高中数学论文集浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用

1、浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具 体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想.在高中数学中，数形结合是一条重要的 数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在处理边角关系的问题中也有较多 的应用.在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的思想的应用， 能使许多数学问题简单化.下面举一些例子作详细说明：一、数形结合思想在解决集合问题中的应用.1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题.一般用圆来表示集合，两圆相交则表 示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素.利用韦恩图法能直观地 解答有关集合

2、之间的关系的问题.如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为6人，同时参加理化小组28, 25, 15,同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的的7人，问同时参加数理化小组的有多少人?分析：我们可用圆A、B、C分别表小参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素，则有:n(A)n(B) n(C)n(A B) n(A C) n(BC) n(A即：2825 15 86 7 n(A B C) 48n(AB C) 1,即同时参加数理化小组的有1人.例2、设I 小于10的自然数，已知A B2 ,A求 A, B.分

3、析：如图，用长方形表示全集I,用圆分别表示集合A和B,用n表示集合1,9, A B 4,6,8.的元素，则有：n(A) n(B) n(A B) n(A B) I从韦恩图我们可以直观地看出：A 2,3,5,7,B2,4,6,8 .2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题.例 3、设 A x|x2 16 0 ,B x|x2 4x 3 0 ,I R.求 A B, A B, AB, AB.d+、+ h匕 ?b 分析:分别先确定集合A,B的元素，-4 - 2012 34A x| 4 x 4 , B x| x 3或x 1 ,然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：AB

4、x| 4x 1或3x 4（公共部分）A B I（整个数轴都被覆盖）ABx |x4或1 x3或x4 （除去重合部分剩下的区域）A-（除去覆盖部分剩下的区域）例4、已知集合 A x| 1 x 3 ,B x|a x 3a ,（a 0）若A B ,求a的范围.若B A ,求a的范围.分析：先在数轴上表示出集合 A的范围，i I 1 :要使a b,由包含于的关系可知集合b应该a _73"Ma 1覆盖集合A,从而有：，这时a的值不可能存在.要使B A,这时集合应该覆盖3a 3a 1集合B,应有 成立.3a 3可解得1 a 1为所求a的范围.二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题.1、 利用二次

5、函数的图像求一元二次不等式的解集例5、解不等式x2 x 6 0 .分析：我们可先联想对应的二次函数y x2 x 6的图像草图.从x2 x 6 0解得x12, x2 3知该抛物线与x轴交点横坐标为-2, 3,当x取交点两侧的值时，即x2或x 3时,y 0 .即x2 x 6 0.故可得不等式x2 x 6 0 .的解集为:x|x2或x 3 .同理，根据图像，我们还可以直观地看出:x| 2 x 3等等.例6、求不等式 x2 2x 3 0的解集.分析:我们先联想对应的二次函数yx2 2x 3的图像草图，抛物线开口向下，与x轴没有交点，很明显，无论x取任何值时都有 y 0.即 x2 2x 3 0,.-.

6、x2 2x 3 0的解集为空集. 而x2 2x 3 0的解集为全体实数.x2 x 6 0的解集为因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定 抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集2、 利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题.例7、a为何值时，方程2a2x2 2ax 1 a2 0的两根在1,1之内?分析：显然a2 0,我们可从已知方程联想到相应的二次函数y2a2x22ax1 a2的草图，从图像上我们可以看出，要使抛物线与 x轴的两个f( 1) 0(a交点在1,1之间必须满足条件：f( -a) 0即-22f(1) 0(a从而可解

7、得a的取值范围为a 型或a22这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图).要使方程x2 2ax k 0的两实根在方程x2 2ax a 4 0的两实根之间，则对应的函数图像 y1与x轴的交点应在函数图像y2与x轴的交点之内，它等价于抛物线 必的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线 y2的顶点纵 坐标.由配方方法可知y与y2的顶点分别为：P1 a, a2 k , P2 a, a2 a 4.故 a2 a 4 a2 k 0.故可求出a与k应满足的关系式为:a 4 k a2 .3、 利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题.例9、解方程3x 2 x分析：由方程两边的表达式我们可以联想

8、起函数y 3、与丫 2 x,作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x 0.4.例10、设方程x2 1 k 1,试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.分析：我们可把这个问题转化为确定函数必 x2 1与y2 k 1图像交点个数的情况，因函数V2 k 1表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出：当k无解;当k 1时，必与y2有两个交点，原方程有两个不同的解；当1 k 0时，y1 与y2有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；当 k 0时，y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个；当 k 0时y与y2有两个交点，原方程不同解的个数有三

9、个.4、 利用三角函数的图像解不等式.例 11、解不等式 2sin2x (V3 1)sin xcosx (v,3 1)cos2 x 1 .分析:原不等式进行适当的变形后可得到：sin2 x ( . 3 1)sin xcosx . 3cos2 x 0又cos2* 0, 不等式两边同时除以cos2x可得:tan2 x (, 3卜面关键分析如何求1) tan x 33 0 . 1 tanx M3问-内作出y2 2tan x的函数图像，冉作出两平行于x轴的直线y 再与y tanx的图像相交于点Pi,P2 .P1,B两点对应的横坐标分别为x1又因为正切函数y tanx的周期为Z .故可求得所求不等式的解

10、集为：x|k表达式我们可以看成两个函数y1cosx,y2kx4分析：从不等式的两边sinx .在0,2上作出它们的图像，得到四个不同的交点-,k3例12、解不等式cosx0d 7r，2内时,必cosx的图像都在y2sinx的图像上方.所以可得1 tanx g的解集.我们可以联想正切函数y tanx的图像，在区357到原不等式的解集为：x10 x z或z x 7或7三、利用函数图像比较函数值的大小.利用它们图像的直观性进一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值, 行比较.如:例13、试判断0.32,log 2 0.3,20.3三个数间的大小顺序.2分析：这三个数我们可以看成三个函数 yi

11、 x2,y2 log2 x, y3 2、在乂 0.3时，所对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像（如图），从图像可以直观地看出当x 0.3时，所对应的三个点已尸2尸3的位置，从而可得出结论：20.3 0.32 log 2 0.3 .四、利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题.在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函 数线可作出对应三角函数的图像.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应 用它解决三角不等式问题，简便易行.1 例14、解不等式sin x .2分析：因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示.我们先在y轴上取一点P,使OP 1 ,恰好表示角x的正弦线sinx -, 22过点P作x轴的平行线交单位圆于点P1,P2,37在 一,一内，OP1QP2分别对应于角 一，一2 2661 .一.要求sinx-的解集，只需将弦P1P2向上平移21 一（这时所对应的正弦值恰好为 ）.而使OP1QP2重合（也即点P向上平移至与单位圆交点处）.这样OP1QP2所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为:x|2k x 2k -,k Z 661例15、解不等式cosx 一2分析：根据余弦线在单位圆中是方向平行于X轴的有向线段.先在x轴1 .上取点P,使OP 1,恰好表小角X的余 21弦线cos