平行四边形知识点及证明题

1、知新教育伴你成长第18章 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一.正确理解定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个 判定方法.(2)表示方法：用Z7”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD读作“平 行四边形ABCD .2.熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.(1)角：平行四边形的邻角互补，对角相等；(2)边：平行四边形两组对边分别平行且相等；(3)对角线：平行四边形的 对角线互相平分；(4)面积：s底 高=2卜；平行四边形的对角线将四

2、边形分成 4个面积相等的三角形.3.平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4: 一组平行且相等的四边形是平行四边形二、.几种特殊四边形的有关概念(1)矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩 形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形； 一个角是直角，两者缺一不可.(2)菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱 形的性质，也可以

3、看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握： 平行四边形； 一组 邻边相等，两者缺一不可.(3)正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四 边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形.2.几种特殊四边形的有关性质(1)矩形：边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补;对角线：对角线互相平分且相等；对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）.（ 2）菱形：边：四条边都相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；对称性：轴对称图形（ 对角线所在直线， 2 条 ） （ 3）

4、正方形：边：四条边都相等；角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450;对称性：轴对称图形（4条）3几种特殊四边形的判定方法（ 1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 四个角都相等（ 2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形； 四条边都相等（ 3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组 邻边相等 且有一个 直角的 平行四边形 有一组 邻边相等的 矩形 ； 对角线互相垂直的 矩形 有一个角是直角的 菱形 对角线相等的 菱形 ；4几

5、种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（ 1）识别矩形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD的任意一个角为直角. 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD的对角线相等.说明四边形ABCD的三个角是直角.（ 2）识别菱形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD的任一组邻边相等. 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直. 说明四边形ABCD的四条相等. 3）识别正方形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相 先说明四边形ABCD为平行四边

6、形，再说明对角线互相垂直且相等. 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等. 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角.5.几种特殊四边形的面积问题设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=2设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为 a,b,则S麦形=ab .2 设正方形ABCD的一边长为a,则S正方形二a2；若正方形的对角线的长为a,则S正方形=1a2.2平行四边形矩形正方形A图形*口XaC性质1 .对边且；2 .对角;邻角；3 .对角线；1.2.3.；对边1 .对边1.J都2.且3.线.对边边都寸角且;对角且四个角

7、都是;对角线且四条边都;2 .对角;3 .对角线且每条对角线；1 四条;对角四个角;对角线且每条又 ;证明题1 .如图，在菱形 ABCD中，/ A=60° , AB =4, O为对角线 BD的中点，过。点作OEL AB,垂足为E.(1)求/ ABD的度数；(2)求线段BE的长.2 .如图，菱形ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,点E、F分别为边 AB、AD的中点，连接EF、OE、 OF .求证：四边形 AEOF是菱形.C3 .在正方形 ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接 EB ED.(1)求证： BEe DEG(2)延长 BE交AD于F,当/ BED=120°

8、;时，求/ EFD的度数.4 . 已知：如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.(1)求证：BE= DF;(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM,判断四边形 AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.证明：(1)5 .如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G,E分别是边AB,BC的中点，/AEF=90o, 且EF交正方形外角的平分线 CF于点F.(1)证明：/ BAE=Z FEQ(2)证明： AG- ECF，(3)求 AEF的面积.6 .已知梯形ABCD中，AD BC , AB AD (如图所示). BAD的平分线AE交

9、BC于点E ,联结DE .(1)在图中，用尺规作BAD的平分线AE (保留作图痕迹，不写作法 )，并证明四边形 ABED是菱形；(2)若 ABC 60 , EC 2BE ,求证：ED DC .7 .(2010湖北省黄石市)如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE BF.求证AF ± DE.8 .如图，将矩形纸片 ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.(1)求证：FGCEBC；(2)若AB 8, AD 4,求四边形ECGF (阴影部分)的面积.9 .如图，在 ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上， C曰BF,连接BE

10、、CF.(1)求证： BDFCD巳(2)若AB= AC,求证：四边形 BFCN菱形.10 .如图，在矩形 ABCD (ABVAD)中，将 ABE沿AE对折，使 AB边落在对角线 AC上，点B的对应点为F,同时将 CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上, 点C的对应点为H.(1)证明：AF/ HG (图(1);(2)证明： AE匕4EGH (图(1);(3)如果点C的对应点H恰好落在边AD上(图(2).求此时/ BAC的大小.11.如图，梯形 ABCD中，AB/ CD, AC平分/ BAD, C日AD交AB于点E.求证：四边形AECD是菱形.12. 求证：矩形的对角线相等13.如图，在 DABCD中，EF/ BD,分另交 BC CD于点P、Q