高中数学数列知识及练习题附答案

1、、巩固提高1.数歹U 1,3, 6, 1015数列的概念和性质（一）练习题的通项an可以等于（）(A) n2(n 1)n(n 1)(B)2.数列10, 130,225, 0n(n + 1)(C)2(D) n 2n + 2370,2的通项an可以等于（）5)(B)(-1)n1 (6n 5)(1)n(C)1 (6n5)(D)(1)n1 (6n 5)3.巳知数列an的首项a1 = 1an 12an1(n25为（）（A） 7二、能力提升(B)15(C)30(D)315.根据数列的前几项，写出数列(1)(2)(3)32,2(4)(5)79,34156,41199,3一,3512,一12，4一,6320,

2、 304999, 9999,3434, 343434,an的一个通项公式：5 .9934343434,6.写出下面各数列的一个通项公式(1)心，3,15(2)(3)263 70, 1, 112132, 220213, 330314243答案及时反馈1.一.巩固提高二.能力提升(1)一 n1.C.；22.A;3D.5. (1) an(2n 1)(2n 1)(1)n n2 1(2)an = ( 1)n 1n(n 1)20-4 .4444(3) an =(为了寻求规律，将分子统一为 4,则有二，,-,-,173n141185 .4所以 an=17- 3n(4) an = 10n 1(5) an =

3、34 (102n 1).由(4)的求法可得 a1= 34 (102 1),9999a2= 34 (1041), a3= 34 (106-D,故 an =2(102n 1)9999996.(1)#3(2n 1)；(2)n(n 1)n(n 1) 1ann 1/n2（n为正奇数）.，或 an（n为正偶数）n ( 1)n 124（评注：anf （n） （n为正奇数）g（n） （n为正偶数）则:an守f(n)数列的概念和性质（二）2.由前n项和Sn求通项公式例2已知数列an的前n项和为Sn ,请根据下列各式求an的通项公式.（1） Sn 2n2 3n；（2） Sn 3n 2.2_即时反馈1.已知数列an

4、的前n项和为Sn,且Snn 3n 5 ,求an的通项公式.3.数列性质2k 3,3),例3已知数列an= n2 kn （n=1,2,3,）是递增数列，求k的取值范围.（注意：应该由 <±得k （2 2而不是-1）2即时反馈2.已知数列an的通项公式 an= 2n 1,数列bn满足111(1)(1)(1)a.a abn 1-J二，求证数列bn是单调递增数列2n 1例4已知数列an的通项公式an一行n 18(nn 、17N*),求an取得最大值时n的值.(分析：分离常数得an=17+当n = 4时,an最大)2即时反馈3.已知数列an的通项公式an= n 15n 40 ,求数列an

5、中最小的项例5已知有穷数列1, 12, 123, 1234,123456789.在每一项的数字后面添写后一项的序号即是后一项 (1)求出数列an的递推公式；(2)求 a5, ae ;(3)用上面的数列an,通过公式bn = an+1 an构造一个新数列，写出数列 bn的前4项;(4)写出数列bn的递推公式；(5)求出数列bn的通项公式.即时反馈4.已知数列an的通项公式an与其前n项和Sn满足Sn2 3an.(1)求 a1；，一、 r、(2)求an+1与an( n N )的递推关系;*、(3)求Sn+1与&( n N )的递推关系、巩固提高数列的概念和性质(二)练习1 .若数列an的前

6、n项和Sn2n21 ,则a1与a5的值依次为()(A) 2 , 14(B)2,18(C)3, 4(D)3182 .若数列an的前n项和Sn4n22,则该数列的通项公式为(A) an 8n 5(n N(B)an 8n*5 (n N )(C) an8n 5 (n 2)(D) an8n 5(n(n 1) 2,n3 .已知数列an的前n项和Sn2n5,则aea7a8(A) 40(B)45(C) 50(D)554 .若数列an前8项的值各异，且an对任意的都成立，则下列数列中可取遍an前8项值的数列为()(A) a2k 1(B) a3k 1(C) a4k 1 比k 1二、能力提升5.已知数列an满足3(

