万有引力与航天专题复习

1、专题：万有引力与航天青点一凯万有引力定律1.内容：2.公式：F=,其中G=Nl- m2/kg2,叫引 力常量.3.适用条件：考点二，三轴宇宙通度宇宙 速度数值 (km/s)意义宇宙速 度卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）.若7.9 km/s &v<11.2 km/s ,物体绕运行（环绕速度）v1'GM- jgRR R第二 宇宙速 度物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.若11.2 km/s <v<16.7 km/s ,物体绕运行（脱离速度）v2J2v12GM JigRR R第三 宇宙速 度物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.若v>16.7

2、km/s ,物体将脱离在宇宙空间运行（逃逸速度）考点三间步卫星的运行特点1.轨道平面一定：轨道平面与 共面.2.周期一定：与 周期相同，即T= 24 h.3.角速度一定：与 的角速度相同.4 .高度一定：由Mm 4 2,r£1 =荒*（ R+ h）得同步卫星离地面的高度3 gmT，4 2R = x 107m5 .速率一定：v =GM山1 6.向心加速度大小一定an v3万有引力定律应用的基本方法：（1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供.M22"万能"连等式： Gp= ma=m= rrto 2r = m（ -） 2r = m（2 u f） 2r

3、（2）不考虑中心天体的自转。迂人小花一GMmGMm/黄金代换式： 2 mg （表面）， mg （ h局处）RR hGMm= m芋)2r,可得考向一：天体的质量 M密度p的估算（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,由,=4兀23天体质量为：M= -GT2-.3该中心天体密度为：p =v= 4=言（R为中心天体的半径）.4兀R3兀当卫星沿中心天体表面运行时，r=R,则P="G干(2)利用天体表面的重力加速度Mm由于GR2 mg故天体质量M=g和天体半径 gR"G，天体密度M M 3g=-.V 4 r3 4兀 GR，兀R3【例4】天文学家新发现了太阳系外的一颗行

4、星.知某一近地卫星绕地球运动的周期约为小时，引力常量这颗行星的体积是地球的倍，质量是地球的25倍.已G= X 10 11 N m2/kg?,由此估算该行星的平均密度约为()A. x 103 kg/m 3B. x 103 kg/m 3C . x 104 kg/m 3考向二：卫星的运行和变轨问题1.人造卫星的动力学特征2，r Mmv 22兀 2万有引力提供向心力.即宇 ma=mp=mrco=)r maD. x 104 kg/m 32.人造卫星的运动学特征(1)(2)(3)(4)向心加速度a ：由G Mm rma得aGM,随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。，八一,Mm v ,口由线速度v：由

5、GjN=mp#v =一,Mm 2 ，口角速度：由G7= mo r得2周期 T:由 gT2 mTr 得丁= 271GM ，、,r ,随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。GM ，、, 了,随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。二n随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。GM【例5】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R和2R( R为地球半径).下列说法中正确的是()A a、b的线速度大小之比是木：1其大小随半径国 rI1的增大B. a、b的周期之比是1 ： 2啦C. a、b的角速度大小之比是3乖：4D. a、b的向心加速度大小之比是9： 43 .卫星的环绕速

6、度和发射速度不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度而减小.但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远 的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v发射v环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度,也是人造卫星的最小发射速度.4 .人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动.这两个过程加 速度方向均向上，因而都是超重状态.(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态.在这种情 况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生.因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力

7、有关的均不能 使用.同理，与重力有关的实验也将无法进行(如：天平、水银气压计等)5 .卫星的变轨2Mm v 22 兀 2卫星做匀速圆周运动时满足：6声=ma = m=mrco =mK)当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心 力，卫星将做变轨运行.2（i）当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来 的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v= yGMs口其运行速度要减小，但重力势 能、机械能均增加.2知运行速度将增大,（2）当卫星的速度突然减小时，向心力mv减小，即万有引力大于卫星所需的向

8、心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由 v =但重力势能、机械能均减少.（卫星的发射和回收就是利用了这一原理）3颗人造卫星，下列说法【例6】如图4 42所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的 正确的是（）A b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B. b c的向心加速度大小相等，且大于 a的向心加速度C. c加速可追上同一轨道上的 b, b减速可等到同一轨道上的 cD. a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大【例7】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为ri,后来变为

9、2（2<ri）,用品、以表示卫星在这两个轨道上的动能，Ti、T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则 （）A.&2<曰，T2<TiB.&<Eki,T2>TiE. &>&,T2<TiD.&>&,T2>Ti【例8人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km,远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地 球半径 R=6370knr1 g=9.8m/s2）（i）飞船在椭圆轨道i上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞

10、船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）A.飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B.飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C.飞船在轨道I上 P点的速度小于轨道n上 P的速度口飞船在轨道I上 P点的加速度小于轨道n上 P的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与 之对接，则飞船一定是（）A.从较低轨道上加速B.从较高轨道上加速C.从同一轨道上加速D.从任意轨道上加速考向三：“双星模型”问题在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.如图（i）双星夹圆心，且

11、始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力（2）具有相同的周期T和角速度(3)轨道半径和质量成反比m2miri L,r2 Lmim2mim2(4)双星总质量M总4 2L3GT2（其中L为双星间距，T为周期）例9如图4-46,质量分别为 m M的两个星球A和B在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A和B两者中心之间的距离为 L.已知A、B的中心和O三点 始终共线，A和B分别在O的两侧.引力常量为 G（i）求两星球做圆周运动的周期；国 1 LC时间:据大-小t 2则t2、T从相距最近T大T小一（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间:大

12、-小t2r则t【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R, a卫星离地面的高度等（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为Ti.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为x1024 kg和x 1022 kg.求T2与两者平方之比.（结果彳留3位小数）考向四：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短8于R, b卫星离地面高度为 3R则：（1） a、b两卫星周期之比 Ta：T

13、b是多少a至少经过多少个周期两卫星相距最远（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则2自R (当Fn=0将瓦解)3_GT自2它的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转考向五：天体的不瓦解问题在赤道处的物体最容易脱离天体 ：GMm FN m R2而M, Tg .故不瓦解的条件是4 R3 自3【例10】中子星是恒星演化过程中的一种可能结果,1、，一 ，一一，一. 一，周期为T= s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自车t而瓦解（计算时星体30可视为均匀球体，万有引力常量G= x 10 11m3/ kg - s2）考向六：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度

14、周期线速度向心加速度向心力赤 道上1自TiT自V1iRa112RF1ma1近 地卫 星上:GM2段T2,4 2R3GM/'gm2 RGMv宇 1 a2r21F2ma21g同 步卫 星上3自T3-自V33(R h)2 _a33 (R h)F3ma3/ GM4 2(Rh)3/ GMGM3(R h一丁)313 GM3 V R ha3_(R h)同132TiT3T2ViV3V2V宇i aia3a2g Fi F3F2物比较mg【例11如图，地球赤道上的山丘e,近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动.设e、p、q的圆周运动速率分别为vi、V2、V3,向心加速度分别为ai、a2、a3,则()A. Vi>V2>V3B. vi <V2<V3C. ai>a2>a3D. ai-考向七：万有引力与抛体运动的综合(万有引力与牛顿运动定律的综合)关键是：重力加速度