosx sin x4sin xcosx>2.S注.”蜂=4,当且仅当空照=生叱，即tan x=工时，取“=” sin x cosxsin x cosx2与直线解得K5丁 0vxv，存在 x 使 tan x=；,这时 f（x）min=4.6. B解析：< a+

10、 b = 2,故3a+3b>2；FV=2j萍 =6,当且仅当a=b=1时取等 号.故3a+3b的最小值是6.7. A解析：不等式组表示的平面区域为如图所分 ABC由 x+3y=4得a（i , i）,又 b（o, 4）, qo, 3x + y=4由于直线y=kx+4过点qo, 4），设它3x + y = 4的交点为D,贝4由SaBCD= Sa ABC, 知D为AB的中点，即25 = kx 1+4, k=7.22338. Axo+2yo+ 3= 0,解析：设P点的坐标为（x°, y°xo7y0上1<0,|2xo + yo 6点P坐标是（5, 1）.9. B解析：当直

11、线 mx+ y = z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解.3- 22kAC=-=5 120一 m=7-, 即 m=. 202010. D解析：由 x+，=(x1) +，+ 1, x1x1x>1, x-1>0,则有(x1) +，+ 1)2j(x 1) ' + 1=3, x-1,x-1贝(J a< 3.二、填空题这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求.第一个不等式组所对应的区域 如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在.图中 A(3, 8), B(3, 3), Q0, 5),阴影部分的面积为3 (11+5) =24.212. a1 a>-2解析：若 z

12、=ax+y（a>0）仅在点（3 , 0）最大值，则直线z=ax+ y的倾斜角一定小于+ 2y 3=0的倾斜角，直线z = ax+y的斜率处取得（第门即直线x就一定小于直线x+2y3=0的斜率，可得：ava>2-13 . ab>9.解析：由于a,b/正数，等式中含有ab和a+b这个特征，可以设想使用誓> <b构造一个不等式.ab= a+b+ 3> 2<0b+3,即 ab）2«7 + 3（当且仅当 a=b 时等号成立）， ( Jab ) 24 ab 3)0, (vOb-3)(VOb+ 1)>0,VOb>3,即 ab> 9(当且仅

13、当 a=b=3时等号成立).14 .(西十亚)2解析：由已知ay, bx均为正数， x yx+ y = (x+ y)(+ -b ) = a+ b+ ay + bx >a+ b+ 2 但=a+b+ 2Vab ,x yay _ bxx y|a bI =11 x y即 x= a+型时取等号. y= b+>/abr即x+y>(四+/)2,当且又当15 . 8.解析：因为y = loga x的图象恒过定点(1, 0),故函数y=loga(x+ 3) 1的图象恒过定点A(-2, 1),把点A坐标代入直线方程得 m2)+ n( 1)+1=0,即2mn=1,而由mn>0知，4m均为正,

14、 m n工+ 2 = (2m+ n)( l + 2)=4+Jn + 4m>4+ 2；-也=8,当且仅当 m nm nm n.mn,1n 4m m m=-，m=M ：时取等号.、2m+n=11 n=一216 Pp22解析：设该厂第一年的产值为a,由题意，a(1+p)2=a(1+pD(1 +，且1+ p1 > 0,1 + P2>0,22所以a(1 + p) = a(1+p1)(1+P2) <a1+ p1+1 + 比=a1+ p1+ p2,解得22p< 叱包，当且仅当1 + 2=1 +访,即力=6时取等号.所以p的最大值是 上士运.22三、解答题17 .解：令 x+ 1

15、 = t >0,则 x = t 1,丫=(1丁1+10 =牛 + .29，当且仅当t =即t=2, x=1时取等号，故x=1时，y取最小值9.18 .解：因为直线l经过点P(3, 2)且与x轴y轴都相交,故其斜率必存在且小于0.设直线l的斜率为k则l的方程可写成y 2=k(x 3),其中kv0.令 x=0,则 y = 23k;令 y = 0,则 x= 2+ 3.(第 18题) k12141,4Saaob= (2 3k)( + 3) = 12+( 9k)+()12 + 2 )( 9k)()2k2k 2.k12,当且仅当(9k)=( 4),即k= 2时，S ao有最小值12,所求直线方程为

16、k3y 2= 2(x 3),即 2x+ 3y- 12=0.319 .解：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3yx 0则有y 0,目标函数z=5x+3y3x y <132x 3y < 18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x = 3, y = 4时可获得最大利润为 27万兀.20 .解：(1) V xv 5,4x-5<0,故 5-4x>0.4,1,1、y = 4x1十 一 5 -4x+ - > 25- 4x)=2,5- 4x15- 4x二. y0 2 + 4 = 2,当且仅当5 4x= ,即x=1或x=3(舍)时，等号成立,5- 4x2 = (5 4x+ ) +4.4x 55 4x故当 x= 1 时，ymax= 2.(2) ; x>0, y>0, 1+ - = 1, x y，x+y=( 1 + £)( x + y) = 2 + 9x+ 10>2 乜. 9x +10=6+10=16. x yx y- x y当且仅当？=9x,且J+9 = 1,即x=4,时等号成立，x y x yy=12当 x = 4, y= 12 时，(x+y)min=16.20 c 1 b