7、A)2a1 = 1,当 n9(B)42时，恒有aa225(C)9an= n2,则 a5 等于()25(D)166.数列an中，已知a1 = 1a2= 5an 2an 1ana2008 =()(A) 1(B)(C)(D) 47.已知数列an满足a1 = 1ancanb,且a2=3, a4=15,则常数c、b的值为8.已知数列an满足a1 = 0anan.3求 a20.9.设an是首项为1的正项数列,2an 12nan an a(n =1)，求它的通项公式是an.10.已知数列an各项均为非负整数，满足an1an(an 12)( an 2 2) (n=3，4, 5求a3.11.已知数列an中，a1

8、 = 1, an 11 an .(1)写出数列的前5项；猜想数列an的通项公式.12.已知数列an满足a = 0, an1Sn2n 2n ( n其中Sn为an的前n项和，求此数列an的通项公式.答案：即时反馈1.即时反馈2.分析:所以数列即时反馈分析：法anbn 1bn2n 22n 1(1bn是单调递增数列.(n 1)*(n 2,n N ) an 12n 2.4n2 8n 42n 3,(2n1)(2n3)4n28n 33.数列an中最小的项是a7=a8 = 161：直接由二次函数性质求出法2:由an>an _1 且 an<an+1 求出:及时反馈4.巩固提高.1. D11 (2)2

9、2. D 3.3*、an 1 an ( n 1, n N )4B 4. BSn14Snn 1, n能力提升.5. D.分析：ana1 a2ana1a2an 1n225所以a5=25(n 1)2166. B.分析：经计算可知每6个数数列将会重复出现,a2008 = a4 = - 1c2f c 37. 或b1b68. a20、：3分析：计算出a2,3a333 , a4 =0,所以a20 = a23319. an10. a3 =2n分析：当n=3时，a3 a4= (3+2) (0+2) =10,由于an为非负整数，所以a3的可能取值为1, 2, 5, 10.、”.一 3 = a3=1 时，a4 =1

10、0,a4a5= (1 + 2)(3+2) =15,得a5= ,不口题思；2当 a3 =2 时，a4 = 5, a4 a5 = (2 + 2) (3+2) = 20,得 a5 =4；此时 a5 a6 = ( 5+2)(2+2) =28, a6 = 7,当 a3 = 5 时，a4 = 2,a4 a5= (5 + 2) (3+2) =35,得 a535*、=35不合题意;2当 a3 = 10 时，a4 = 1,a4 a5= ( 10+2) (3+2) = 60,得 a5 =60；此时 a5 a6 = (1+2)3 一一(10 + 2)=36, a6= ,不合题意5综合可知：a3 = 211. (1)

11、1,11 112，3, 4，5. (2)1an -n0 (n 1)12. an2n 1 (n 2,n N + )等差数列概念和性质、等差数列的性质:an是公差为d等差数列7Ean 1 a n d2 an 1anan 2义,.、ca 2-/ .d、an pn q ( p d )Sn An Bn ( A 一)2.*am an ak al (mn kl)(m,n, k,lN)性amand am an(m n)dm n质akn b仍是等差数列，公差为 kd(k N ,kn b N )数列Sn、S2nSn、S3n S2n、是公差为n2d的等差数列项数为2n时S偶S奇nd 亘旦S 偶an 1S奇S偶 an

12、 1a中项数为2n 1S偶n(项数之比)S奇n 1S2n 1(2n 1) an 1( an 1 a中)若数列an、bn分别是公差为di、d2的等差数列，则数列xan+ybn也是等差数列，其公差为 xdi+yd2.等差数列性质应用二、等差数列性质的应用例 1 在等差数列an中，若ai+a2+aio= p, an-9+an-8+an=q( n 10, n N ),求数列an的前 n项和Sn.即时反馈1. 一个有限项的等差数列，前 4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是 210,则此数列的项数为()(A) 12(B) 14(C) 16(D) 18例2设S是等差数列 an的前n项和，若 w3

13、,求g2 .即时反馈2.设Sn是等差数列an的前n项和，且S10=100, S100=10,试求S120.*例3已知数列an、bn都是公差为 1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5, a" b1 N ,设一*Cnabn (n N )，求数列cn刖10项和.即时反馈3.设等差数列an的公差为2, aI+a4+a7+ a97=50 , 求 a3+a6+ a9+ a99.S3n 5、获例4两等差数列an、bn的前n项和分别为 Sn和Tn ,右，求.Tn2n 7 b15. S7n 45 a 即时反馈4. (07湖北)两等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn,若？. 5,

14、求an为整数Tnn 3 bn的正整数n的个数.等差数列性质应用(一)练习1.已知某等差数列共有 10项，其奇数项和为15,偶数项和为30,则公差为()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 52.设数列an是公差为正数的等差数列，若ai+a2+a3=i5, aia2a3=80则a1i a2 a13()(A) 120(B)105(C) 90(D) 753.在等差数列an中，若 a4 a612 ,设Sn是数列an的前n项和，则S9的值为()(A) 48(B) 54(C) 60(D) 664.在等差数列an中，已知a12, a? a3 13,则 a4a 5a6()(A) 40(B) 42(C) 43(

15、D) 455.若等差数列an的前n项和Sn2n 2n m,则 m _；公差d =.二、能力提升6.数列an为等差数列，公差为 d,则数列a a2 a3,a4a5 a6, a? a8 ag,L 是()(A) 公差为3d的等差数列(B)公差为6d的等差数列3(C)公差为9d的等差数列(D)公差为d的等差数列7 .在等差数歹U an中，ai5 = 10, a45 = 90,贝U a60=.8 .若等差数列an的项数为奇数n,则奇数项之和与偶数项之和的比是 .S奇 279 .等差数列an有12项，且 S12 = 354 ,其中，则公差 d =.S偶 32 110 .在等差数列an中，公差d 一，S10

16、045 ,则S奇 .211 .设Sn是等差数列an的前n项和，若S5 = 10, S10=5,则公差d=12 .项数为2n的等差数列an中，S奇24, S偶30, a?n 1 a1 10.5,则项数为 .13 . (08重庆)设&是等差数列an的前n项和， 队 8 , S99,则S16=答案 即时反馈1. B;即时反馈2.252; 即时反馈3.82;即时反馈4. 5个巩固提高1: B. 由于S偶一S奇=5d =15,所以d =32： B. 由 a a2 a315可知 a25 ,所以 5 (5 d ) (5+ d ) = 80,故 d = 3而 a11 a2 a33a12 = 3( a?

17、+ 10d ) = 1053： B. 由于 2a5 = a4 a612 ,所以 a5 = 6,所以 S9 = 9a5 = 544： B. 由于 a+a4=a2 a313且 a12得 a4=11,所以 d = 3,而 a4a5 a6 3a5=3 ( a4 + d ) = 422d - 一5： m 0；公差d =2.由公式Sn An Bn ( A 一)直接可得2能力提升6. C7. 130. 由于 2a 30=a15 + a45,所以 a30 = 50,而 a60 + a15 = a30 + a 45,所以 a60 = 1308. .由于有 U 个奇数项， 上个偶数项，所以项数之比为n 122n

18、1S奇27彳曰S偶一S奇3227日 6d5雨门.9. 5 . 由 得=,即,所以d = 5S 偶32 S偶+ S 奇32+273545910. 10. 由于S偶一a=50d =25，且S偶S奇=45,所以 珀=1011. d= 1 . S10 _ S5= a6 a7 + a0= 15, (S0 S5) Ss = 5X5d= - 25,所以d = 112. 16. S偶一Sf=nd=6, a2n 1 a1 2(n 1)d = 10.5,相除得 n = 8 因此项数为 1613. 72. S9(a1a9)99，a1a9 2a5 a51 a5 a129'。(aa,e)16电)169 167c

19、S|672222等差数列性质应用(二)学习内容2例1已知数列an共有k项，它的前n项和Sn= 2n n ( n k , n N ),现从这k项中抽取一项(不是首项和末项)，余下的k1项的算术平均值为 79.(1)求 an；(2)求数列的项数 k,并求抽取的是第几项.即时反馈1.设无穷等差数列an的前n项和为Sn.一 32(1)右首项a1 一，公差d =1,求满足S 2(Sk)的正整数k；2k(2)求所有的无穷等差数列 an,使得对于一切正整数 k都有Sk2 (Sk)2成立.例2设数列an的前n项和为 已知a1 = 1, a2 = 6, a3=11,B.且(5n 8) Sn 1 ( 5n 2)

20、Sn = An(1)求A、B的值； 证明：数列an是等差数列.即时反馈2.已知数列an满足a1= a , an 1Snn2 2n (. . * 一、 一， 、 一一 一 n N ),其中Sn是数列an的前n项和.是否存在实数a使得数列an是等差数列？若存在出数列an通项公式；若不存在，说明理由.例3已知数列an的前n项和为Sn,设 an>0an +-=2 Sn ,求 an. an即时反馈3.已知设数列an的前n 1n项和为Sn ,且Sn = (-1) n*N )，求 an.例4在公差d不为零的等差数列 即时反馈4.在等差数列an中,an中，前n项的和为Sn,若a1>0 S10 &g

21、t; 0, S11V0,则使an < 0的最小的S3= S11,求数列前多少项的和最大 n值是()(A) 5(B) 6(C)7(D)8等差数列性质应用(二)练习一、巩固提高1 .在等差数列an中，已知 a4 + a7 + a0 =17, a4+ a5+ a6+(A)162 .已知数列(B) 18(C) 20an的前n项和Sn= n(n 40),则下列判断正确的是+a14 = 77,若 ak=13,贝U k 等于() (D) 22()(A) a190,a21 0(B) a200, a21(C) a190, a210(D) a190,a203.首项为一24的等差数列，从第8，一，(A) d

22、>34. ( 04年全国卷三.理(B) d <3(A)S4S53)设数列(B) S410项起开始为正数, - 8(C) 3 <dan是等差数列，且则公差的取值范围是()<35.(05湖南卷)S5(C) S6a2= 6S5(D) 8 < d <33a8 = 6, Sn是数列an的前n项和，贝U ()(D) S6 S5lim (n1a2 a11a3a2列log2(an 1)(n 61)=()an 1 an为等差数列且a1 = 3 ,a2 = 5 ,则(A) 23(B)2(C) 11(D)2二、能力提升.an6 .数列an中，Sn= 4an1+1 ( n>

23、2且a1=1.右cn;7,求证：数列cn是等差数列.2n7 .在等差数列an中，a1+a2+a3+ a99=99 ,公差 d =1,求 a3+a6+ a9+ a99 的值.8.已知数列an,求分别满足下列条件的an: a1=29,an an 1 2n 1(n 2);anan 1马(n 2)； a1=1,.an . anan 1 ； a1=1,an+i +2 an = 2.29.已知数列an中，a1=2,其前n项和为Sn,若n 2时，Sn n an ,求an.答案:即时反馈1. (1)当a13,d 1时，Sn2n(n 1)n,由 Sk2 (Sk)2 得,1k422122k ( k k)23 1,

24、即 k3(-k40,所以k 4.(2)设数列an的公差为d,则在S.2k(Sk)2中分别取k 1,2 得S1S4(S1)2(S2)24al2a14 32d (2a1由(1)得a1a1a1a10时，代入(2)得：d0,d 0 时，an 0, Sn0, d 6 时，贝U an 6(n0或 d 6；20,从而Sk2 (Sk)成立;1)，由 S318,(S3)2324,S9216 知,S当a12 一 .(S3),故所得数列不符合题意；1时，d 0或d 2,当a1成立；当a11d 2时，则an1,2n共有3个满足条件的无穷等差数列;2 o 1另解：由 Sk2 (Sk)得k2a1 -(kan 1)d2d 0时, 1,Sn 0或ank2a1(1d2 *(da11d 22)k(a21d241d24成立，则有 da(1d 21 d2 一 d2解之得:a1 J42dda所以所有满足条件的数列为:an0或an 1或ana n2n 1,Sn n,2从而 Sk2(Sk)2,从而Sk2 (Sk)成立，综上1 或 a